Определить токи в ветвях сложной цепи.

Решение

Рассчитать токи во всех участках цепи легче всего методом постепенного свертывания цепи, т.е. упрощения электрической цепи.

Резисторы R₂ и R₃ соединены параллельно: R₂₃ =

Резисторы R₁, R₂₃, R₄ cоединены последовательно. Эквивалентное сопротивление всей

цепи равно сумме этих сопротивлений:

R_Э = R₁ + R₂₃ + R₄ = 60 + 12 + 8 = 80 Ом

Ток в неразветвленных участках цепи:

I = I₁ = U / R_Э = 120 / 80 =1,5 A

4. Напряжение между узлами сопротивлений R₂ и R₃:

U₂₃ = I × R₂₃ = 1,5 × 12 = 18 B

5. Ток в цепи с резистором R₂:

I₂ = U₂₃ / R₂ = 18 / 30 = 0,6 A

6. Ток в цепи с резистором R₃:

I₃ = U₂₃ / R₃ = 18 / 20 = 0,9 A

7. Ток в цепи с резистором R₄ равен току в неразветвленной части цепи, т.к. R₁, R₂₃ и R₄

соединены последовательно: I₄ = I₁ = 1,5 A.

8. Напряжение на резисторе сопротивлением R₁:

U₁ = I × R₁ =1,5 × 60 = 90 B

Напряжение на резисторе цепи сопротивлением R₄:

U₄ = I × R₄ = 1,5 × 8 = 12 B

По закону сохранению энергии мощность, отдаваемая источниками, должна равняться мощности, рассеиваемой на всех сопротивлениях цепи.

Выражение баланса мощностей имеет вид: Σ Р_И = Σ Р_Н, где Σ Р_И – алгебраическая сумма мощностей, отдаваемых источниками; Σ Р_Н – арифметическая сумма мощностей, потребляемых в сопротивлениях цепи.

Р_И = Р₁ + Р₂₃ + Р₄;

Р_И = U×I = 120 × 1,5 = 180 Вт; Р₁ = U₁× I = 90 × 1,5 = 135 Вт;

Р₂₃ = U₂₃× I = 18 × 1,5 = 27 Вт; Р₄ = U₄× I = 12 × 1,5 = 18 Вт

180 Вт = 135 + 27 + 18 = 180 Вт

Задание для Задачи 1.

определить эквивалентное сопротивление цепи, токи в неразветвлённых участках и в ветвях цепи, напряжения на резисторах цепи. Составить баланс мощностей

Вариант 1

Дано: R ₁=7 Ом; R ₂=10 Ом; R ₃=2 Ом; R ₄=3 Ом, U = 120 В.

Вариант 2

Дано: R ₁=1 Ом; R ₂=2 Ом; R ₃=3 Ом; R ₄=3 Ом; R ₅=4 Ом, U = 120 В

Вариант 3

Дано: R ₁=10 Ом; R ₂=5 Ом; R ₃=2 Ом; R ₄=3 Ом, U = 120 В

Вариант 4

Дано: R ₁=2 Ом; R ₂=10 Ом; R ₃=4 Ом; R ₄=6 Ом; R ₅=1 Ом, U = 120 В

Вариант 5

Дано: R ₁=5 Ом; R ₂=7 Ом; R ₃=3 Ом; R ₄=10 Ом, U = 120 В

Вариант 6

Дано: R ₁=4 Ом; R ₂=2 Ом; R ₃=1 Ом; R ₄=6 Ом; R ₅=10 Ом; R ₆=1 Ом; R ₇=2 Ом, U = 120 В

Вариант 7

Дано: R ₁=1 Ом; R ₂=2 Ом; R ₃=4 Ом; R ₄=6 Ом; R ₅= R ₆=1 Ом; R ₇=10 Ом, U = 120 В

Вариант 8

Дано: R ₁=10 Ом; R ₂=5 Ом; R ₃=1 Ом; R ₄=2 Ом; R ₅=6 Ом, U = 120 В

Вариант 9

Дано: R ₁=8 Ом; R ₂=15 Ом; R ₃=20 Ом; R ₄=6 Ом, U = 120 В

Вариант 10

Дано: R ₁=10 Ом; R ₂=20 Ом; R ₃=15 Ом; R ₄=5 Ом; R ₅=4 Ом, U = 120 В

2. Расчёт сложных цепей методом узловых и контурных уравнений

Пример расчёта методом узловых и контурных уравнений (по правилам Кирхгофа).

Задача. Рассчитать токи в цепи, представленной на рисунке, если Е₁ = 48 В, Е₂ = 36 В,

R₁ = 35 Ом, R₂ = 36 Ом, R₃ = 50 Ом. R₀₁ = 5 Ом, R₀₂ = 4 Ом,

Электрическая схема

Решение

1. Определяем количество ветвей цепи: три ветви.

2. Произвольно задаемся положительными направлениями токов в ветвях (указываем на схеме стрелками) и направлениями обходов в контурах (по часовой стрелке).

