Закон эквивалентности и анализ иерархии ценностей

(1.3.38)

равна сумме ее диагональных элементов, т.е.

. (1.3.39)

Таким образом, для обратносимметричной матрицы

. (1.3.40)

Из алгебры обратносимметричных матриц известно, что если она является согласованной (в смысле транзитивности отношения эквивалентности), то максимальное значение корня характеристического уравнения . Причем все остальные корни оказываются равными 0.

Таким образом, приведенные выше системы уравнений мы можем записать в виде

, (1.3.41)

. (1.3.42)

В высшей алгебре векторы и , удовлетворяющие подобным системам уравнений, называются правыми собственными векторами матриц А и В соответственно, отвечающими собственным числам указанных матриц.

Таким образом, мы можем сказать, например, что вектор вкладов частных форм ценности (полезности) при условии транзитивности отношения эквивалентности является правым собственным вектором матрицы эквивалентности А, отвечающим максимальному значению ее собственного числа . Аналогичное высказывание может быть сделано и относительно вектора (вектора затрат).

С учетом того, что матрица В есть транспонированная матрица А, системы уравнений

,

можно переписать в виде

, (1.3.43)

. (1.3.44)

Отсюда следует, что вектор может рассматриваться как левый собственный вектор матрицы А. Аналогично вектор есть левый собственный вектор матрицы В.

Поскольку рассматриваемые нами системы состоят из уравнений с нулевой правой частью, то они определяют бесчисленное множество собственных векторов, отличающихся друг от друга только числовым множителем. Поэтому их целесообразно нормализовать, положив

(1.3.45)

и

. (1.3.46)

Проведение нормализации собственных векторов позволяет получить решения, определяющие доли вкладов (значимости, важности) отдельных частных форм ценности в ее общую меру и доли изменений индивидуальных мер ценности, обеспечивающих одинаковый прирост ее общей меры. Нормализация может быть выполнена и на любое другое число (например, на 100%).

Существование бесчисленного множества совершенно равноправных решений систем (1.3.41) и (1.3.42) свидетельствует о том, что ценности (полезности) абсолютной меры не имеют. Их мера относительна. Она возникает как результат сравнения.

C прагматической точки зрения прямое оценивание пропорций отдельных форм ценности является, несомненно, менее информативным, чем последовательное, независимое попарное сравнение их относительного вклада или требуемого изменения (т.е. оценивания коэффициентов эквивалентности или ). Следовательно, решение задачи на собственный вектор с предварительным определением матриц А или В является, вообще говоря, более точным, чем прямое оценивание пропорций или .

Однако оценивание (например, с помощью экспертов) коэффициентов эквивалентности путем попарного сравнения различных форм ценности может привести к нарушению согласованности соответствующей матрицы эквивалентности. В связи с этим чрезвычайно важной является следующая теорема.

Если отклонения элементов матрицы эквивалентности от их согласованных значений, обеспечивающих транзитивность отношения эквивалентности, достаточно малы (т.е. их можно рассматривать как некоторые достаточно малые возмущения), то и отклонения значения максимального корня l_max от n будет невелико. При этом искажения компонент собственного вектора (т.е. их отклонения от истинных значений) будут также незначительны.

Заметим, что нарушение транзитивности отношения эквивалентности свидетельствует о нарушении условия линейности общей меры ценности относительно ее частных форм, т.е. аддитивности вкладов последних:

. (1.3.47)

Поэтому, чем меньше возмущения элементов матриц А и В, тем точнее будет выполнено это условие, т.е. тем адекватнее будет наше представление о структуре ценности рассматриваемого вида.

Проиллюстрируем влияние возмущений элементов матрицы А (аналогично и В) на следующем примере. Пусть матрица А есть обратносимметричная размером 3 ´ 3. Тогда ее характеристическое уравнение будет иметь вид

. (1.3.48)

Раскрывая определитель и приводя подобные члены, получим

. (1.3.49)

При выполнении условия транзитивности отношения эквивалентности (т.е. согласованности матрицы А)

.

И, следовательно,

,

откуда

, .

Построим зависимость характеристического полинома

,

где

от (рис. 1.3.1).

Рис. 1.3.1

Нетрудно убедиться, что при любых отклонениях значений от равновесных параметр S будет возрастать по сравнению с S = 2 для согласованной матрицы. Из приведенных графиков следует, что при отклонении S от значения 2 происходит увеличение значения максимального корня . Заметим, что этот же эффект наблюдается и при .

Таким образом, по величине отклонения от n можно судить о степени несогласованности матрицы A.

В качестве показателя согласованности матрицы А (аналогично В) T. Саати предложил использовать индекс согласованности

. (1.3.50)

Учитывая психологические особенности оценивания в шкале отношений, Т. Саати предложил в качестве пределов изменения величин a_ki и b_ki использовать числа, лежащие в интервале от 1/9 до 9. Формы ценности, отвечающие большим или меньшим значениям коэффициентов, целесообразно рассматривать на других уровнях иерархии, производя в необходимых случаях соответствующие группировки.

