Пример 1. Найти производную функции 
Решение. Данная функция есть алгебраическая сумма функций. Дифференцируем ее, используя формулы 3,5,7 и 8:
Пример 2. Найти производную функции 
Решение. Применяя формулы 6, 3, 7 и 1, получим
Пример 3. Найти производную функции 
и вычислить ее значение при 
.
Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом 
. Используя формулы 7а и 10, имеем 
Вычислим значение производной при :
Пример 4. Найти производную функции 
Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом 
. Применяя формулы 3, 5, 7а, 11, 16а, получим
Пример 5. Найти производную функции 
.
Решение. Дифференцируем данную функцию по формулам 6, 12, 3 и 1:
Пример 6. Найти производную функции 
и вычислить ее значение при 
Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов
Теперь дифференцируем по формулам 3, 16а, 7 и 1:
Вычислим значение производной при 
Пример 7. Найти производную функции 
и вычислить ее значение при 
Решение. Используем формулы 6, 3, 14а, 9а, 5 и 1:
Вычислим значение производной при 
:
Геометрический смысл производной. Производная функции имеет простую и важную геометрическую интерпретацию.
Если функция 
дифференцируема в точке 
, то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке.
Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке 
, равен значению производной функции при 
, т.е. 
.
Уравнение этой касательной имеет вид
Пример 8. Составить уравнение касательной к графику функции 
в точке 
.
Решение. Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при 
:
Уравнение касательной имеет вид
или 
т.е. 
Пример 9. Составить уравнение касательной, проведенной к графику функции 
в точке с абсциссой 
Решение. Сначала найдем ординату точки касания 
. Так как точка 
лежит на кривой, то ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, т.е.
Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке 
, имеет вид 
. Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную:
Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при 
:
Уравнение касательной таково:
т.е. 
Физический смысл производной. Если тело движется по прямой по закону 
, то за промежуток времени 
(от момента 
до момента 
) оно пройдет некоторый путь 
. Тогда 
есть средняя скорость движения за промежуток времени .
Скоростью движения тела в данный момент времени называется предел отношения приращения пути к приращению времени , когда приращение времени стремится к нулю:
Следовательно, производная пути 
по времени равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени:
Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.
Производная функции равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента :
Пример 10. Закон движения точки по прямой задан формулой 
( – в метрах, – в секундах). Найти скорость движения точки в конце первой секунды.
Решение. Скорость движения точки в данный момент времени равна производной пути по времени :
Итак, скорость движения точки в конце первой секунды, равна 9 м/с.
Пример 11. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону 
, где 
– начальная скорость, 
– ускорение свободного падения тела. Найти скорость этого движения для любого момента времени . Сколько времени будет подниматься тело и на какую высоту оно поднимется, если = 40 м/с?
Решение. Скорость движения точки в данный момент времени равна производной пути по времени :
В высшей точке подъема скорость тела равна нулю:
За 
секунд тело поднимется на высоту
м.
Вторая производная. Производная функции в общем случае является функцией от . Если от этой функции вычислить производную, то получим производную второго порядка или вторую производную функции .
Второй производной функции называется производная от ее первой производной 
.
Вторая производная функции обозначается одним из символов – 
. Таким образом, 
.
Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка:
или 
Пример 12. Найти вторую производную функции 
Решение. Сначала найдем первую производную
Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:
Пример 13. Найти вторую производную функции 
и вычислить ее значение при .
Решение. Сначала найдем первую производную:
Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:
Вычислим значение второй производной при ; имеем 
Физический смысл второй производной. Если тело движется прямолинейно по закону , то вторая производная пути по времени равна ускорению движения в данный момент времени :
Таким образом, первая производная характеризует скорость некоторого процесса, а вторая производная – ускорение того же процесса.
Пример 14. Точка движется по прямой по закону 
. Найти скорость и ускорение движения при 
.
Решение. Скорость движения тела в данный момент времени равна производной пути по времени , а ускорение – второй производной пути по времени . Находим:
; тогда 
;
; тогда 
.
Пример 15. Скорость прямолинейного движения пропорциональна квадратному корню из пройденного пути (как, например, при свободном падении). Доказать что это движение происходит под действием постоянной силы.
Решение. По закону Ньютона, сила 
, вызывающая движение, пропорциональна ускорению, т.е.
или 
.
