Перший закон Ньютона. Маса. Сила.

ПЕРЕДМОВА

Макросвіт і мікросвіт, їх взаємозв'язок. Сучасна картина світу

Фізика - це наука про природу. Вона виникла, як результат споконвіч-ного прагнення людей зрозуміти й описати світ, що її оточує. Світ надзви-чайно складний і цікавий. Людина, як частина цього світу завжди намага-лася зрозуміти його будову. Чи можливо його пізнати? Сьогодні ми зна-ємо, що світ пізнаваний і що багато чого вже відомо.

Найважливішим є те, що всі навколишні тіла складаються з атомів . Атоми є цеглинками світобудови, вони знаходяться у безперервному русі, притягаються на великих відстанях, але відштовхуються, коли їх нама-гатися наблизити один до одного. Розміри атомів приблизно 10^–10 м.

Чи можна побачити атом? Можна – у тунельний мікроскоп (1981 р.) . Дивлячись у такий мікроскоп, можна перерахувати атоми поштучно (рис.1).

Рис. 1. Тунельний мікроскоп. Тунельний струм залежить від відстані між голкою й поверхнею

Чи є користь від того, що світ складається з атомів? Користь дуже велика. Лише в цьому випадку можна зрозуміти чому існують тверді, рідкі й газоподібні тіла; з якою швидкістю поширюється звук; чому летить літак; що таке температура і багато іншого.

А з чого складаються атоми? Атоми складаються з позитивно зарядженого ядра й негативно заряджених електронів, які рухаються навколо нього.

Рис. 2.Структура атома

Розміри електронів до цьго часу не піддаються вимірюванню. Відомо лише, що радіус електрона менший 10^–18 м. Розмір ядра набагато більший, і має порядок 10^–4÷ 10^–5 Å або 10^–14÷ 10^–15 м. У свою чергу, ядра складаються із протонів і нейтронів.

Рис. 3. Структура ядра

Уся маса атома зосереджена в ядрі. Електрон майже в 2000 разів легший від протона й нейтрона:

m_p ≈ m_n ≈ 1,67· 10^–27 кг. (1)

Можна поставити ще й таке запитання “А з чого складаються протони й нейтрони?” Відповідь відома. Вони складаються з кварків. А електрон? Сам по собі він ні з чого не складається. Однак зупинимося поки що на цьому, інакше можна досить швидко підійти до межі незвіданого.

Атом порожній. Якщо ядро атома збільшити до розмірів яблука, то відстань від ядра до електронів буде порядку 1 км. Якби електрони і ядра не мали заряду, атоми спокійно проходили б один крізь інший, зовсім не заважаючи один одному.

Де все це знаходиться? Де розігруються всі явища природи? Весь цей простір називається Всесвітом. Розміри Всесвіту мають порядок 10³⁰ м або приблизно 10¹⁰ світлових років . Для порівняння, відстань від Землі до Сонця дорівнює 1,5· 10¹⁵ м (150 млн. км.), а радіус Землі дорівнює 6,4· 10⁶ м (6400 км). Загальне число протонів і нейтронів у Всесвіті дорівнює 10⁸⁰ (10⁷⁸÷ 10⁸²). До складу Сонця входять близько 10⁵⁷ протонів і нейтронів, у складі Землі їх - 4· 10⁵¹. Число зірок із масою порядку маси Сонця приблизно дорівнює 10²³ . Зірка має масу від 0,01 до 100 мас Сонця.

Усе в природі складається з атомів, у тому числі і люди. Життя - це найбільш складне явище у Всесвіті. Людина, як одна з найбільш складних живих істот, складається з ≈ 10¹⁶ клітин. Клітина є елементарним фізіологічним осередком, який містить 10¹² ÷ 10¹⁴ атомів. У будь-яку клітину будь-якого живого організму входить хоча б одна довга молекулярна нитка ДНК (дезоксирибонуклеїнової кислоти). У молекулі ДНК 10⁸÷ 10¹⁰ атомів, точне розташування яких може змінюватися від індивідууму до індивідууму. Можна сказати, що молекула ДНК є носієм генетичної інформації.

Невіддільним від атомів є поняття взаємодії. Як атоми скріплюються між собою у твердому тілі? Чому Земля рухається навколо Сонця по коловій орбіті, а не летить від нього? Нарешті, чому протони в ядрі, маючи позитивний заряд, не відштовхуються один від одного і не розлітаються? Що тримає їх разом?

У даний час у природі виявлено чотири основних види взаємодії: електромагнітна, гравітаційна, сильна й слабка.

Перший вид взаємодії відбувається між зарядженими частинками. Коли пальцем намагатися натиснути на стіл, то будемо мати справу з взаємодією електромагнітної природи. Є притягання і є відштовхування.

Гравітаційна взаємодія, основним проявом якої є закон всесвітнього тяжіння, проявляється завжди у вигляді притягання (гравітаційне відштовхування поки що не виявлене). Свідченням цього є ті ж яблука, які завжди падають на Землю. Притягання між Землею й Сонцем змушує Землю рухатися по коловій орбіті навколо Сонця. Сила тяжіння - це та сила, яка змушує світитись зірки. Вона надає ядрам атомів необхідну для зближення кінетичну енергію (для подолання сили електpичного відштовхування), щоб змогла розпочатися реакція термоядерного синтезу - основного джерела енергії більшості зірок у Всесвіті.