3. Определяем количество уравнений, составленных по 1 и 2 правилам Кирхгофа (число уравнений равно числу неизвестных токов в цепи): m = 3 (три уравнения)

4. Определяем число независимых уравнений, составляемых по первому правилу Кирхгофа: (n −1) уравнений, где n − количество узлов в цепи (два); n −1 = 2 − 1 = 1.

5. Определяем число уравнений, составленных по второму правилу Кирхгофа: m − (n − 1) = 3 − (2 − 1) = 3 − 2 + 1 = 2.

6. Составляем систему уравнений: 7. Подставляем числовые значения:

I₁ + I₂ = I₃ I₁ + I₂ = I₃

E₁ = I₁ (R₁ + R₀₁) + I₃ R₃ 48 = I₁ (35 + 5) + I₃∙ 50

E₁ − E₂ = I₁ (R₁ + R₀₁) − I₂ (R₂ + R₀₂) 48 − 36 = I₁ (35 + 5) − I₂ (36 + 4)

8. Приведем уравнения к нормальному виду: 9. Вторую и третью строку сократим:

I₁ + I₂ − I₃ = 0 I₁ + I₂ − I₃ = 0

40 I₁ + 50 I₃ = 48 20 I₁ + 25 I₃ = 24

40 I₁ − 40 I₂ = 12 10 I₁ − 10 I₂ = 3

10. Решаем данную систему способом подстановки (можно решать различными способами):

I₃ = I₁ + I₂ 20 I₁ + 25 I₁ + 25 I₂ = 24 45 I₁ + 25 I₂ = 24 │ 45 I₁ + 25 I₂ = 24

20 I₁ + 25 (I₁+ I₂) = 24 10 I₁ − 10 I₂ = 3 10 I₁ − 10 I₂ = 3 │2,5 + 25I₁ −25I₂ = 7,5

10 I₁ − 10 I₂ = 3

откуда 70 I₁ = 31,5 I₁ = 31,5 / 70 = 0,45 A; I₁ = 0,45 A

11. Подставим значение тока I₁в уравнение 10 I₁ − 10 I₂ = 3 и определим ток второй ветви:

I₂ = (10 ∙ 0,45 −3) / 10 = 0,15 A; I₂ = 0,15 A

12. Подставим значения токов I₁ и I₂ в уравнение I₁ + I₂ = I₃, определим ток третьей ветви:

0,45 + 0,15 = I₃; I₃ = 0,6 А.

13. Поскольку все токи получились положительными, направления всех действительных токов совпадают с

направлениями токов предполагаемых.

Задание для Задачи 2.

Определить токи в ветвях сложной цепи.

Вариант 1

Дано: Е ₁=120 В; Е ₂=80 В; R ₁=5 Ом; R ₂=10 Ом; R ₃=15 Ом; R ₄=10 Ом

Вариант 2

Дано: Е ₁=20 В; Е ₂=150 В; Е ₃=50 В; R ₁=8 Ом; R ₂=4 Ом; R ₃=20 Ом; R ₄=40 Ом.

Вариант 3

Дано: Е ₁=150 В; Е ₂=100 В; R ₁=30 Ом; R ₂=40 Ом; R ₃=20 Ом; R ₄=50 Ом; R ₅=40 Ом.

Вариант 4

Дано: Е ₁=120 В; Е ₂=160 В; Е ₃=80 В; Е ₄=140 В; R ₁=40 Ом; R ₂=30 Ом; R ₃=20 Ом; R ₄=10 Ом.

Вариант 5

Дано: Е ₁=130 В; Е ₂=1600 В; Е ₃=60 В; R ₁=50 Ом; R ₂=15 Ом; R ₃=40 Ом.

Вариант 6

Дано: Е ₁=120 В; Е ₂=100 В; R ₁=10 Ом; R ₂=15 Ом; R ₃=20 Ом; R ₄=80 Ом.

Вариант 7

Дано: Е ₁=40 В; Е ₂=120 В; Е ₃=60 В; R ₁=10 Ом; R ₂=40 Ом; R ₃=80 Ом.

Вариант 8

Дано: Е ₁=80 В; Е ₂=60 В; Е ₃=140 В; Е ₄=40 В; R ₁=10 Ом; R ₂=20 Ом; R ₃=40 Ом; R ₄=6 Ом. R ₅_{= 20 Ом;} R ₆_{=40 Ом}

Вариант 9

Дано: Е ₁=120 В; Е ₂=60 В; Е ₃=40 В; R ₁=4 Ом; R ₂=10 Ом; R ₃=15 Ом; R ₄=10 Ом

Вариант 10

Дано: Е ₁=120 В; Е ₂=60 В; R ₁=20 Ом; R ₂=40 Ом; R ₃=50 Ом; R ₄=10 Ом; R ₅=40 Ом.

3. РАСЧЁТ потенциалов точек ЭЛЕКТРИЧЕСКой ЦЕПи ПОСТОЯННОГО ТОКА

Расчет потенциалов точек электрической цепи. Потенциальная диаграмма.

