Поиск оптимального сочетания ресурсов. Построение функции издержек.

В процессе кратковременного планирования производства затраты некоторых ресурсов (переменных) могут изменяться, а остальных (постоянных) не могут. Обозначим через x =(x ₁, x ₂,..., x_n) план по затратам переменных ресурсов, Предположим, что цены ресурсов не зависят от объема закупок. Пусть вектор w =(w ₁, w ₂,..., w_n) задает цены переменных ресурсов.

При реализации плана производства (по ресурсам) стоимость затраченных постоянных ресурсов С₀, переменных ресурсов , и общая стоимость затраченных ресурсов называются, соответственно, постоянными, переменными и общими издержками.

Одно и то же количество продукции можно произвести с помощью различных планов по затратам ресурсов, лежащих на одной изокванте. Перед производителем возникает задачи поиска такого плана по ресурсам, который обеспечит выпуск заданного количества продукции q с наименьшими переменными издержками:

(1)

Задача (1) является задачей математического программирования (на условный экстремум). Если найти план с наименьшими переменными издержками, то он же будет планом с наименьшими общими издержками, т.к. общие издержки отличаются от переменных на постоянную С_0.

Предположим, что задача (1) имеет единственное решение: x *=(x ₁*, x ₂*,..., x_n *). Это план производства по ресурсам, обеспечивающий выпуск q единиц продукции с минимальными издержками, называется оптимальным планом по ресурсам или точкой равновесия производителя. Вектор x *, вообще говоря, зависит от w и q:

Функция называется (условной) функцией спроса на ресурсы.

План x * обойдется производителю в денежных единиц.

Функция, сопоставляющая объему выпуска продукции q и ценам ресурсов w стоимость плана, обеспечивающего выпуск q единиц продукции с наименьшими переменными издержками, называется функцией переменных издержек и обозначается С _v (w, q):

,

а функцией общих издержек называется

Условимся считать, что цены ресурсов в рассматриваемом временном горизонте неизменны и ценовая дискриминация на рынке ресурсов отсутствует. При этом изменение затрат ресурсов и соответствующих издержек будет связано только с изменением объема выпуска, поэтому опустим w в списке аргументов функций x * и С _v.

Геометрический подход к поиску оптимального плана возможен в случае ПФ двух переменных. Стоимость ресурсов G (x) – функция двух переменных - изображается графически в виде семейства линий уровня - изокост.

Множество планов производства с одинаковыми переменными издержками называется изокостой. Уравнение изокосты имеет вид: .

Поскольку изокоста задается линейным уравнением, то ее можно начертить по точкам пересечения с осями Оx₁ и Ox₂.

Семейство изокост на плоскости – множество отрезков параллельных прямых с нормальным вектором . Угол наклона изокосты к оси О x ₁: tgj=– w ₁/ w ₂.

Если оптимальная комбинация ресурсов (оптимальный план по ресурсам, точка равновесия производителя) x * - точка касания самой низкой изокосты с изоквантой, причем задействованы все ресурсы (x ₁*>0, x ₂*>0), то такое решение задачи называется касательным (рис. 7). Учитывая, что наклон изокосты определяется отношением цен на ресурсы, а наклон касательной к изокванте это MRTS₁₂(x^*), то в точке равновесия эти величины совпадут.