Сильна взаємодія, на відміну від перших двох, є дуже короткодію-чою. Радіус дії сильної взаємодії не перевищує радіуса ядра і має порядок 10^–14÷ 10^–15 м. Ця взаємодія проявляється між нуклонами, тобто протонами й нейтронами, і завжди має характер притягання.

Нарешті, остання взаємодія - це слабка взаємодія. За допомогою слабкої взаємодії поглинається речовиною така невловима частинка як нейтрино. Прикладом процесу, у якому відбувається слабка взаємодія, є так званий β -розпад нейтрона. З урахуванням слабкої взаємодії вільний нейтрон нестабільний і розпадається на протон, електрон і антинейтрино приблизно через 15 хвилин:

(2)

Останнім часом завдяки зусиллям теоретиків вдалося об'єднати електромагнітну й слабку взаємодії в одну, що зменшує число основних взаємодій до трьох. Порівняльна сила цих взаємодій така: якщо вважати, що відносна величина взаємодії нуклонів (протонів і нейтронів) у ядрі дорівнює одиниці, то наступною за величиною буде електромагнітна взаємодія - 10^–2, потім слабка - 10^–5. Найслабшою в цьому випадку є гравітаційна взаємодія ~ 10^–40.

Природа сильної взаємодії усе ще залишається не повністю зрозумілою. Точніше, її теорія усе ще недобудована. Проте, людство вже навчилося використовувати ядерні сили, створивши атомну бомбу. Природа давно навчилася використовувати ці сили. Термоядерна реакція на Сонці - джерело тепла на Землі, причина свічення зірок у нічному небі, завдяки чому ми бачимо зірки, що знаходяться від нас на відстані в тисячі й мільйони світлових років.

Одним із найважливіших понять, введених у сучасну фізику, є поняття поля. Простір, у якому немає частинок і тому його можна назвати «порожнім», насправді не є таким. У «порожньому» (від частинок) просторі можуть існувати різні поля, прикладом яких є електромагнітне поле. Ці поля можуть існувати цілком самостійно, незалежно від частинок, які їх породжують. Ця форма існування - тепер добре відомі електромагнітні хвилі. Електромагнітні хвилі ввійшли в наше повсякденне життя. Радіо й телебачення здаються нам настільки ж природними як і автомобіль.

Гравітаційні хвилі поки що не виявлені експериментально, але їх існування впевнено пророкує загальна теорія відносності Ейнштейна. І, очевидно, їх виявлення не за горами. Уже тепер є реальним створення надчутливих детекторів гравітаційних хвиль, які здатні зареєструвати вибух наднових зірок у Галактиці, віддаленої від нас на відстань у мільйони світлових років. І тоді одночасно зі спалахом світла до нас дійде гравітаційна хвиля, яка теж поширюється зі швидкістю світла. Збіг у часі цих подій буде переконливим доказом існування гравітаційних хвиль.

Основною рушійною силою майже всіх процесів, які відбуваються на Землі, є електромагнітні сили і явища, що ними породжені. Знання цих сил є основою для розуміння хімічних реакцій, біологічних процесів, а значить і життя, руху повітря, води і навіть землетрусів. І все це ховається в такій малесенькій часточці, як атом, що складається з позитивно зарядженого ядра і негативно заряджених електронів, які рухаються навколо нього.

Але чому електрони не падають на ядро, адже вони до нього майже доторкаються? Можна було б думати, що причина та ж, що і при обертанні Землі навколо Сонця. Земля обертається і не падає. Але тут є одна проблема. Річ у тому, що електрично заряджена частинка, рухаючись із прискоренням, випромінює електромагнітні хвилі. Ці хвилі несуть із собою енергію. У результаті електрон повинен, зрештою, впасти на ядро, а цього не відбувається - атом відносно стійкий (наше з вами існування - тому доказ). У чому ж причина стабільності атома? Справа в тім, що закони, які керують рухом електрона навколо ядра атома, - це не ті закони класичної механіки, завдяки яким Земля рухається навколо Сонця. В атомі діють закони квантової механіки.

Квантова механіка, або квантова фізика - одне з найбільших наукових досягнень двадцятого століття. Вона описує закони руху частинок у мікросвіті, тобто рух частинок малої маси (або електронів атома) у малих ділянках простору. Квантова механіка - це більш загальна наука, яка включає в себе класичну механіку як окремий випадок. До чого ж зводиться основне твердження квантової механіки? Воно зводиться до того, що частинки не можуть мати одночасно визначені значення координат й імпульсу, тобто у квантовій механіці не існує поняття траєкторії частинки. Якщо Δ x - це невизначеність координати частинки, а Δ p - невизначеність її імпульсу, то ці величини в квантовій механіці обмежені нерівністю

Δ x Δ p ≥ ħ. (3)

де ħ - постійна Планка (ħ = 1,054· 10^–34 Дж·с).

Це співвідношення, називається співвідношенням невизначеності Гейзенберга. Суть цього співвідношення полягає в тому, що якби електрон упав на ядро (а воно дуже маленьке), то його координата визначалася б із точністю Δ x = 0. Але в цьому випадку невизначеність імпульсу Δ p буде дорівнювати безмежності і електрон з такою енергією вилетів би з ядра знову, переборовши сили притягання. Неможливість локалізації електрона на ядрі є в остаточному підсумку наслідком того, що насправді електрон - не частинка, а хвиля, довжина якої

(4)

де p — імпульс електрона.

А, як відомо, хвилю не можна локалізувати в просторі з розмірами, меншими за довжину хвилі. З цих міркувань можна оцінити розмір атома.

