Перетворення координат Лоренца

В класичній механіці Ньютона для тіл, які рухаються з швидкостями, набагато меншими за швидкість світла (v<<с), виконується механічний принцип відносності Галілея.

Суть класичного принципу відносності полягає в тому, що закони динаміки однакові для всіх інерціальних систем відліку.

Розглянемо дві інерціальні системи координат відліку (рис.5.1).

 

 

Рис. 5.1.

 

Інерціальну систему з координатами x, y, z будемо вважати нерухомою. Система, координати якої , , рухається відносно нерухомої системи з сталою швидкістю u.

В довільний момент часу t

 

= x - ut, = y, = z, = t. (5.1.1)

 

Ці перетворення координат називаються перетвореннями Галілея.

Диференціюємо ці перетворення за часом і знайдемо закон складання швидкостей у класичній механіці:

 

. (5.1.2)

 

де - швидкість руху матеріальної точки в напрямі осі x відносно штрихованої системи координат; - швидкість руху матеріальної точки в напрямі осі х відносно нерухомої системи координат; u – швидкість руху штрихованої системи відносно не штрихованої системи.

У векторній формі класичний закон складання швидкостей матиме вигляд:

. (5.1.3)

 

Диференціюємо за часом вираз (5.1.3), одержимо:

 

, або . (5.1.4)

 

Прискорення матеріальної точки інваріантне відносно перетворень координат Галілея. Можна також стверджувати, що сили теж є інваріантними величинами відносно перетворень координат Галілея

. (5.1.5)

Висновок: У будь-яких інерційних системах відліку всі механічні явища за однакових умов є інваріантні (однакові).

Цей висновок носить назву механічного принципу відносності.

 

У 1905 році видатний фізик ХХ сторіччя Альберт Ейнштейн, аналізуючи великий експериментальний матеріал, сформулював два постулати створеної ним спеціальної теорії відносності, суть яких така:

- у будь-яких інерційних системах відліку всі фізичні явища за однакових умов відбуваються однаково;

- швидкість світла у вакуумі не залежить від швидкості руху джерела світла.

З першого постулату Ейнштейна виходить, що за допомогою будь-яких фізичних дослідів, поставлених у замкнутій системі, неможливо виявити рухається ця система чи перебуває у стані спокою.

Другий постулат Ейнштейна суперечить класичному закону додавання швидкостей.

 

З постулатами спеціальної теорії відносності перебувають у відповідності не перетворення координат Галілея, а дещо складніші перетворення, які називаються перетвореннями координат Лоренца.

Нехай штрихована система рухається відносно не штрихованої системи координат з сталою швидкістю u, при чому u»c. Нехай швидкість u направлена уздовж осі ОХ. Тоді релятивістські перетворення координат Лоренца будуть мати вигляд:

= ; = ; . (5.1.6)

 

Координати штрихованої системи по відношенню до координат нештрихованої системи:

 

; = ; = ; . (5.1.7)

У випадку, коли v<<c, перетворення координат Лоренца переходять у класичні перетворення Галілея:

 

х = + ut, , , ;

або

 

= x -u t, , , . (5.1.8)

 

Класична механіка придатна для розгляду таких рухів, швидкості яких, порівняно з швидкістю світла, досить малі.

Механіка, яка розглядає рух тіл з швидкостями, близькими до швидкості світла, називається релятивістською механікою.

 

 

5.2. Наслідки перетворення координат Лоренца.