По выполнению контрольной работы №1 2 страница

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3,5,7 и 8:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим

Пример 3. Найти производную функции и вычислить ее значение при .

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Используя формулы 7а и 10, имеем

Вычислим значение производной при :

Пример 4. Найти производную функции

Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом . Применяя формулы 3, 5, 7а, 11, 16а, получим

Пример 5. Найти производную функции .

Решение. Дифференцируем данную функцию по формулам 6, 12, 3 и 1:

Пример 6. Найти производную функции и вычислить ее значение при

Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов

Теперь дифференцируем по формулам 3, 16а, 7 и 1:

Вычислим значение производной при

Пример 7. Найти производную функции и вычислить ее значение при

Решение. Используем формулы 6, 3, 14а, 9а, 5 и 1:

Вычислим значение производной при :

Геометрический смысл производной. Производная функции имеет простую и важную геометрическую интерпретацию.

Если функция дифференцируема в точке , то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке , равен значению производной функции при , т.е. .

Уравнение этой касательной имеет вид

Пример 8. Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение. Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при :

Уравнение касательной имеет вид

или т.е.

Пример 9. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой

Решение. Сначала найдем ординату точки касания . Так как точка лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т.е.

Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке , имеет вид . Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при :

Уравнение касательной таково:

т.е.

Физический смысл производной. Если тело движется по прямой по закону , то за промежуток времени (от момента до момента ) оно пройдет некоторый путь . Тогда есть средняя скорость движения за промежуток времени .

Скоростью движения тела в данный момент времени называется предел отношения приращения пути к приращению времени , когда приращение времени стремится к нулю:

Следовательно, производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени:

Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.

Производная функции равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента :

Пример 10. Закон движения точки по прямой задан формулой ( – в метрах, – в секундах). Найти скорость движения точки в конце первой секунды.

Решение. Скорость движения точки в данный момент времени равна производной пути по времени :

Итак, скорость движения точки в конце первой секунды, равна 9 м/с.

Пример 11. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону , где – начальная скорость, – ускорение свободного падения тела. Найти скорость этого движения для любого момента времени . Сколько времени будет подниматься тело и на какую высоту оно поднимется, если = 40 м/с?

Решение. Скорость движения точки в данный момент времени равна производной пути по времени :

В высшей точке подъема скорость тела равна нулю:

За секунд тело поднимется на высоту

м.

Вторая производная. Производная функции в общем случае является функцией от . Если от этой функции вычислить производную, то получим производную второго порядка или вторую производную функции .

Второй производной функции называется производная от ее первой производной .

Вторая производная функции обозначается одним из символов – . Таким образом, .

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка:

или

Пример 12. Найти вторую производную функции

Решение. Сначала найдем первую производную

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

Пример 13. Найти вторую производную функции и вычислить ее значение при .

Решение. Сначала найдем первую производную:

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

Вычислим значение второй производной при ; имеем

Физический смысл второй производной. Если тело движется прямолинейно по закону , то вторая производная пути по времени равна ускорению движения в данный момент времени :

Таким образом, первая производная характеризует скорость некоторого процесса, а вторая производная – ускорение того же процесса.

Пример 14. Точка движется по прямой по закону . Найти скорость и ускорение движения при .

Решение. Скорость движения тела в данный момент времени равна производной пути по времени , а ускорение – второй производной пути по времени . Находим:

; тогда ;

; тогда .

Пример 15. Скорость прямолинейного движения пропорциональна квадратному корню из пройденного пути (как, например, при свободном падении). Доказать что это движение происходит под действием постоянной силы.

Решение. По закону Ньютона, сила , вызывающая движение, пропорциональна ускорению, т.е.

или .

Согласно условию, . Дифференцируя это равенство, найдем

.

Следовательно, действующая сила .

Приложения производной к исследованию функций.

Условие постоянства функции. Дифференцируемая функция постоянна на промежутке тогда и только тогда, когда внутри .