Скористаємося співвідношенням невизначеності Δ r Δ p ≈ ħ, де Δ r — невизначеність координати електрона, а Δ p — невизначеність його імпульсу. Будемо вважати, що величини Δ r ≈ r і Δ p ≈ p, де r - характерна відстань електрона від ядра (тобто розмір атома), а p - значення імпульсу електрона на цій відстані. При русі електрона в кулонівському полі ядра, потенціальна енергія буде такого ж порядку, що й кінетична енергія. Тому маємо два співвідношення для визначення p і r:

(6)

.

З першої умови одержуємо, що Підставивши цей вираз у друге рівняння, знайдемо радіус атома

(7)

Приблизно ħ ≈ 10^–34 Дж·с, m ≈ 10^–31 кг і q ≈ 1,6· 10^–19 Кл. Підставля-ючи ці величини у формулу (7), одержуємо 0,4 Å.

Таким чином, атом є досить стійким завдяки існуванню принципу невизначеності. Квантова механіка необхідна для розуміння хімічних і біологічних процесів, а значить для розуміння того, як ми улаштовані. Однак, унаслідок її відносної складності, починають вивчати фізику з більш простих речей - із класичної механіки.

 

ЛЕКЦІЯ 1

КІНЕМАТИКА

1.1.Кінематика руху матеріальної точки. Системи координат. Переміщення і швидкість руху. Пройдений шлях. Середні значення кінематичних величин.

1.2. Рух точки по колу. Кутова швидкість і кутове прискорення.

1.3. Тангенціальне і нормальне прискорення. Зв’язок між кінематичними величинами криволінійного руху.

1.1. Кінематика руху матеріальної точки. Системи координат.

Переміщення і швидкість руху. Пройдений шлях. Середні значення кінематичних величин

 

 

Кінематикою називають розділ механіки, в якому вивчається рух тіл без вияснення причин цього руху.

Механічним рухом тіла називають зміну його положення в просторі по відношенню до інших тіл протягом певного часу.

Механічний рух є відносним. Рух одного і того ж тіла відносно різних тіл може бути різним. Тому для пояснення руху тіла слід вказувати тіло відліку, тобто тіло, відносно якого розглядається рух в просторі й часі. З тілом відліку зв’язують систему координат.

 

Системою координат називають три взаємно перпендикулярні осі, початок яких суміщається з тілом відліку. Таку систему координат називають декартовою.

Положення довільної точки М в просторі характеризується радіусом-вектором , який з’єднує початок координат з точкою М в просторі (рис.1.1).

З рисунку видно, що

 

, (1.1.1)

 

де - одиничні вектори, напрямки яких збігаються з напрямками відповідних осей коорди­нат x, y, z. Модуль радіуса-вектора дорівнює

 

. (1.1.2)

 

 

Рис.1.1

 

Рух матеріальної точки М(x,y,z) повністю буде визначено, якщо декартові координати матеріальної точки будуть задані в залежності від часу:

x = x(t); y=y(t); z=z(t). (1.1.3)

 

Ці рівняння називаються кінематичними рівняннями руху точки, вони еквівалентні одному векторному рівнянню руху

 

. (1.1.4)

 

Будь-яке тіло має відповідні розміри. Тому різні частини тіла можуть перебувати в різних точках простору. Якщо розміри тіла малі в порівнянні з відстанями до інших тіл, то дане тіло можна вважати матеріальною точкою. Якщо всі частини тіла рухаються однаково, то такий рух називається поступальним. Прикладом поступального руху може бути рух автомобіля на горизонтальній ділянці шляху. При поступальному русі тіла його можна розглядати як матеріальну точку.

Поняття матеріальної точки відіграє дуже важливу роль, значно спрощуючи розуміння кінематику руху матеріальної точки. Переміщуючись у просторі з однієї точки в іншу, тіло описує деяку лінію, яку називають траєкторією руху тіла. Рівняння траєкторії руху можна одержати, якщо з кінематичних рівнянь (1.1.3) виключити час t.

У залежності від форми траєкторії, рух матеріальної точки, або твердого тіла, може бути прямолінійним і криволінійним. При прямолінійному русі вектор переміщення збігається з напрямком руху, а при криволінійному русі напрям вектора переміщення може бути під довільним кутом до напрямку руху.

Довжина шляху точки визначається сумою довжин всіх ділянок траєкторії, пройденої точкою за відповідний проміжок часу t.

DS=DS(t). (1.1.5)

 

Довжина шляху – скалярна функція часу.

 

Переміщенням точки називають спрямований відрізок прямої, який з’єднує початкове положення точки з його наступним положенням. Переміщення точки є векторною величиною (рис.1.2).

Рис.1.2

 

З рис. 1.2 видно, що

 

, (1.1.6)

 

де - радіус-вектор точки А, -радіус-вектор точки В.

Якщо час Dt руху точки від А до В прямує до нуля, то довжина шляху DS буде наближатися до довжини вектора переміщення.

 

Для характеристики руху матеріальної точки вводиться поняття середньої швидкості

. (1.1.7)

 

Вектором середньої швидкості за час Dt називається відносне переміщення радіуса-вектора точки до проміжку часу Dt. Одиницею вимірювання швидкості є м/с.

У кінематиці руху більше уваги приділяється не середній швидкості, а миттєвій.

Миттєва швидкість визначається границею, до якої наближається відношення (1.1.7) за безмежно малий проміжок часу, тобто

 

. (1.1.8)

 

Вектор миттєвої швидкості збігається з дотичною до траєкторії руху і направлений в сторону руху.

