Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


II. Аналитическая геометрия в пространстве




 

Плоскость в пространстве

1. - общее уравнение плоскости в декартовой системе координат;

 

 

2. - уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной вектору ;

 

 

3. - уравнение плоскости, отсекающей на осях координат ox, oy, oz отрезки a, b и c соответственно;

 

 

4. - нормальное уравнение плоскости, где р – расстояние от начала координат до плоскости, а единичный вектор, перпендикулярный плоскости, имеет координаты ;

 

 

5. - нормальный вид общего уравнения плоскости (знак нормирующего множителя противоположен знаку D);

 

 

6. - расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением;

7. - уравнение плоскости, проходящей через три точки (i =1,2,3), не лежащие на одной прямой;

 

 

8. - угол между плоскостями ;

 

 

9. - необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей

 

 

10. - необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей ;

 

 

11. - расстояние между двумя параллельными плоскостями .

 

 

Прямая в пространстве

 

12. - общее уравнение прямой как линии пересечения двух параллельных плоскостей;

13. - канонические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор с компонентами ;

14. - уравнения прямой в виде проекций на координатные плоскости;

 

15. - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор с компонентами ;

 

 

16. - соотношения между компонентами направляющего вектора прямой и координатами общего уравнения прямой;

 

 

17. - канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами (i =1,2);

 

 

18. - косинус угла между прямыми (i =1,2), проходящими через точку ;

 

19. - условие параллельности двух прямых (i =1,2);

 

 

20. - условие перпендикулярности двух прямых (i =1,2);

21.

Прямые: и лежат в одной плоскости, если

 

-

 

Прямая и плоскость в пространстве

 

22. - уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, заданную общим уравнением

 

 

23. - координаты точки пересечения прямой и плоскости ;

 

 

24. - синус угла между прямой и плоскостью ;

25. - условие параллельности прямой и плоскости ;

 

 

26. - условие перпендикулярности прямой и плоскости .

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Прямая на плоскости

1.   -расстояние между точками A (x 1 ,y 1) и B (x 2 ,y 2);
2.   -координаты точки С (x,y), которая делит отрезок, соединяющий точки A (x 1 ,y 1) и B (x 2 ,y 2), в отношении ;
3.   -координаты середины отрезка АВ;
4.   -условие принадлежности трёх точек (x 1 ,y 1), (x 2 ,y 2), (x3,y 3) одной прямой;
5.   - площадь треугольника с вершинами (x 1 ,y 1), (x2,y 2), (x 3 ,y 3).
6. Ax+By+C =0 - общее уравнение прямой;  
7. A(x-x 0 )+B(y-y 0 )= 0 - уравнение прямой, проходящей через точку (x 0 ,y 0) перпендикулярно нормальному вектору { A,B };  
8.   - каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x 0 ,y 0) параллельно вектору { l,m };  
9.   - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x 0 ,y 0) параллельно вектору ;  
10.   - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x 1 ,y 1) и (x 2 ,y 2);  
11.   - уравнение прямой с угловым коэффициентом k, где - угол наклона прямой к оси ox;  
12.   - уравнение прямой в отрезках, где (а, 0) и (0,b) - координаты точек пересечения прямой с осями ox и oy;  
13.   - нормальное уравнение прямой, где р - расстояние от начала координат до прямой, a-угол между осью ox и перпендикуляром к прямой, проходящим через начало координат;  
14.   - нормальный вид общего уравнения прямой; знак нормирующего множителя противоположен знаку С;  
15.   - расстояние от точки (x 0 ,y 0) до прямой Ax+By+C=0;  
16. - координаты точек пересечения двух прямых A 1 x+B 1 y+C 1=0 и A 2 x+B 2 y+C 2=0;  
17. - координаты точек пересечения прямых y=k 1 x+b 1 и y=k 2 x+b 2;  
18.   - условия параллельности прямых, заданных в общем виде A 1 x+B 1 y+ C1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 =0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2;  
19.   - условие перпендикулярности прямых, заданных в общем виде A 1 x + B 1 y + C 1=0, A 2 x + B 2 y + C 2=0 и в виде y=k 1 x+b 1, y=k2x+b 2;  
20.   - угол между двумя прямыми, заданными в общем виде A 1 x+B 1 y+C 1 =0, A 2 x+B 2 y+C 2 =0 и в виде y=k 1 x+b 1, y=k 2 x+b 2;  
21. A 1 x+B 1 y+C 1+ + (A 2 x+B 2 y+C 2)=0 - уравнение пучка прямых через точку М, если A 1 x+B 1 y+C 1=0 и A 2 x+B 2 y+C 2=0 - уравнения двух прямых, пересекающихся в точке М.    
       

