,
изменяется с течением времени хаотически.
Событие – наблюдение определенной концентрации 
.
Проводим N измерений концентрации, результат наблюдается 
раз, тогда вероятность результата
, (1.1)
.
Зависимость 
называется функцией распределения вероятности событий.
Несовместимые события А 1, А 2,…, Аk не могут произойти одновременно. Например, если бросать шестигранную кость, на каждой грани которой написано число от 1 до 6, можно получить результат: или 1, или 2,…, или 6. Выполняется теорема сложения вероятностей несовместимых событий – вероятность сложного события A или B равна сумме вероятностей отдельных событий. Действительно, выполняется
. (1.2)
Если (А 1, А 2,…, Аk) – полный набор несовместимых событий, то какое-либо одно из них обязательно происходит, тогда выполняется
.
С учетом (1.2) получаем условие нормировки вероятностей для полного набора несовместимых событий
. (1.3)
Пример. Движения молекулы газа по и против некоторой оси образуют полный набор независимых направлений движения
W (влево) + W (вправо) = 1.
Если у гамильтониана системы все направления равноправные, тогда
W (влево) = W (вправо) = 1/2.
Независимые события А1, А2,…, Аk не влияют друг на друга. Например, частицы идеального газа движутся независимо друг от друга, и положение одной частицы не влияет на положение другой частицы. Выполняется теорема об умножении вероятностей независимых событий – вероятность сложного события А и B равна произведению вероятностей отдельных событий
, (1.4)
Для k независимых событий
.
Пример. В объеме V 0, все точки которого равноправные, находится частица. Объем V 0 разбиваем на N одинаковых ячеек объемом 
. При обследовании всех ячеек, т.е. при 
измерениях, положительный результат будет только в одной ячейке. Вероятность найти частицу в одной произвольной ячейке согласно (1.1)
. (1.4а)
Если в V 0 находится m независимых частиц, то вероятность, что весь газ окажется в объеме V, согласно теореме (1.4) равен
. (1.4б)
Характеристики случайной дискретной величины
Среднее значение величины
Пусть для x возможные значения: x 1, x 2, …, xk.
Измерения проводятся N раз, результат xi наблюдается Ni раз, тогда
.
Среднее значение
.
При 
согласно (1.1)
получаем
.
Аналогично
. (1.5)
Среднее значение величины равно сумме произведений ее значений на вероятности этих значений.
При 
получаем 
и (1.5) дает нормировку вероятностей
. (1.6)
Свойства среднего
Для 
и независимых случайных величин x и y выполняются теоремы:
1. 
– постоянная выносится из под знака усреднения;
2. 
– среднее от суммы равно сумме средних,
3. 
– среднее от произведения независимых величин равно произведению их средних.
Доказательство свойства 2
Используем определение среднего (1.5)
.
Функция 
описывает распределение случайной величины x и она одинакова для 
и 
, тогда
;
Доказательство свойства 3
Используем определение среднего и функцию распределения 
для независимых случайных величин x и y. Согласно теореме об умножении вероятностей независимых событий
.
Тогда получаем
.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Отклонение от среднего
.
Среднее отклонение от среднего любой величины равно нулю
.