Модуль миттєвої швидкості є скалярною величиною і дорівнює першій похідній шляху за часом

 

, (1.1.9)

 

звідки

.

 

Якщо рух нерівномірний, то вводять поняття модуля миттєвоїшвидкості, величина якої змінюється з часом. В цьому випадку середню швидкість нерівномірного руху визначають за формулою:

 

. (1.1.10)

 

Довжина шляху S, пройденого точкою за проміжок часу від t₁ до t₂, визначається інтегралом

(1.1.11)

 

При прямолінійному русі точки напрям вектора швидкості залишається незмінним. Рух точки називається рівномірним, якщо модуль її швидкості не змінюється з часом. Для такого руху =const, a

 

S=uDt. (1.1.12)

 

Якщо модуль швидкості збільшується з часом, то такий рух називається прискореним, якщо ж він зменшується, то він називається сповільненим.

Прискорення - це векторна величина, яка характеризує швидкість зміни швидкості по модулю і за напрямком.

Середнє прискорення матеріальної точки в інтервалі часу Dt є векторною величиною, рівною відношенню зміни швидкості за час Dt:

= (1.1.13)

Миттєве прискорення матеріальної точки в інтервалі часу визначається похідною вектора швидкості за часом:

 

. (1.1.14)

 

 

1.2. Рух точки по колу. Кутова швидкість і кутове прискорення

Довільний криволінійний рух можна подати як рух по дугах кіл. Тому зупинимося на кінематиці обертального руху, або руху точки вздовж колової траєкторії. У даному випадку зручно користуватись полярною системою координат, координатами якої є радіус кола R і кут повороту радіуса відносно вибраного напрямку j. В цьому випадку R – відстань від центра кола до точки на коловій траєкторії, а j - полярний кут (кут обертання)

 

Рис.1.3

 

З рис. 1.3 видно, що - кутове переміщення – векторна величина, модуль якої дорівнює куту повороту радіуса вектора за час dt. Напрям цього вектора збігається з напрямком поступального руху правого гвинта.

Кутова швидкість – векторна величина, яка дорівнює зміні кута повороту радіуса - вектора з часом, тобто

. (1.2.1)

Напрям вектора збігається з напрямком . Одиницею вимірювання кутової швидкості є рад/с.

Кутове прискорення – векторна величина, яка дорівнює зміні кутової швидкості з часом, тобто

 

. (1.2.2)

 

Напрям вектора кутового прискорення направлений по осі обертання (рис. 1.3). Вектор кутового прискорення руху точки по колу збігається з напрямком . Для сповільненого обертання вектор має протилежний напрям до вектора . Вимірюється кутове прискорення у рад/с².

Модуль вектора лінійної швидкості точки , напрям якої збігається з дотичною до кола, зв’язаний з модулем вектора кутової швидкості співвідношенням:

 

. (1.2.3)

 

У векторній формі вектор швидкості дорівнює векторному добутку векторів і

 

. (1.2.4)

 

 

З визначення векторного добутку модуль вектора швидкості визначається співвідношенням

 

ê ê =wR sina, (1.2.5)

 

де a - кут між векторами і , як це показано на рис. 1.4.

Для рівномірного обертання матеріальної точки по коловій траєкторії модуль кутової швидкості дорівнює

 

. (1.2.6)

 

 

Рис.1.4

 

 

Рівномірний рух по колу можна характеризувати також періодом обертання Т, тобто часом, за який точка здійснює один повний оберт, 2p = wТ. Звідки

. (1.2.7)

 

Частота обертання визначається числом повних обертів, які здійснює точка при русі по колу, за одиницю часу:

 

. (1.2.8)

 

При рівноприскореному обертальному русі b = const. Тому формули кінематики обертального руху точки матимуть вигляд:

 

. (1.2.9)

 

Рівноприскорений обертальний рух характеризується дотичним й нормальним або доцентровим прискореннями:

 

;

 

у векторній формі ,

 

. (1.2.10)

 

Зв’язок пройденого шляху по дузі кола з кутом повороту визначається так:

. (1.2.11)

 

1.3. Тангенціальне й нормальне прискорення. Зв’язок між кінематичними величинами криволінійного руху

Розглянемо нерівномірний криволінійний рух матеріальної точки. За малий проміжок часу Dt лінійна швидкість точки змінюється від до у відповідності з рисунком.

 

 

Рис.1.4

 

Вектори лінійної швидкості і змінюється як за величиною, так і за напрямком. З рис.1.4. видно, що

 

. (1.3.1)

 

У цьому випадку миттєве прискорення точки буде дорівнювати

 

. (1.3.2)

 

В граничному випадку при Dt®0, , де

і

 

. (1.3.3)

 

У випадку, коли вектори змінюються з часом, зв’язок між кінематичними величинами знаходять шляхом диференціювання за часом векторного добутку , тобто

 

. (1.3.4)

 

З цього співвідношення отримуємо:

 

і

. (1.3.5)

 

Напрямки векторів а також і є взаємно перпендикулярними.

 

Із цих міркувань можна зробити такі висновки:

- нормальне й тангенціальне прискорення точки зростають лінійно із зростанням відстані точки до осі обертання;

- вектор дотичного або тангенціального прискорення завжди збігається з дотичною до колової траєкторії;

- вектор нормального прискорення направлений від точки на коловій траєкторії в стророну центра кола.

 

 

 

ЛЕКЦІЯ 2

 

Динаміка поступального руху точки

Перший закон Ньютона. Маса. Сила.

