II. Аналитическая геометрия в пространстве

 

Плоскость в пространстве

1. - общее уравнение плоскости в декартовой системе координат;

 

 

2. - уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной вектору ;

 

 

3. - уравнение плоскости, отсекающей на осях координат ox, oy, oz отрезки a, b и c соответственно;

 

 

4. - нормальное уравнение плоскости, где р – расстояние от начала координат до плоскости, а единичный вектор, перпендикулярный плоскости, имеет координаты ;

 

 

5. - нормальный вид общего уравнения плоскости (знак нормирующего множителя противоположен знаку D);

 

 

6. - расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением;

7. - уравнение плоскости, проходящей через три точки (i =1,2,3), не лежащие на одной прямой;

 

 

8. - угол между плоскостями ;

 

 

9. - необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей

 

 

10. - необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей ;

 

 

11. - расстояние между двумя параллельными плоскостями .

 

 

Прямая в пространстве

 

12. - общее уравнение прямой как линии пересечения двух параллельных плоскостей;

13. - канонические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор с компонентами ;

14. - уравнения прямой в виде проекций на координатные плоскости;

 

15. - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор с компонентами ;

 

 

16. - соотношения между компонентами направляющего вектора прямой и координатами общего уравнения прямой;

 

 

17. - канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами (i =1,2);

 

 

18. - косинус угла между прямыми (i =1,2), проходящими через точку ;

 

19. - условие параллельности двух прямых (i =1,2);

 

 

20. - условие перпендикулярности двух прямых (i =1,2);

21.

Прямые: и лежат в одной плоскости, если

 

-

 

Прямая и плоскость в пространстве

 

22. - уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, заданную общим уравнением

 

 

23. - координаты точки пересечения прямой и плоскости ;

 

 

24. - синус угла между прямой и плоскостью ;

25. - условие параллельности прямой и плоскости ;

 

 

26. - условие перпендикулярности прямой и плоскости .

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Прямая на плоскости

1.	-расстояние между точками A (x 1 ,y 1) и B (x 2 ,y 2);
2.	-координаты точки С (x,y), которая делит отрезок, соединяющий точки A (x 1 ,y 1) и B (x 2 ,y 2), в отношении ;
3.	-координаты середины отрезка АВ;
4.	-условие принадлежности трёх точек (x 1 ,y 1), (x 2 ,y 2), (x3,y 3) одной прямой;
5.	- площадь треугольника с вершинами (x 1 ,y 1), (x2,y 2), (x 3 ,y 3).
6. Ax+By+C =0	- общее уравнение прямой;
7. A(x-x 0 )+B(y-y 0 )= 0	- уравнение прямой, проходящей через точку (x 0 ,y 0) перпендикулярно нормальному вектору { A,B };
8.	- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x 0 ,y 0) параллельно вектору { l,m };
9.	- параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x 0 ,y 0) параллельно вектору ;
10.	- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x 1 ,y 1) и (x 2 ,y 2);
11.	- уравнение прямой с угловым коэффициентом k, где - угол наклона прямой к оси ox;
12.	- уравнение прямой в отрезках, где (а, 0) и (0,b) - координаты точек пересечения прямой с осями ox и oy;
13.	- нормальное уравнение прямой, где р - расстояние от начала координат до прямой, a-угол между осью ox и перпендикуляром к прямой, проходящим через начало координат;
14.	- нормальный вид общего уравнения прямой; знак нормирующего множителя противоположен знаку С;
15.	- расстояние от точки (x 0 ,y 0) до прямой Ax+By+C=0;
16.	- координаты точек пересечения двух прямых A 1 x+B 1 y+C 1=0 и A 2 x+B 2 y+C 2=0;
17.	- координаты точек пересечения прямых y=k 1 x+b 1 и y=k 2 x+b 2;
18.	- условия параллельности прямых, заданных в общем виде A 1 x+B 1 y+ C1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 =0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2;
19.	- условие перпендикулярности прямых, заданных в общем виде A 1 x + B 1 y + C 1=0, A 2 x + B 2 y + C 2=0 и в виде y=k 1 x+b 1, y=k2x+b 2;
20.	- угол между двумя прямыми, заданными в общем виде A 1 x+B 1 y+C 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 =0 и в виде y=k 1 x+b 1, y=k 2 x+b 2;
21. A 1 x+B 1 y+C 1+ + (A 2 x+B 2 y+C 2)=0	- уравнение пучка прямых через точку М, если A 1 x+B 1 y+C 1=0 и A 2 x+B 2 y+C 2=0 - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке М.

