Вычисление предела функции

1. Число А называется пределом функции при , если для любого числа можно указать такое , что для любого , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство . В этом случае пишут . Если число А₁ (число А₂) есть предел функции при х, стремящемся к так, что х принимает только значения, меньшие (большие) , то А₁ (А₂) называется левым (правым) пределом функции в точке . При этом соответственно пишут

2. Функция называется бесконечно малой при , если .

3. Функция называется бесконечно большой при , если , или , или .

Отметим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

· Если функция и – бесконечно малые при , то их сумма при также является бесконечно малой.

· Если функция – бесконечно малая при , а – ограниченная функция, то их произведение есть функция бесконечно малая.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая.

· Если при функция имеет конечный предел , а функция – бесконечно большая, то

· Если функция – бесконечно малая при , то функция – бесконечно большая, причем предполагается, что в окрестности точки а функция не обращается в нуль. Наоборот, если при функция – бесконечно большая, то функция – бесконечно малая. Между бесконечно малой функцией и функцией, имеющей конечный предел, существует следующая зависимость. Если функция имеет конечный предел при , то ее можно представить в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции при . Наоборот, если функция может быть представлена в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции при , то эта функция имеет конечный предел при , который равен значению постоянной.

4. Теорема 1. Если существуют пределы функций и , то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций и :

Теорема 2. Если существуют пределы функций и при , то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций и :

Теорема 3. Если существуют пределы функций и при и предел функции отличен от нуля, то существует также предел отношения , равный отношению пределов функций и :

Следствия.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

2. Если n – натуральное число, то

3. Предел многочлена (целой рациональной функции)

4. Предел дробно-рациональной функции при равен значению этой функции при , если принадлежит области определения функции, т.е. .

Вычислите пределы:

1. 1) ; 2) .

1) По правилу нахождения предела многочлена находим

.·

2) Так как при знаменатель дроби отличен от нуля, то по правилу нахождения предела дробно-рациональной функции получим

2. 1) ; 2) ; 3) .

1) Здесь предел делителя равен нулю: . Следовательно, теорему о пределе частного применить нельзя. Так как , то при есть величина бесконечно малая, а обратная ей величина – бесконечно большая. Поэтому при произведение есть величина бесконечно большая, т.е. ·

2) Здесь пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, так как при получается отношение двух бесконечно малых величин. Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения; поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем

3) Пределы числителя и знаменателя при равны нулю: , . Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле , где и – корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим дробь на . Используя следствие 4, получим

3. 1) ; 2) ; 3) .

1) При знаменатель неограниченно растет, т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная величина – бесконечно малой. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину (постоянная – частный случай ограниченной величины) есть величина бесконечно малая, и предел ее при равен нулю. Следовательно, ·

2) При числитель и знаменатель – величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение , которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции можно числитель и знаменатель разделить на х:

(при слагаемые и – величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).

3) Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т.е. на :

При имеем

Так как знаменатель есть величина ограниченная, то