2.2. Другий закон Ньютона. Рівняння руху точки.

2.3.Третій закон Ньютона. Закон збереження імпульсу.

2.1. Перший закон Ньютона. Маса. Сила

 

 

При русі матеріальної точки її швидкість може змінюватись як за величиною, так і за напрямком. Це означає, що точка рухається з деяким прискоренням. Як показує досвід, будь-яка зміна швидкості тіла можлива під впливом інших тіл. Якщо в кінематиці не ставилось питання про фізичну причину руху тіл з прискоренням, то динаміка розглядає дію одних тіл на інші тіла, як основну причину прискорення руху.

Розділ механіки, який вивчає закони взаємодії тіл, називається динамікою.

Закони динаміки були відкриті Ньютоном ще в ХVII сторіччі. Три закони динаміки, сформульовані Ньютоном лежать у основі класичної механіки. Закони Ньютона слід розглядати, як узагальнення великої кількості експериментальних фактів.

Висновки класичної механіки справедливі лише для руху тіл з малими швидкостями, значно меншими за швидкість світла.

Найпростішою механічною системою є ізольоване тіло на яке не діють інші тіла. Так - як рух і спокій відносні, то в різних системах відліку рух ізольованого тіла буде різним. В одній системі відліку тіло може перебувати у спокої, а в іншій – рухатись з постійною швидкістю, а ще в іншій системі – рухатись з прискоренням.

 

Існують такі системи відліку, відносно яких тверде тіло зберігає стан спокою або рівномірного й прямолінійного руху до тих пір, доки дією інших тіл воно не буде виведене з цього стану.

 

Це формулювання є першим законом Ньютона. Властивість тіл зберігати свій стан при відсутності дії інших тіл називається інерцією. Тому перший закон Ньютона називають ще законом інерції. Перший закон Ньютона, або закон інерції, діє тільки в інерціальних системах відліку. Лише в ізольованій інерціальній системі відліку на тіло або матеріальну точку не діють інші тіла, і створюється можливість стану спокою або рівномірного й прямолінійного руху.

Системи відліку, зв’язані з Землею, приблизно можна вважати інерціальними. Однак, при підвищенні точності вимірювання появляються відхилення від закону інерції, обумовлені добовим обертанням Землі навколо своєї осі.

З високим ступеням точності інерціальною системою є геліоцентрична система відліку, пов’язана з Сонцем. В цій системі відліку Ньютон відкрив закон всесвітнього тяжіння.

Усі інерціальні системи відліку, що рухаються одна відносно іншої рівномірно й прямолінійно, утворюють групу інерціальних систем. Прискорення будь-якого тіла в різних інерціальних системах відліку однакові.

Отже, причиною зміни швидкості тіла завжди є його взаємодія з іншими тілами. Для кількісної характеристики руху тіла під впливом інших тіл необхідно ввести дві нові фізичні величини – інертну масу тіла й силу.

Маса тіла – це властивість, що характеризує його інертність. Більш інертне тіло має більшу масу. Якщо два тіла взаємодіють одне з одним, то в процесі взаємодії вони набувають різних прискорень. На основі досвіду установлено, що маси різних взаємодіючих тіл обернено пропорційні їх прискоренням:

 

. (2.1.1)

Знак “мінус” у правій стороні рівності (2.1.1) означає, що прискорення взаємодіючих тіл спрямовані в протилежних напрямках.

У системі СІ маса тіла вимірюється у кілограмах (кг). За одиницю маси прийнято масу еталонного тіла. Маси інших тіл визначають шляхом порівнювання їх з масою еталона.

Маса тіла є скалярною величиною. Дослідним шляхом доведено, що якщо два тіла з масами m₁ і m₂ з’єднати в одне, то маса складеного тіла виявиться рівною сумі мас m₁ і m_2, тобто

 

m = m₁ + m₂. (2.1.2)

 

Цю властивість мас називають адитивністю.

Поряд з інертними властивостями тіл (інертна маса), слід відмітити гравітаційні властивості тіл, пов’язані із їхнім взаємним притягуванням. Маса, яка входить в закон всесвітнього тяжіння Ньютона, називається гравітаційною масою. Найточніші дослідження властивостей інертної й гравітаційної маси будь-яких відмінностей між ними не виявили. Ці маси є повністю еквівалентні.

 

Сила – векторна величина, яка є мірою механічної дії одного тіла на інше тіло, у результаті чого перше тіло набуває прискорення і може змінити свою форму й розміри. Механічна взаємодія може відбуватися як між тілами, які безпосередньо перебувають у контакті, так і між віддаленими тілами за рахунок існуючих біля них фізичних полів.

Особлива форма матерії, яка зв’язує різні тіла в єдині системи на будь-яких відстанях і передає цю взаємодію з кінцевою швидкістю, називається фізичним полем або полем. Взаємодія віддалених тіл між собою відбувається за рахунок взаємодії їхніх гравітаційних або електромагнітних полів.

Вектор сили повністю буде заданим, якщо вказується його модуль F, напрям у просторі і точка прикладання.

Пряма, вздовж якої направлена сила, називається лінією дії сили. Сили називаються центральними, якщо вони направлені уздовж прямих, які проходять через одну точку - центр сил, і залежать лише від відстані до центра сил.

Поле, яке діє на матеріальну точку або тіло із сталою силою , називається стаціонарним полем.

Одночасна дія на матеріальну точку кількох сил або полів еквівалентна дії однієї сили, яка називається рівнодійною. Рівнодійна кількох діючих сил дорівнює її геометричній сумі.

