При 
и относительно малом отклонении от среднего 
выполняется нормальное распределение
. (1.19)
Резултат получил Гаусс в 1809 г.
Карл Фридрих Гаусс (1777–1855)
Доказательство:
Распределение Пуассона
логарифмируем
.
Используем формулу Стирлинга (будет доказана в курсе ММФ)
, при ,
,
тогда
.
Учитывая
, 
,
разлагаем в ряд
.
В результате
.
Заменяя 
и потенцируя, получаем (1.19).
Условие нормировки
На основании считаем n квазинепрерывным, тогда
– плотность вероятности,
Условие нормировки получает вид
,
где
;
при ;
;
учтено
.
Среднее значение
,
,
,
где
.
Дисперсия
,
где
, 
,
и учтено
.
В результате
. (1.20)
Из (1.19) и (1.20) плотность вероятности
. (1.21)
Распределение Гаусса, 
Центральная предельная теорема – при суммировании большого числа независимых случайных величин, имеющих различные распределения, результирующее распределение близко к распределению Гаусса.
Теорема обосновывает применимость нормального распределения к многочисленным случайным процессам. Теорему доказал Ляпунов в 1901 г.
Александр Михайлович Ляпунов (1857–1918)
ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
Производящая функция позволяет получать важные соотношения теории вероятности простым путем.
Для дискретного распределения 
случайной величины n (
) определяем производящую функцию
, (1.22)
где | x | £ 1 обеспечивает сходимость сумма. Из (1.22) получаем функцию распределения
. (1.23)
Средние значения и дисперсия
Используем
,
,
.
Из (1.22) находим
, (1.24)
,
ПРИМЕРЫ
1. Для распределения Пуассона найти производящую функцию и 
.
Используем производящую функцию (П.1.5) для биномиального распределения (см. практические занятия)
,
и
,
тогда
.
Учитываем 
, тогда
, 
.
Получаем производящую функцию распределения Пуассона
. (П.1.14)
Из (1.25)
с учетом
, 
,
следует (1.20)
.
2. Найти распределение времен свободного пробега электрона металла.
Согласно классической теории в узлах кристаллической решетки металла находятся ионы, валентные электроны образуют идеальный газ. Любой макроскопический объем металла электрически нейтрален, поэтому на электрон не действуют электростатические силы и благодаря тепловому движению он свободно перемещается от одного столкновения с ионом до следующего.
При термодинамическом равновесии тепловые процессы стационарные и вероятность b столкновения электрона за единицу времени не зависит от t. Вероятность столкновения за время dt равна
.
Функция распределения времен свободного пробега w (t) равна вероятности того, что время свободного движения лежит в единичном интервале около значения t.
Вероятность независимых событий – свободного движения электрона до момента t и столкновения в следующий промежуток dt, равна
,
и является уменьшением вероятности обнаружения электрона при переходе от t к 
. В результате
.
Разделяя переменные и интегрируя
,
получаем
,
.
Условие нормировки
дает
, 
.
Среднее время свободного пробега
. (П.1.22)
В результате функция распределения времен свободного пробега
. (П.1.23)
Вероятность свободного движения в течение времени t уменьшается экспоненциально с ростом t. Среднеквадратичное время свободного пробега
(П.1.23а)
равно удвоенному квадрату среднего времени свободного пробега.
3. Найти скорость дрейфа 
электронов металла в электрическом поле Е.
За время свободного пробега t электрон набирает скорость 
, где ускорение 
. Если при столкновении упорядоченная скорость теряется, то средняя скорость
.
Время свободного пробега меняется от столкновения к столкновению. Пусть электрон испытывает последовательно N столкновений с временами свободного пробега t 1, t 2,…, tN и средними скоростями 
, тогда скорость дрейфа
.
Поделив числитель и знаменатель на N, и полагая 
, получаем
.
Из распределения (П.1.23) находим
, 
.
Получаем
, (П.1.24)
где подвижность электронов
.
Скорость дрейфа пропорциональна электрическому полю и среднему времени t свободного пробега электрона.
1.3. Частицы совершают броуновское движение в жидкости с коэффициентом вязкого трения g при температуре Т. Доказать формулу Эйнштейна (1905 г.) для среднего квадрата смещения частицы вдоль оси x за время t
, (П.1.25)
где 
– диффузионная постоянная.
На частицу в жидкости действует сила трения
где 
– коэффициент вязкого трения для шарообразной частицы радиусом r, η – динамическая вязкость. При соударении с молекулой жидкости действует сила f. Из второго закона Ньютона получаем уравнение движения частицы массой m
.
Умножаем уравнение на x и используем
,
,
и получаем
.
Усредняем слагаемые по большому числу частиц, тогда
, 
, 
.
Теорема о распределении тепловой энергии (2.40) дает
.
Уравнение получает вид
,
или
,
где – диффузионная постоянная; 
– время релаксации. Интегрируем
, 
,
находим
,
где второе слагаемое описывает процесс релаксации. При 
пренебрегаем вторым слагаемым и получаем
.
Интегрирование дает (П.1.25) .
Приведенный вывод предложил Поль Ланжевен в 1908 г. На основе (П.1.25) Жан Перрен измерил постоянную Больцмана и получил число Авогадро в 1926 г. Существенное влияние на броуновское движение оказывает также вихревое течение жидкости, увлекаемой движением частицы, что усложняет формулу (П.1.25), как показали В. Владимирский и Ю.А. Терлецкий в 1945 г. Этим эффектом можно пренебречь для броуновского движения в газе.
При баллистическом движении пройденный частицей путь 
, тогда 
. Энергия движения определяется температурой согласно (2.40) 
, откуда 
. В результате средний квадрат смещения частицы вдоль оси x при 
пропорционален квадрату времени
. (П.1.26)
Например, кварцевый шарик диаметром 1 мкм, совершающий броуновское движение в воде при комнатной температуре, проходит путь 1 нм за время ~ 1 мкс. Между двумя рассеяниями шарик движется баллистически на протяжении ~ 1Å в течение время ~ 100 нс.