Задача. Рассчитать потенциалы точек и построить потенциальную диаграмму для цепи, показанной на рисунке, если Е₁ = 36 В, R₀₁ = 6 Ом, Е₂ = 12 В, R₀₂ = 3 Ом, R₁ = 20 Ом, R₂ = 14 Ом, R₃ = 5 Ом.

Электрическая схема

Решение

1. Определяем величину тока в цепи:

Ток будет направлен по направлению Е₁, т.к. Е₁> Е₂, т.е. по часовой стрелке.

2. Примем потенциал точки А за нулевой φ_А = 0 (принять за начальный потенциал можно потенциал

любой точки, разность потенциалов от этого не изменится.)

3. Поскольку действительный ток в цепи течет по часовой стрелке, т.е. от точки А к точке В потенциал

точки А больше потенциала точки В на величину падения напряжения на сопротивлении R₁:

φ_A− φ_B=U_AB= I R₁; откуда φ_B = φ_A− I R₁= 0 − 0,5∙ 20 = − 10 В

4. Определяем потенциал точки С цепи:

φ_В− φ_С=U_B_С= I R₀₁; откуда φ_С = φ_В− I R₀₁= −10 − 0,5∙ 6 = − 10 − 3 = − 13 В

5. Определяем потенциал точки D цепи:

у источника потенциал зажима D больше потенциала зажима С (+ > −):

φ_D− φ_C= E₁; откуда φ_D = φ_C +E₁= − 13 + 36 = 23 В

6. Определяем потенциал точки E:

φ_D− φ_E=U_DE= I R₂; откуда φ_E = φ_D − I R₂= 23 − 0,5∙ 14 = 23 − 7 = 16 В

7. Определяем потенциал точки F:

φ_E − φ_F = E₂; откуда φ_F = φ_E − E₂= 16 − 12 = 4 В

8. Определяем потенциал точки Q:

φ_F − φ_Q=U_FQ = I R₀₂; откуда φ_Q = φ_F − I R₀₂= 4 − 0,5∙ 3 = 4 − 1,5 = 2,5 В

7. Определяем потенциал точки M:

φ_Q− φ_M = U_QM= I R₃; откуда φ_M = φ_Q − I R₃= 2,5 − 0,5∙ 5 = 2,5 − 2,5 = 0 В

Разумеется, потенциалы точек А и М равны 0, поскольку обе точки являются однопотенциальными

8. Построение потенциальной диаграммы.

По горизонтальной оси откладываются сопротивления цепи с указанием точек, причем сопротивления откладываются не от начала координат, а складываются, т.к. сопротивления в цепи соединены последовательно. Например, для точки В, еще через 6 Ом − точка С (R₀₁ = 6 Ом). Поскольку между точками С и D включен идеальный источник(внутреннее сопротивление его вынесено между точками В и С), сопротивление между ними равно нулю, следовательно по сопротивлениям С и D − одна точка, а по потенциалам − это совершенно различные точки, поскольку между ними находится Е₁.

Аналогичным образом откладываются остальные точки цепи. По вертикали откладываются потенциалы точек. Цепь состоит из линейных элементов, поэтому точки соединяются прямыми линиями С помощью потенциальной диаграммы можно определить ток, протекающий в любом сопротивлении цепи:

I = ΔU / R. Чем круче идут линии графика, тем больший ток протекает по данному сопротивлению.

Задание для Задачи 3.

Построить потенциальную диаграмму.

Вариант 1

Дано: φ _a=0 (В); Е ₁=60 В; Е ₂=30 В; R ₁=5 Ом; R ₂=10 Ом; R ₀₁= R ₀₂=2 Ом.

Вариант 2

Дано: φ _a=0 (В); Е ₁=50 В; Е ₂=25 В; R ₁=3 Ом; R ₂=3 Ом; R ₃=6 Ом; R ₀₁=0; R ₀₂=1 Ом.

Вариант 3

Дано: φ _a=0 (В); Е ₁=20 В; Е ₂=40 В; R ₁=1 Ом; R ₂=3 Ом; R ₃=6 Ом; R ₀₁=0; R ₀₂=1 Ом.

Вариант 4

Дано: φ _a=0 (В); Е ₁=60 В; Е ₂=30 В; R ₁=5 Ом; R ₂=10 Ом; R ₀₁= R ₀₂=2 Ом.

Вариант 5

Дано: φ _a=0 (В); Е ₁=30 В; Е ₂=15 В; R ₁=1,5 Ом; R ₂=3,5 Ом; R ₃=2,5 Ом; R ₀₁= R ₀₂=2 Ом.

Вариант 6

Дано: φ _d=0 (В); Е ₁=60 В; Е ₂=40 В; R ₁=10 Ом; R ₂=10 Ом; R ₃=10 Ом; R ₀₁= R ₀₂=3 Ом.

ТЕМА: однофазные Электрические цепи переменного тока

4. Расчёт цепи переменного тока последовательного соединения R, L, C