Одиницею сили є ньютон (Н). Один ньютон - це сила, яка тілу масою 1 кг надає прискорення 1 м/с²

1 Н = .

 

Механічною системою називається сукупність матеріальних точок (тіл), які розглядаються як єдине ціле. Тіла, які не входять до механічної системи, називають зовнішніми. Сили, які діють зі сторони зовнішніх тіл, називаються зовнішніми силами. Внутрішніми називаються сили, які виникають при взаємодії між тілами самої ізольованої системи.

Ізольованою системою може бути будь-яка система, якщо в ній на тіло не діють зовнішні сили.

Векторна величина , яка дорівнює добутку маси m матеріальної точки на її швидкість називається імпульсом. Вектор імпульсу завжди направлений уздовж напрямку дії швидкості

 

. (2.1.3)

 

Співвідношення (2.1.3) справедливе як для матеріальних точок, так і для протяжних рухомих тіл. У цьому випадку протяжне тіло, котре рухається поступально, можна виразити через сукупність матеріальних точок з масами . Тому повний імпульс тіла буде дорівнювати:

 

.

 

Слід відмітити, що в релятивістській механіці співвідношення для імпульсу твердого тіла має дещо складніший характер, а саме

 

(2.1.4)

 

У цьому виразі m₀ – маса спокою тіла, тобто маса тіла, швидкість руху якого ; c – швидкість світла у вакуумі.

Зівставлення формул (2.1.3) і (2.1.4) показує, що маса тіла змінюється при великих швидкостях руху. Відчутні зміни маси рухомого тіла наступають лише при наближенні швидкості його руху до швидкості світла. При малих (звичайних) швидкостях руху тіла ця залежність практично не проявляється.

У найбільш загальному випадку маса рухомого тіла буде дорівнювати:

 

(2.1.5)

 

У цій формулі масу рухомого тіла m називають релятивістською масою.

 

2.2. Другий закон Ньютона. Рівняння руху точки

Другий закон Ньютона є основним законом динаміки. Він виконується лише в інерційних системах відліку. Це фундаментальний закон природи, которий є узагальненням багатьох дослідних фактів. Формулюється другий закон Ньютона так:

Прискорення, набуте матеріальною точкою або тілом, пропорційне рівнодійній всіх діючих сил і обернено пропорційне масі матеріальної точки або тіла.

 

, або . (2.2.1)

 

 

Більш загальне формулювання другого закону Ньютона таке:

 

Швидкість зміни імпульсу тіла дорівнює діючій на нього силі.

 

. (2.2.2)

 

Векторна величина називається елементарним імпульсом сили. Згідно з другим законом Ньютона зміна імпульсу матеріальної точки або тіла дорівнює імпульсу діючої на точку або тіло сили, тобто

 

. (2.2.3)

 

Основний закон динаміки матеріальної точки виражає принцип причинності в класичній механіці. Суть цього принципу визначає однозначний зв’язок між зміною в часі стану руху і положення в просторі матеріальної точки або тіла і діючої сили. Це дозволяє використати початкові умови стану матеріальної точки та розрахувати її стан в довільний наступний момент часу.

Другий закон Ньютона, записаний у вигляді

 

, (2.2.4)

 

називається рівнянням руху точки. Така форма запису другого закону Ньютона використовується для розв’язування задач стосовно матеріальної точки або твердого тіла.

 

У механіці велике значення має принцип незалежної дії сил. Якщо на матеріальну точку діють одночасно кілька сил, то кожна з них надає матеріальній точці прискорення у відповідності з другим законом Ньютона. Згідно з цим принципом сили й прискорення можна проектувати на координатні осі, що суттєво полегшує розв’язування задач.

Дотичне (тангенціальне) й нормальне (доцентрове) прискорення матеріальної точки або твердого тіла, можна визначати за допомогою відповідних складових сил:

 

; ; , (2.2.5)

 

а також

 

; ; , (2.2.6)

 

де - дотична складова діючої сили; - нормальна складова сили.

 

Короткі висновки:

 

- другий закон Ньютона є експериментальним законом. Він виник у результаті оброблення величезної кількості експериментальних фактів;

- у випадку, коли результуюча всіх діючих сил = 0, тобто при відсутності дії на тіло інших тіл, прискорення з яким рухається тіло теж буде дорівнювати нулю. Цей висновок збігається з першим законом Ньютона, тому можна вважати, що перший закон Ньютона є окремим випадком другого закону.

 

 

2.3. Третій закон Ньютона. Закон збереження імпульсу

Сили, з якими взаємодіють тіла або матеріальні точки, завжди рівні за модулем й протилежні за напрямком.

Це і є формулювання третього закону Ньютона.

Результатом третього закону Ньютона є ствердження того, що сили взаємодії направлені уздовж прямої, яка з’єднує взаємодіючі тіла або матеріальні точки, тобто

 

. (2.3.1)

 

У співвідношенні (2.3.1) сили і прикладені до різних тіл, а тому не можуть зрівноважувати одна одну. Додавати за правилом векторного додавання можна лише сили, прикладені до одного тіла. Сили, прикладені до різних матеріальних точок (тіл), завжди діють парами і є силами однієї природи.

Третій закон Ньютона дозволяє перейти від динаміки окремої матеріальної точки до динаміки системи матеріальних точок, оскільки дозволяє звести будь-яку взаємодію до сил парної взаємодії між цими матеріальними точками.

