По выполнению контрольной работы №1 4 страница

Пример 1. Найти интеграл .

Решение: Воспользуемся определением степени с отрицательным показателем и найдем неопределенный интеграл от степени:

.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение: Воспользуемся определением степени с дробным показателем и найдем неопределенный интеграл от степени:

.

Пример 3. Найти интеграл .

Решение: Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями и найдем неопределенный интеграл от степени:

.

Пример 4. Найти интеграл .

Решение: Воспользуемся определением степени с дробным показателем , правилами действия над степенями с одинаковыми основаниями , правилом деления суммы на число и найдем интеграл от каждого слагаемого отдельно. Имеет:

.

Заметим, что произвольные постоянные, входящие по определению в каждый из слагаемых неопределенных интегралов, объединяются в одну произвольную постоянную.

Пример 5. Найти интеграл .

Решение: Раскроем скобки по формуле и неопределенный интеграл от полученной алгебраической суммы функции заменим такой же алгебраической суммой неопределенных интегралов от каждой функции:

Пример 6. Найти интеграл .

Решение: Для нахождения интеграла воспользуемся формулой и свойствами неопределенного интеграла:

.

Интегрирование методом подстановки. Если интеграл затруднительно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то в этом случае пользуются методом подстановки.

Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной удается свести данный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:

1. часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;
2. найти дифференциал от обеих частей замены;

3. все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получится табличный интеграл);

4. найти полученный табличный интеграл;

5. сделать обратную замену.

Пример 7. Найти интеграл .

Решение: Произведем подстановку , тогда , откуда . Далее получаем:

.

Пример 8. Найти интеграл .

Решение: Сначала положим , тогда , откуда . Далее получаем:

.

Пример 9. Найти интеграл .

Решение: Положим , тогда , откуда . Далее получаем:

.

Пример 10. Найти интеграл .

Решение: Положим , тогда , откуда . Далее получаем:

.

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать следующие формулы ( – постоянные):

1. . 2. . 3. . 4. .

5. . 6. . 7. . 8.

Так, при нахождении можно использовать формулу , где . Тогда .

 

Определенный интеграл.

 

Пусть функция определена на отрезке . Допустим для простоты, что функция в указанном промежутке неотрицательна и . Разобьем этот отрезок на n частей точками . На каждом из частичных отрезков возьмем произвольную точку с_i и составим сумму:

,

где . Эта сумма носит название интегральной суммы функции на отрезке .

 

Рис. 15

Геометрически (рис. 15) каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а вся сумма равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных выше прямоугольников. Очевидно, что при всевозможных разбиениях отрезка на части получим различные интегральные суммы, а следовательно, и различные «ступенчатые фигуры».

Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего из отрезков стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления , ни от того, как выбираются промежуточные точки .

Этот предел и называется определенным интегралом от функции на отрезке .

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Он обозначается символом и читается «интеграл от a до b от функции по dx» или, короче, «интеграл от a до b от dx».

По определению,

.

Число а называется нижним пределом интегрирования, число b – верхним; отрезок – отрезком интегрирования.

Заметим, что всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Если интегрируемая на отрезке функция неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции аABb, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми и (рис. 15), т.е. . В этом и заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла. Все свойства сформулированы в предположении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

.

2. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

.

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

, где .

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

5. Интеграл от алгебраической суммы функций равен той же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:

.

Непосредственное вычисление определенного интеграла. Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служат формулой Ньютона – Лейбница

,

т.е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение: Применив указанное правило, вычислим данный определенный интеграл:

.

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение: Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:

.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение: Интеграл от разности функции заменим разностью интегралов от каждой функции:

.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение: Воспользуемся определением степени с дробным показателем, правилом деления суммы на число и вычислим определенный интеграл от каждого слагаемого отдельно:

.

Приложение определенного интеграла. Понятие определенного интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Рис. 16

Рис. 17

Площади плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции aABb (рис. 16), ограниченной графиком непрерывных функций (где ), отрезком ab оси Ох и отрезками прямых и , вычисляется по формуле:

, где

(1)

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой , осью Ох и прямыми и (рис. 17).

Решение: Применяя формулу (1), получаем:

, кв. ед.

Пример 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми и осью абсцисс (рис. 18).

Рис. 18

Рис. 19

Решение: Применяя формулу (1), получаем:

; кв. ед.

Площадь фигуры ABCD (рис. 19), ограниченной графиками непрерывных функций , (где ) и отрезками прямых , вычисляется по формуле:

, где

(2)

Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой и осью Ох (рис. 20).

Решение: Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций (ось Ох). Для этого решим систему

.

Имеем .

Теперь найдем искомую площадь по формуле (2):

кв.ед.

Рис. 20

Рис. 21

Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

(рис. 21).

Решение: Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций . Для этого решим систему

Имеем: , . Искомую площадь вычисляем по формуле (2), при :

кв. ед.

Пример 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами (рис. 22).

Решение: Найдем пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения графиков функций . Для этого решим систему:

.

Имеем:

Рис. 22

Рис. 23

Искомую площадь вычисляем по формуле (2):

.

кв. ед.

Объем тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции aABb, ограниченной непрерывной кривой , (где ), отрезком ab оси Ох и отрезками прямых (рис. 23), вычисляется по формуле:

(3)

Пример 15. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой , прямой и осью Ох (рис. 24)

Рис. 24

Рис. 25

Решение: Применяя формулу (3), находим:

;

куб. ед.

Пример 16. Вычислить объем шара радиуса R (рис. 25).

Решение: Шар образован вращением вокруг оси Ох круга, ограниченного окружностью с центром в начале координат и радиусом R. Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, сначала найдем по формуле (3) половину искомого объема:

; куб. ед.

Следовательно, куб. ед.

Пример 17. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной осью Ох и полуволной синусоиды (рис. 26).

Решение: Применяя формулу (3), находим:

;

куб. ед.

Рис. 26

Рис. 27

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции aABb, ограниченной непрерывной кривой (где ), отрезком ab оси Оу и отрезками прямых (рис. 27), вычисляется по формуле:

(4)

Пример 18. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой и прямой (рис. 28).

Решение: Применяя формулу (4), находим:

; куб. ед.

Рис.28

Рис. 29

Пример 19. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой и прямой (рис. 29).

Решение: Объем полученного тела (оно называется параболоидом) вычислим по формуле(4):

; куб. ед.

Путь, пройденный точкой. Если точка движется прямолинейно и ее скорость есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени , вычисляется по формуле:

(5)

Пример 20. Тело движется прямолинейно со скоростью . Вычислить путь, пройденный телом за 10 с.

Решение: Применяя формулу (5), находим:

.

Пример 21. Скорость прямолинейно движущегося тела равна . Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.