Кривые второго порядка

Эллипс  
Эллипс - геометрическое место точек , для которых сумма расстояний до двух заданных точек и (называемых фокусами эллипса) постоянна и равна . и , ,

- каноническое уравнение эллипса.

Эллипс – центральная линия второго порядка, замкнутая линия, симметричная относительно осей и центра. Элементами эллипса являются: точка О - центр эллипса; точки A, B, C, D - вершины эллипса; точки F 1(с, 0), F 2(- с, 0) - фокусы эллипса; 2 c - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле ; АВ=2а и
CD=2b - большая и малая оси эллипса; a и b - большая и малая полуоси эллипса; - эксцентриситет эллипса, который вычисляется по формуле .

Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса и характеризует его форму: чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси.

Прямые и , параллельные малой оси эллипса и отстоящие от его центра на расстояниях , называются директрисами эллипса, соответствующими фокусам F 1 и F 2. Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету .

- параметрические уравнения эллипса, где t -параметр, ;

(t - угол, образованный подвижным радиусом с положительным направлением оси ox);

- уравнение эллипса в полярных координатах, связанных с фокусом, - эксцентриситет эллипса, если координатные оси совпадают с осями эллипса.


Окружность  
Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от точки О (центр). - уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат; - с центром в точке (x 0 ,y 0);  
  - параметрические уравнения окружности с радиусом R и центром в точке (x 0, y 0);
- уравнение окружности в полярных координатах;    
- уравнение окружности с центром в точке ( 0, j0 );  
 
Гипербола
  Гипербола -геометрическое место точек , для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек и (называемых фокусами гиперболы) постоянна и равна .. и , , . - каноническое уравнение гиперболы. Гипербола – центральная линия второго порядка. Она состоит из двух бесконечных ветвей, симметрична относительно осей. Элементами гиперболы являются: точка О - центр гиперболы; точки А и В - вершины гиперболы; точки F 1(+ ,0) и F 2(- , 0) - фокусы гиперболы; 2 с - фокусное расстояние, которое вычисляется по формуле ; AB= 2 a - действительная ось гиперболы; CD= 2 b - мнимая ось гиперболы; - эксцентриситет гиперболы. Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы. Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность. Уравнения асимптот гиперболы имеют вид . Угол между асимптотами зависит от значения эксцентриситета гиперболы , он определяется из уравнения . При гипербола называется равнобочной, ее асимптоты взаимно перпендикулярны, уравнение гиперболы имеет вид . Если принять асимптоты за оси координат, то уравнение гиперболы примет вид , то есть равнобочная гипербола является графиком обратной пропорциональности. Прямые , перпендикулярные действительной оси гиперболы и отстоящие от ее центра на расстояниях , называются директрисами гиперболы, соответствующими фокусам F 1 и F 2. Отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию ее до соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету . Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях и определяются уравнениями и . Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты. Действительная ось каждой из них есть мнимая ось другой и наоборот.    
    - параметрические уравнения одной ветви гиперболы;
    - уравнение правой ветви гиперболы в полярных координатах, связанных с фокусом, - эксцентриситет гиперболы.
       
 

Парабола

 

 

Парабола - геометрическое место точек , равноудалённых от заданной точки F (p /2,0) (фокус) и от данной прямой (директрисы).

. ,

- каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат,

точка О - вершина; ox - ось параболы; точка F (р /2,0) - фокус; - уравнение директрисы; - эксцентриситет; p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половина хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси ox).

- каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (x 0 ,y 0);

- уравнение параболы в полярных координатах, связанных с фокусом;

- параметрические уравнения параболы.

Уравнения прямых

- уравнения двух пересекающихся прямых;
- уравнения двух параллельных прямых;
- уравнение двух совпадающих с осью ox прямых.

 

Преобразования координат

 

Для приведения кривой к каноническому виду следует подвергнуть уравнение преобразованиям:

и

где и

 

- уравнение окружности с центром

в точке O 1(x 0 ,y 0) и радиусом R;

- уравнения эллипса и гиперболы с

центром симметрии в точке O 1(x 0 ,y 0);

- уравнения асимптот гиперболы;

- уравнение параболы с вершиной в точке O 1(x 0 ,y 0).

 

При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение

линии второго порядка другим уравнением

.

При этом выражения и

остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени.

С их помощью различают три типа линий второго порядка.

1) Эллиптический тип, если .

К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс

и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке .

2) Гиперболический тип, если .

К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых .

3) Параболический тип, если .

К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).

 






Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-12-06; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 860 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Студенческая общага - это место, где меня научили готовить 20 блюд из макарон и 40 из доширака. А майонез - это вообще десерт. © Неизвестно
==> читать все изречения...

2346 - | 2303 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.013 с.