Доведемо що в довільній замкненій системі сумарний імпульс всіх матеріальних точок або тіл цієїсистеми з часом не змінюється (закон збереження імпульсу).

Розглянемо механічну систему, яка складається із n матеріальних точок або тіл, маси і швидкості яких відповідно дорівнюють m₁, m_2, m_3,… m_n і , , ,...

Запишемо другий закон Ньютона для кожного із тіл (матеріальних точок) цієї системи:

 

 

,

............

 

, (2.3.1)

 

де - рівнодійні всіх внутрішніх сил, діючих на відповідні тіла або матеріальні точки системи; - рівнодійні всіх зовнішніх сил.

Додамо почленно ці рівняння, одержимо:

 

. (2.3.2)

 

або

. (2.3.3)

 

У відповідності з третім законом Ньютона всі внутрішні сили мають парний характер, а тому взаємно компенсують одна одну

 

. (2.3.4)

 

Для замкненої механічної системи , зовнішні сили на тіла ізольованої системи не діють. Тому

,

звідки

. (2.3.5)

Вираз (2.3.5) є законом збереження імпульсу в механіці.

У відповідності з законом збереження імпульсу відбувається рух ракет, взаємодіють між собою матеріальні точки або тверді тіла тощо.

 

Короткі висновки:

- при відсутності дії зовнішніх сил сумарний імпульс усіх тіл замкнутої системи з часом не змінюється. (наслідок закону збереження імпульсу);

- сумарний імпульс залишається сталим і для незамкнутої системи при умові, що зовнішні сили в сумі не дорівнюють нулю. Однак і в цьому випадку проекції суми цих сил на відповідні напрямки мають дорівнювати нулю.

 

В класичній механіці Ньютона через те, що маса тіла не залежить від швидкості руху (v << c), імпульс системи тіл може бути виражений через швидкість її центра мас.

Центром мас (або центром інерції) системи матеріальних точок називається деяка точка в тілі або системі матеріальних точок, положення якої характеризує розподіл маси цієї системи.

Радіус-вектор центра мас системи матеріальних точок або твердих тіл (рис. 2.1.) дорівнює

 

, (2.3.6)

 

де і - маса і радіус-вектор і -ї точки в системі; - сумарна маса всіх тіл або матеріальних точок системи.

 

У цьому випадку імпульс системи матеріальних точок визначається формулою:

 

. (2.3.7)

 

Рис.2.1.

 

 

Центр мас системи рухається як матеріальна точка, в якій зосереджена маса всієї системи. Рівняння руху центра мас системи можна записати так:

. (2.3.8)

 

Із закону збереження імпульсу витікає, що центр мас замкнутої системи або рухається рівномірно й прямолінійно, або залишається в стані спокою.

 

Зупинимося коротко на характеристиці сил, які діють в механіці.

 

В системі відліку зв’язаною із Землею, на будь-яке тіло масою m діє сила тяжіння.

, (2.3.9)

де – прискорення сили земного тяжіння. Біля поверхні землі g=9,81 м/с². Сили тяжіння діють на всі тіла. Не завжди сила тяжіння може бути вагою тіла.

Вага тіла – це сила, з якою тіло діє внаслідок тяжіння на опору або підвіс. Вага тіла може дорівнювати силі тяжіння лише у випадку перебування його в стані спокою на горизонтальній підставці (рис. 2.2)

Вага тіла чисельно дорівнює реакції опори , однак направлена по лінії дії сили тяжіння .

. (2.3.10)

 

Рис.2.2.

В усіх інших випадках вага тіла не дорівнює силі тяжіння.

Невагомість – це стан тіла, при якому воно рухається тільки під дією сили тяжіння. Будь-яке вільно падаюче тіло перебуває завжди в стані невагомості.

Крім гравітаційних сил широко поширені сили пружності, які проявляються при взаємодії тіл у вигляді деформацій.

В межах пружності тіл пружні сили, як правило, пропорційні величині деформацій

, (2.3.11)

де - величина деформації; k - коефіцієнт пружності, різний для різних тіл.

Природа пружних сил пов’язана з електромагнітними взаємодія-ми.

 

Сили тертя виникають при ковзанні одних тіл по поверхні інших тіл. У цьому випадку сила тертя пропорційна силі нормального тиску , тобто

_тер = k· , (2.3.12)

 

де k – коефіцієнт тертя (залежить від оброблення поверхонь ковзання); N – сила нормального тиску.

Сила тертя завжди перешкоджає направленому руху тіла. Природа сили тертя теж пов’язана із електромагнітними взаємодіями.

 

 

 

 

ЛЕКЦІЯ 3

МЕХАНІЧНА ЕНЕРГІЯ

3.1.Механічна робота, як міра зміни енергії. Потужність. Кінетична енергія.

3.2.Консервативні й неконсервативні сили. Потенціальна енергія. Зв’язок роботи й потенціальної енергії.

3.3.Сила й потенціальна енергія. Поняття градієнта.

3.4.Закон збереження й перетворення механічної енергії.

 

 

3.1. Механічна робота, як міра зміни енергії. Потужність. Кінетична енергія

 

Енергія – це універсальна міра руху різних форм матерії.

З різними формами руху матерії пов’язані різні форми енергії: механічна, теплова, електромагнітна, ядерна та ін.

Будь-які зміни механічного руху визиваються силами, що діють із сторони інших тіл.

Фізична величина, яка чисельно дорівнює скалярному добутку векторів сили і переміщення , називається механічною роботою.

 

^ ), (3.1.1)

 

де і - модулі векторів сили і переміщення; ^ ) – кут між напрямками векторів сили і переміщення.