Поскольку ошибки оценивания величин a_ki носят, как правило, случайный характер, то в качестве показателя приемлемости полученных оценок рекомендуется принять отношение согласованности С,

, (1.3.51)

где СИ – среднее значение индекса согласованности обратносимметричной матрицы А (значит, и В), значения элементов которой, расположенные над главной диагональю, заполнялись случайным образом.

Обработка соответствующих данных позволила получить следующее приближенное выражение для среднего значения максимального корня случайно заполняемых матриц А:

, при . (1.3.52)

Таким образом,

СИ . (1.3.53)

Заметим, что при обратносимметричная матрица всегда является согласованной.

Считается, что если , матрица достаточно хорошо согласованна.

Компоненты нормализованного собственного вектора матрицы А являются пределами отношений сумм элементов соответствующих строк матрицы к сумме всех ее элементов:

, (1.3.54)

где – элемент матрицы , являющейся m -й степенью матрицы А.

На основании этой теоремы в качестве первого приближения для оценки нормализованного собственного вектора, очевидно, можно принять

. (1.3.55)

Если бы матрица А была согласованной, то данная оценка была бы истинной.

Второе приближение может быть получено путем возведения матрицы А в квадрат и использования в предыдущем выражении вместо величин элементы вновь полученной матрицы.

Достаточно хорошее, по мнению Т. Саати, приближение дает и следующая оценка

. (1.3.56)

Аналогичным образом могут быть определены и компоненты вектора .

В качестве иллюстративного примера рассмотрим следующую задачу.

Пусть на самом верхнем, стратегическом уровне управления решается вопрос о распределении ограниченного объема средств бюджета среди трех основных отраслей деятельности членов сообщества: Н – наука, культура и образование, П – промышленное производство, С – сельскохозяйственное производство. Уровень развития каждой из указанных отраслей оказывает самое непосредственное влияние на каждую из трех основных компонент (факторов), определяющих благосостояние общества: М – материальное положение населения; З – его здоровье; Б – безопасность общества (рис. 1.3.2).

Рис. 1.3.2. Иерархическая система основных факторов,
влияющих на благосостояние общества

Вполне очевидно, что указанные влияния, а также зависимость функции благосостояния V от компонент М, З, Б, выступающих в роли некоторых частных форм этой ценности, должны быть учтены при разработке концепции бюджета.

Пусть, например, матрица эквивалентности А для первого уровня факторов (частных форм ценности М, З, Б), определяющих функцию V, в условиях достаточно жесткого внешнего окружения, по мнению экспертов, имеет следующий вид:

М, З, Б

.

Заполняя эту матрицу, эксперты отвечают на вопрос типа: во сколько раз величина приращения функции V при увеличении уровня развития k -й компоненты на 1% будет больше соответствующего приращения функции V при увеличении уровня развития i -й компоненты на 1%:

.

Указанные сравнения выполняются для каждой пары из множества М, З, Б.

Нетрудно видеть, что приведенная выше матрица является вполне согласованной. Поэтому, используя формулы первого приближения, находим следующие истинные оценки величин:

.

Рассматривая теперь каждую из частных форм М, З, Б как некоторые ценности, зависящие от факторов Н, П, С, определим для них соответствующие матрицы эквивалентности.

Пусть, например, эксперты дали следующие оценки:

Н П С ,

Н П С ,

Н П С .

Учитывая полную согласованность приведенных матриц, находим

,	,	,
,	,	,
,	,	.

Используя полученные данные, можно определить вклад в благосостояние общества каждой отрасли при условии, что ее уровень увеличится на 1%:

Предположим теперь, что для изменения уровня развития каждой из рассматриваемых отраслей на 1% необходимо затратить следующие финансовые средства (в условных единицах):

, , .

Если общее количество средств, выделяемых на бюджетное финансирование Х, известно и известны ограничения, налагаемые на уровень развития отдельных форм ценности, а также на уровень развития отдельных отраслей, то мы можем теперь окончательно сформулировать задачу о рациональном распределении средств бюджета по отраслям в форме задачи линейного программирования:

, (1.3.57)

где х – общий объем средств бюджета; – минимально допустимое приращение l -й формы благосостояния как ценности; – минимально допустимое приращение уровня развития k -й отрасли; – количество средств, выделяемых на развитие k -й отрасли.

С учетом дополнительных данных об ограничениях будем иметь в нашем случае

Мы не будем искать решение этой задачи (тем более, что соответствующие методы хорошо известны). Заметим только, что величины и характеризуют в определенной степени структуру общей ценности на некотором уровне иерархии ее представления. На более низком уровне структура этой ценности имеет уже отраслевой характер .