Кривые второго порядка

Эллипс
	Эллипс - геометрическое место точек , для которых сумма расстояний до двух заданных точек и (называемых фокусами эллипса) постоянна и равна . и , ,

- каноническое уравнение эллипса.

Эллипс – центральная линия второго порядка, замкнутая линия, симметричная относительно осей и центра. Элементами эллипса являются: точка О - центр эллипса; точки A, B, C, D - вершины эллипса; точки F ₁(с, 0), F ₂(- с, 0) - фокусы эллипса; 2 c - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле ; АВ=2а и
CD=2b - большая и малая оси эллипса; a и b - большая и малая полуоси эллипса; - эксцентриситет эллипса, который вычисляется по формуле .

Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и характеризует его форму: чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси.

Прямые и , параллельные малой оси эллипса и отстоящие от его центра на расстояниях , называются директрисами эллипса, соответствующими фокусам F ₁ и F ₂. Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету .

- параметрические уравнения эллипса, где t -параметр, ;

(t - угол, образованный подвижным радиусом с положительным направлением оси ox);

- уравнение эллипса в полярных координатах, связанных с фокусом, - эксцентриситет эллипса, если координатные оси совпадают с осями эллипса.

Окружность
	Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от точки О (центр). - уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат; - с центром в точке (x 0 ,y 0);
	- параметрические уравнения окружности с радиусом R и центром в точке (x 0, y 0);
	- уравнение окружности в полярных координатах;
	- уравнение окружности с центром в точке ( 0, j0 );
Гипербола
	Гипербола -геометрическое место точек , для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек и (называемых фокусами гиперболы) постоянна и равна .. и , , . - каноническое уравнение гиперболы. Гипербола – центральная линия второго порядка. Она состоит из двух бесконечных ветвей, симметрична относительно осей. Элементами гиперболы являются: точка О - центр гиперболы; точки А и В - вершины гиперболы; точки F 1(+ ,0) и F 2(- , 0) - фокусы гиперболы; 2 с - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле ; AB= 2 a - действительная ось гиперболы; CD= 2 b - мнимая ось гиперболы; - эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы. Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность. Уравнения асимптот гиперболы имеют вид . Угол между асимптотами зависит от значения эксцентриситета гиперболы , он определяется из уравнения . При гипербола называется равнобочной, ее асимптоты взаимно перпендикулярны, уравнение гиперболы имеет вид . Если принять асимптоты за оси координат, то уравнение гиперболы примет вид , то есть равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональности. Прямые , перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от ее центра на расстояниях , называются директрисами гиперболы, соответствующими фокусам F 1 и F 2. Отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету . Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях и определяются уравнениями и . Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты. Действительная ось каждой из них есть мнимая ось другой и наоборот.
	- параметрические уравнения одной ветви гиперболы;
	- уравнение правой ветви гиперболы в полярных координатах, связанных с фокусом, - эксцентриситет гиперболы.

Парабола

 

 

Парабола - геометрическое место точек , равноудалённых от заданной точки F (p /2,0) (фокус) и от данной прямой (директрисы).

. ,

- каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат,

точка О - вершина; ox - ось параболы; точка F (р /2,0) - фокус; - уравнение директрисы; - эксцентриситет; p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половина хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси ox).

- каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (x ₀ ,y ₀);

- уравнение параболы в полярных координатах, связанных с фокусом;

- параметрические уравнения параболы.

Уравнения прямых

	- уравнения двух пересекающихся прямых;
	- уравнения двух параллельных прямых;
	- уравнение двух совпадающих с осью ox прямых.

 

Преобразования координат

 

Для приведения кривой к каноническому виду следует подвергнуть уравнение преобразованиям:

и

где и

 

- уравнение окружности с центром

в точке O ₁(x ₀ ,y ₀) и радиусом R;

- уравнения эллипса и гиперболы с

центром симметрии в точке O ₁(x ₀ ,y ₀);

- уравнения асимптот гиперболы;

- уравнение параболы с вершиной в точке O ₁(x ₀ ,y ₀).

 

При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение

линии второго порядка другим уравнением

.

При этом выражения и

остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени.

С их помощью различают три типа линий второго порядка.

1) Эллиптический тип, если .

К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс

и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке .

2) Гиперболический тип, если .

К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых .

3) Параболический тип, если .

К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).