Согласно условию, 
. Дифференцируя это равенство, найдем
.
Следовательно, действующая сила 
.
Приложения производной к исследованию функций.
Условие постоянства функции. Дифференцируемая функция постоянна на промежутке 
тогда и только тогда, когда 
внутри .
| 
|
| Рис. 5 | Рис. 6 |
Условие возрастания функции. Дифференцируемая функция монотонно возрастает на промежутке тогда и только тогда, когда ее производная не отрицательна внутри этого промежутка: 
, причем производная 
обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри промежутка .
Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно возрастающей функции образует с положительным направлением оси 
острый угол или параллельна ей. (рис. 5).
Условие убывания функции. Дифференцируемая функция монотонно убывает на промежутке тогда и только тогда, когда ее производная не положительна внутри этого промежутка: 
, причем производная обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри .
Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно убывающей функции образует с положительным направлением оси тупой угол или параллельна ей (рис. 6).
Экстремумы функции. Говорят, что функция имеет максимум в точке 
(рис. 7), если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках,, достаточно близких к , т.е. если 
для любых 
, как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по модулю. Таким образом, 
– точка максимума, а 
– максимум функции.
Говорят, что функция имеет минимум в точке 
(рис. 7), если значение функции в этой точке меньше, чем ее значение во всех точках, достаточно близких к , т.е. если 
для любых , как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по модулю. Таким образом, 
– точка минимума, а 
– минимум функции.
Рис. 7
| Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум. Значение функции в этой точке называется экстремальным. Замечание. Следует помнить: 1) что максимум (минимум) не является обязательно наибольшим (наименьшим) значением, принимаемым функцией; 2) функция может иметь несколько максимумов или |
минимумов; 3) функция, определенная на отрезке, может достигать экстремума только во внутренних точках этого отрезка.
Необходимое условие экстремума. Если функция имеет экстремум при , то ее производная в этой точке равна нулю или бесконечности, либо вовсе не существует, при этом сама функция в точке 
определена.
Из этого следует, что точки экстремума функции следует разыскивать только среди тех, в которых ее первая производная равна нулю, или бесконечности, или не существует. Эти точки называются критическими точками I рода.
Этот признак экстремума является только необходимым. Поэтому, определив критические точки I рода, надо каждую из них в отдельности исследовать на основании достаточных условий экстремума.
Первое достаточное условие существования экстремума функции. Пусть точка является критической точкой I рода функции , а сама функция дифференцируема во всех точках некоторого промежутка, содержащего эту точку (за исключением, возможно, самой точки). Тогда:
1) если при переходе слева направо через критическую точку I рода первая производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция достигает максимума, т.е. – точка максимума, 
;
2) если при переходе слева направо через критическую точку I рода первая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция достигает минимума, т.е. – точка минимума, 
;
3) если при переходе через критическую точку I рода первая производная не меняет знака, то в этой точке экстремума нет.
Для исследования функции на экстремум по первой производной следует:
1. Найти область определения функции.
2. Найти первую производную функции и критические точки I рода.
3. Отметить границы области определения и критические точки I рода на числовой прямой.
4. Исследовать знак производной в каждом из полученных интервалов.
5. Выписать точки экстремума и вычислить экстремумы функции.
Пример 16. Найти экстремумы функции 
.
Решение. 1. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е. 
.
2. Функция имеет производную всюду, поэтому определяем критические точки из условия . Находим производную:
;
3. Отмечаем эти критические точки на числовой прямой (рис. 8).
Рис. 8.
| 4. Исследуем знак производной  в каждом из полученных интервалов:  ,  .
|
5. точка – точка максимума, так как при переходе через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус: 
. Точки 
не являются точками экстремума.
Второе достаточное условие существования экстремума функции. Если в точке первая производная равна нулю 
, а вторая производная отличная от нуля, то – точка экстремума.
При этом если вторая производная в этой точке положительна 
, то – точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна 
, то – точка максимума.
Для исследования функции на экстремум по первой и второй производной следует:
1. Найти область определения функции.
2. Найти первую производную функции и стационарные точки, т. е. точки, в которых она обращается в нуль.
3. Найти вторую производную функции и исследовать ее знак в каждой стационарной точке.
4. Выписать точки экстремума и вычислить (если нужно) экстремумы функции.
Пример 17. Найти экстремумы функции 
.