Рис. 5	Рис. 6

Условие возрастания функции. Дифференцируемая функция монотонно возрастает на промежутке тогда и только тогда, когда ее производная не отрицательна внутри этого промежутка: , причем производная обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри промежутка .

Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно возрастающей функции образует с положительным направлением оси острый угол или параллельна ей. (рис. 5).

Условие убывания функции. Дифференцируемая функция монотонно убывает на промежутке тогда и только тогда, когда ее производная не положительна внутри этого промежутка: , причем производная обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри .

Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно убывающей функции образует с положительным направлением оси тупой угол или параллельна ей (рис. 6).

Экстремумы функции. Говорят, что функция имеет максимум в точке (рис. 7), если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках,, достаточно близких к , т.е. если для любых , как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по модулю. Таким образом, – точка максимума, а – максимум функции.

Говорят, что функция имеет минимум в точке (рис. 7), если значение функции в этой точке меньше, чем ее значение во всех точках, достаточно близких к , т.е. если для любых , как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по модулю. Таким образом, – точка минимума, а – минимум функции.

Рис. 7

Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум. Значение функции в этой точке называется экстремальным. Замечание. Следует помнить: 1) что максимум (минимум) не является обязательно наибольшим (наименьшим) значением, принимаемым функцией; 2) функция может иметь несколько максимумов или

минимумов; 3) функция, определенная на отрезке, может достигать экстремума только во внутренних точках этого отрезка.

Необходимое условие экстремума. Если функция имеет экстремум при , то ее производная в этой точке равна нулю или бесконечности, либо вовсе не существует, при этом сама функция в точке определена.

Из этого следует, что точки экстремума функции следует разыскивать только среди тех, в которых ее первая производная равна нулю, или бесконечности, или не существует. Эти точки называются критическими точками I рода.

Этот признак экстремума является только необходимым. Поэтому, определив критические точки I рода, надо каждую из них в отдельности исследовать на основании достаточных условий экстремума.

Первое достаточное условие существования экстремума функции. Пусть точка является критической точкой I рода функции , а сама функция дифференцируема во всех точках некоторого промежутка, содержащего эту точку (за исключением, возможно, самой точки). Тогда:

1) если при переходе слева направо через критическую точку I рода первая производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция достигает максимума, т.е. – точка максимума, ;

2) если при переходе слева направо через критическую точку I рода первая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция достигает минимума, т.е. – точка минимума, ;

3) если при переходе через критическую точку I рода первая производная не меняет знака, то в этой точке экстремума нет.

Для исследования функции на экстремум по первой производной следует:

1. Найти область определения функции.

2. Найти первую производную функции и критические точки I рода.

3. Отметить границы области определения и критические точки I рода на числовой прямой.

4. Исследовать знак производной в каждом из полученных интервалов.

5. Выписать точки экстремума и вычислить экстремумы функции.

Пример 16. Найти экстремумы функции .

Решение. 1. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. .

2. Функция имеет производную всюду, поэтому определяем критические точки из условия . Находим производную:

;

3. Отмечаем эти критические точки на числовой прямой (рис. 8).

Рис. 8.

4. Исследуем знак производной в каждом из полученных интервалов: , .

5. точка – точка максимума, так как при переходе через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус: . Точки не являются точками экстремума.

Второе достаточное условие существования экстремума функции. Если в точке первая производная равна нулю , а вторая производная отличная от нуля, то – точка экстремума.

При этом если вторая производная в этой точке положительна , то – точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна , то – точка максимума.

Для исследования функции на экстремум по первой и второй производной следует:

1. Найти область определения функции.

2. Найти первую производную функции и стационарные точки, т. е. точки, в которых она обращается в нуль.

3. Найти вторую производную функции и исследовать ее знак в каждой стационарной точке.

4. Выписать точки экстремума и вычислить (если нужно) экстремумы функции.

Пример 17. Найти экстремумы функции .