Плоскость в пространстве
1. - общее уравнение плоскости в декартовой системе координат;
2. - уравнение плоскости, проходящей через заданную точку
и перпендикулярной вектору
;
3. - уравнение плоскости, отсекающей на осях координат ox, oy, oz отрезки a, b и c соответственно;
4. - нормальное уравнение плоскости, где р – расстояние от начала координат до плоскости, а единичный вектор, перпендикулярный плоскости, имеет координаты
;
5. - нормальный вид общего уравнения плоскости (знак нормирующего множителя противоположен знаку D);
6. - расстояние от точки
до плоскости, заданной общим уравнением;
7. - уравнение плоскости, проходящей через три точки
(i =1,2,3), не лежащие на одной прямой;
8. - угол
между плоскостями
;
9. - необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей
10. - необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей
;
11. - расстояние между двумя параллельными плоскостями
.
Прямая в пространстве
12. - общее уравнение прямой как линии пересечения двух параллельных плоскостей;
13. - канонические уравнения прямой, проходящей через точку
и имеющей направляющий вектор с компонентами
;
14. - уравнения прямой в виде проекций на координатные плоскости;
15. - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
и имеющей направляющий вектор с компонентами
;
16. - соотношения между компонентами направляющего вектора прямой и координатами общего уравнения прямой;
17. - канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами
(i =1,2);
18. - косинус угла
между прямыми
(i =1,2), проходящими через точку
;
19. - условие параллельности двух прямых
(i =1,2);
20. - условие перпендикулярности двух прямых
(i =1,2);
21.
Прямые:
и
лежат в одной плоскости, если
-
Прямая и плоскость в пространстве
22. - уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, заданную общим уравнением
23. - координаты точки пересечения прямой
и плоскости
;
24. - синус угла между прямой
и плоскостью
;
25. - условие параллельности прямой
и плоскости
;
26. - условие перпендикулярности прямой
и плоскости
.
III. Аналитическая геометрия на плоскости
Прямая на плоскости
1. ![]() | -расстояние между точками A (x 1 ,y 1) и B (x 2 ,y 2); | ||
2. ![]() |
-координаты точки С (x,y), которая делит отрезок, соединяющий точки A (x 1 ,y 1) и B (x 2 ,y 2), в отношении ![]() | ||
3. ![]() | -координаты середины отрезка АВ; | ||
4. ![]() | -условие принадлежности трёх точек (x 1 ,y 1), (x 2 ,y 2), (x3,y 3) одной прямой; | ||
5. ![]() | - площадь треугольника с вершинами (x 1 ,y 1), (x2,y 2), (x 3 ,y 3). | ||
6. Ax+By+C =0 | - общее уравнение прямой; | ||
7. A(x-x 0 )+B(y-y 0 )= 0 | - уравнение прямой, проходящей через точку (x 0 ,y 0) перпендикулярно нормальному вектору { A,B }; | ||
8. ![]() | - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x 0 ,y 0) параллельно вектору { l,m }; | ||
9. ![]() |
- параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x 0 ,y 0) параллельно вектору ![]() | ||
10. ![]() | - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x 1 ,y 1) и (x 2 ,y 2); | ||
11. ![]() |
- уравнение прямой с угловым коэффициентом k, где ![]() | ||
12. ![]() | - уравнение прямой в отрезках, где (а, 0) и (0,b) - координаты точек пересечения прямой с осями ox и oy; | ||
13. ![]() | - нормальное уравнение прямой, где р - расстояние от начала координат до прямой, a-угол между осью ox и перпендикуляром к прямой, проходящим через начало координат; | ||
14. ![]() | - нормальный вид общего уравнения прямой; знак нормирующего множителя противоположен знаку С; | ||
15. ![]() | - расстояние от точки (x 0 ,y 0) до прямой Ax+By+C=0; | ||
16. ![]() | - координаты точек пересечения двух прямых A 1 x+B 1 y+C 1=0 и A 2 x+B 2 y+C 2=0; | ||
17. ![]() | - координаты точек пересечения прямых y=k 1 x+b 1 и y=k 2 x+b 2; | ||
18. ![]() | - условия параллельности прямых, заданных в общем виде A 1 x+B 1 y+ C1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 =0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2; | ||
19. ![]() | - условие перпендикулярности прямых, заданных в общем виде A 1 x + B 1 y + C 1=0, A 2 x + B 2 y + C 2=0 и в виде y=k 1 x+b 1, y=k2x+b 2; | ||
20. ![]() |
- угол ![]() | ||
21.
A 1 x+B 1 y+C 1+
+ ![]() | - уравнение пучка прямых через точку М, если A 1 x+B 1 y+C 1=0 и A 2 x+B 2 y+C 2=0 - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке М. | ||
Кривые второго порядка
Эллипс | |
![]() | Эллипс - геометрическое место точек ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
- каноническое уравнение эллипса.
Эллипс – центральная линия второго порядка, замкнутая линия, симметричная относительно осей и центра. Элементами эллипса являются: точка О - центр эллипса; точки A, B, C, D - вершины эллипса; точки F 1(с, 0), F 2(- с, 0) - фокусы эллипса; 2 c - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле ; АВ=2а и
CD=2b - большая и малая оси эллипса; a и b - большая и малая полуоси эллипса; - эксцентриситет эллипса, который вычисляется по формуле
.
Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и характеризует его форму: чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси.
Прямые
и
, параллельные малой оси эллипса и отстоящие от его центра на расстояниях
, называются директрисами эллипса, соответствующими фокусам F 1 и F 2. Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету
.
- параметрические уравнения эллипса, где t -параметр,
;
(t - угол, образованный подвижным радиусом с положительным направлением оси ox);
- уравнение эллипса в полярных координатах, связанных с фокусом,
- эксцентриситет эллипса, если координатные оси совпадают с осями эллипса.
Окружность | |||
![]() | Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от точки О (центр).
![]() ![]() | ||
![]() | |||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
Гипербола | ![]() | ||
Гипербола -геометрическое место точек ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
![]() | - параметрические уравнения одной ветви гиперболы; | ||
![]() |
- уравнение правой ветви гиперболы в полярных координатах, связанных с фокусом, ![]() | ||
Парабола
Парабола - геометрическое место точек , равноудалённых от заданной точки F (p /2,0) (фокус) и от данной прямой (директрисы).
.
,
- каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат,
точка О - вершина; ox - ось параболы; точка F (р /2,0) - фокус; - уравнение директрисы;
- эксцентриситет; p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половина хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси ox).
- каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (x 0 ,y 0);
- уравнение параболы в полярных координатах, связанных с фокусом;
- параметрические уравнения параболы.
Уравнения прямых
![]() | - уравнения двух пересекающихся прямых; | ![]() |
![]() | - уравнения двух параллельных прямых; | ![]() |
![]() | - уравнение двух совпадающих с осью ox прямых. |
Преобразования координат
Для приведения кривой к каноническому виду следует подвергнуть уравнение преобразованиям:
и
где и
![]() |
- уравнение окружности с центром
в точке O 1(x 0 ,y 0) и радиусом R;
- уравнения эллипса и гиперболы с
центром симметрии в точке O 1(x 0 ,y 0);
- уравнения асимптот гиперболы;
- уравнение параболы с вершиной в точке O 1(x 0 ,y 0).
При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение
линии второго порядка другим уравнением
.
При этом выражения и
остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени.
С их помощью различают три типа линий второго порядка.
1) Эллиптический тип, если .
К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс
и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке .
2) Гиперболический тип, если .
К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых .
3) Параболический тип, если .
К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).