У загальному випадку дія сили може змінюватись як за величиною, так і за напрямком, тому в таких випадках формулою (3.1.1) користуватися не можна.

На безмежно малому переміщенні силу можна вважати постійною. В цьому випадку величина елементарної роботи A буде дорівнювати

. (3.1.2)

 

 

Робота змінної сили визначається за допомогою інтеграла:

 

. (3.1.3)

 

Одиницею вимірювання роботи в системі СІ є джоуль (Дж)

 

= Н·м = Дж.

 

Розглянемо найбільш загальний випадок руху матеріальної точки уздовж криволінійної траєкторії L. Умовно поділимо пройдений шлях на безмежно малі ділянки шириною dx, на яких силу F може вважати сталою величиною (рис. 3.1).

Елементарна робота на таких безмежно малих переміщеннях може бути розрахована за формулою

. (3.1.4)

 

Рис.3.1

 

Якщо скласти всі елементарні роботи, то одержимо вираз для знаходження повної роботи у вигляді криволінійного інтеграла уздовж криволінійної траєкторії

 

. (3.1.5)

 

Робота сили, виконана за одиницю часу, називається потужністю. Потужність – це швидкість виконання механічної роботи. Тому

 

. (3.1.6)

Одиницею вимірювання потужності є ват (Вт). Один Вт дорівнює 1Дж/с.

Оскільки

 

, (3.1.7)

 

то формулу для роботи можна переписати у вигляді

 

, (3.1.8)

 

тобто роботу можна виразити через інтеграл від потужності й часу, а також через скалярний добуток вектора сили й вектора швидкості. В останньому випадку сила, перпендикулярна до вектора швидкості, роботи не виконує.

З урахуванням другого закону Ньютона вираз для механічної роботи набуде вигляду:

 

. (3.1.9)

 

Оскільки , а , то

 

 

. (3.1.10)

 

Якщо швидкість матеріальної точки в процесі руху змінюється від u₁ до u₂ , то робота, яка виконується у цьому випадку, буде дорівнювати

 

. (3.1.11)

Скалярна величина називається кінетичною енергією. Таким чином ми довели, що робота сили по переміщенню матеріальної точки дорівнює зміні її кінетичної енергії.

Слід також пам’ятати, що в цьому прикладі ми мали справу з повною силою, діючою на точку. Так, у випадку переміщення саней уздовж не дуже гладенької дороги, посипаної піском, виконується робота, відмінна від нуля. Приросту кінетичної енергії тут не буде. Вся справа в тому, що сила опору руху саней має протилежний напрям. Робота цієї сили має від’ємний знак. Сила тертя теж виконує роботу, але від’ємну. А в результаті повна сила і повна робота виявляються рівними нулю.

 

 

3.2. Консервативні й неконсервативні сили. Потенціальна енергія. Зв’язок роботи й потенціальної енергії

 

Всі сили, які зустрічаються в механіці макроскопічних тіл, прийнято поділяти на консервативні й неконсервативні.

До консервативних сил відносяться такі сили, робота яких не залежить від форми шляху між двома точками 1 і 2 (рис. 3.2).

 

A_1,2(a)=A_1,2(b)=A_1,2(c)

 

Рис.. 3.2

 

Прикладом консервативних сил є сила тяжіння Землі. Робота сили тяжіння при перенесенні матеріальної точки із положення 1 в положення 2, уздовж прямолінійного відрізку (рис.3.3) дорівнює:

 

Рис. 3.3

 

, (3.2.1)

 

де h₁ і h₂ - висоти, на яких перебувала матеріальна точка на початку і в кінці шляху. Вираз роботи (3.2.1) справедливий для переміщення з точки 1 в точку 2 на будь-якому шляху.

Ще одним прикладом консервативних сил є так звані центральнісили. Прикладом центральних сил можуть бути гравітаційні сили планет і зірок, кулонівські сили точкових зарядів обох знаків, ядерні сили (на дуже малих відстанях) тощо.

Покажемо, що робота центральних сил не залежить від форми шляху. Знайдемо роботу сили гравітаційного притягання двох точкових мас m і М у випадку переміщення точкової маси m з точки 1 в точку 2 в гравітаційному полі точкової маси М (рис. 3.4.).

Рис. 3.4

 

. (3.2.2)

 

В даних перетвореннях . Тому

 

. (3.2.3)

 

Введемо поняття потенціальної енергії, як частини механічної енергії, яка залежить від взаємного розміщення матеріальних точок (тіл) у силовому полі.

Силове поле називається потенціальним, якщо робота переміщення точки в цьому полі не залежить від форми шляху. В потенціальних полях діють лише консервативні сили.

Потенціальна енергія чисельно дорівнює роботі переміщення матеріальної точки (тіла) з даної точки простору в деяке фіксоване або нульове положення. Точка ”О” на рис. 3.5. є фіксованою.

Знайдемо роботу переміщення матеріальної точки з положення М₁ в положення М₂. Для цього спочатку знайдемо роботу переміщення точки (тіла) з точки “М₁” в точку “О” і з точки “М₂” в точку “О”.

 

 

Рис. 3.5.

, . (3.2.4)

 

. (3.2.5)

 

В цих розрахунках П₁ і П₂, згідно з визначенням, є потенціальними енергіями матеріальної точки (тіла) в точках М₁ і М₂ простору. Тому робота консервативних сил в потенціальних полях може бути виражена через втрату (зменшення) потенціальної енергії