Понятие эластичности функции и его экономические приложения

Глава 2. ФУНКЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ.

Функция спроса.

Основной задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин. Как изменится выручка фирмы при повышении цены на её продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач надо построить функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. Предельный анализ в экономике – совокупность приемов исследования изменяющихся величин на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель функции – это её производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функций нескольких переменных).

Рассмотрим для примера важнейшую экономическую зависимость – функцию спроса. Исследуемая величина спроса на определенный товар за некоторый период времени является эндогенной переменной, обозначим её буквой x. Она зависит от многих факторов (экзогенных переменных): цены этого товара p, дохода потребителей, цен других товаров (дополняющих или замещающих) и других факторов, которые не всегда можно количественно измерить, например, моды, рекламы, инфляционных ожиданий. Если зафиксировать все факторы, кроме цены, то мы получим самую простую модель – функцию одной переменной, задающую зависимость спроса от цены x=x(p). Как и другие функции, функцию спроса можно задать дискретно таблицей соответствующих значений (эмпирические данные), можно на основе статистических данных методами эконометрики вывести формулу зависимости (математическая модель), а можно нарисовать кривую спроса (графическая модель).

Чтобы измерить, насколько изменяется исследуемый показатель при изменении фактора, имеются два подхода: приростный и темповый.

Если рассматривать абсолютный прирост переменной (изменение аргумента x) и вызываемый им прирост (изменение значения функции ), то в качестве меры «абсолютной» чувствительности может служить: средняя скорость изменения функции или предельная скорость – производная. При этом подходе прирост функции оценивается с помощью производной . Отсюда экономический смысл предельной величины (производной): она примерно равна приросту функции при изменении аргумента на одну единицу (предполагается, что эта единица – достаточно малая величина).

Как правило, величина спроса на какой-либо товар уменьшается при увеличении его цены (исключая товары Гиффина, для которых не выполняется закон спроса). Это отражается в отрицательном наклоне кривой спроса и в том факте, что функция спроса обычно убывает.

Пример. Функция спроса на сахар в одном населенном пункте в кг за день задана в виде (где p - цена в руб. за кг). Это так называемая прямая функция спроса, которая позволяет устанавливать величину спроса при подстановке значений цены. Например: при цене на сахар 20 руб. его потребление составит 160кг.

А для построения графика функции спроса – кривой спроса (по традиции в системе координат xOp) – удобно выразить p через x и получить обратную функцию спроса p= 100-0.5 x. Учитывая неотрицательность всех переменных, имеем ограничения: . Кривая спроса расположена в первой четверти. В данном примере функция спроса линейна, её графиком является прямая линия с отрицательным углом наклона.

. Производная везде одинакова. Её величина означает, что если увеличить цену на 1рубль (прирост цены ), то спрос уменьшится на 2кг (). ◄

Производная отражает абсолютную величину падения спроса при повышении цены. Но величина станет другой, если измерять сахар в других единицах (не в кг, а в тоннах). В этом кроется недостаток производной функции спроса как меры чувствительности спроса - она зависит от единиц измерения величин. В отличие от абсолютного прироста (при увеличении цены сахара с20 до 25 рублей он составит 25-20=5 рублей), относительный прирост 5/20=1/4=25% не связан с единицами измерения.

Понятие эластичности функции и его экономические приложения

Оценить изменение функции можно, сравнивая темпы роста фактора и зависимой переменной, для этого используют связь относительных или процентных изменений переменных.

Эластичностью функции y = f (x), не равной нулю и дифференцируемой в точке x ¹0, называется предел отношения относительных изменений переменных

Эластичность функции y = f (x) вычисляется по формуле: Эту эластичность называют также предельной или точечной эластичностью.

Эластичность функции показывает, на сколько примерно процентов изменится значение функции, если значение аргумента изменится на 1%.

Составим таблицу эластичностей для некоторых функций:

y = f (x)	ex (y)	y = f (x)	ex (y)
a		a/x	–1
x		a x	x lna
ax+b	ax / ax+b	e bx	bx
x b	b	lnx	1/ lnx

Свойства эластичности.

1) Эластичность – безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измеряются переменные.

2) Если эластичности сомножителей существуют, эластичность произведения также существует и равна сумме эластичностей сомножителей: e_x (fg)= e_x (f)+ e_x (g).

3) Если эластичности делимого и делителя существуют, эластичность частного также существует и равна разности эластичностей делимого и делителя: e_x (f/g)= e_x (f)– e_x (g).

4) Эластичности взаимно обратных функций – взаимно обратные величины

5) Эластичность можно представить в форме «логарифмической производной»