Основные понятия и формулы
I. Векторная алгебра
Вектор - направленный отрезок.
Векторы коллинеарными, если лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
- два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.
Линейные операции над векторами
Суммой 
двух векторов 
и 
называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (правило треугольника).
Свойства:
1˚. 
2˚. 
3˚. 
4˚. Для каждого вектора существует
противоположный ему вектор 
, такой, что 
.
Разностью векторов и будет вектор 
,
идущий из конца вектора к концу вектора .
Произведение 
вектора на
вещественное число 
обладает свойствами:
5˚. 
6˚. 
7˚. 
8˚. 
Линейная зависимость векторов. Геометрические критерии линейной зависимости
Линейной комбинацией векторов 
называют выражение:
,
где 
- произвольные действительные числа.
Система векторов называется линейно зависимой, если существуют действительные числа , такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля, и выполняется равенство:
. (*)
В противном случае, т.е. если линейная комбинация (*) обращается в ноль только при всех 
, то система векторов называется линейно независимой.
Если векторы линейно зависимы, то любой вектор может быть выражен в виде линейной комбинации остальных.
Геометрические критерии линейной зависимости
Система двух ненулевых векторов 
линейно зависима тогда, и только тогда, когда векторы коллинеарны.
Система трех векторов 
линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны.
Базис и координаты
Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
Базисом на плоскости будем называть два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.
Базисом на прямой будем называть любой ненулевой вектор этой прямой.
Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве и это разложение единственно.
Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в данном базисе и в каждом базисе определяются однозначно:
.
При сложении двух векторов 
и 
их координаты (относительно любого базиса) складываются. При умножении вектора на любое число все его координаты умножаются на это число.
Системой координат в пространстве называют совокупность базиса 
и некоторой точки, называемой началом координат.
Вектор 
, идущий из начала координат в точку 
, называется радиус-вектором точки .
Координатами точки 
называются координаты вектора .
Таким образом, координаты радиус-вектора и координаты точки совпадают.
Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат
Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.
Обозначения: 
, 
Такой базис называется ортонормированным (ОНБ). Векторы 
называются базисными ортами. Зафиксируем точку О – начало координат и отложим от нее векторы . Полученная система координат называется прямоугольной декартовой. Координаты любого вектора в этом базисе называются декартовыми координатами вектора:
Прямые линии, проведенные через начало координат по направлениям базисных векторов, называются координатными осями: 
– порождает 
; 
– порождает 
; 
– порождает 
. Координаты точки М (вектора ) в декартовой системе координат по осям , , называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.
Декартовы прямоугольные координаты 
вектора равны проекциям этого вектора на оси 
, 
, 
соответственно; другими словами,
, 
, 
.
Здесь 
– углы, которые составляет вектор с координатными осями , , соответственно, при этом 
, 
, 
называются направляющими косинусами вектора .
Вектор 
представляет собой вектор единичной длины данного направления, или орт данного направления. Для направляющих косинусов справедливо соотношение:
.
Проекция вектора на ось l 
равна
, где 
- орт оси l.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: 
.
Если 
, 
, то 
.
Алгебраические и геометрические свойства:
1°. 
.
2°. 
3°. 
, 
.
4°. 
, если 
, и 
, если 
.
5°. 
; 
.
6°. 
.
7°. 
= 
, 
.
8°. 
: 
- условие перпендикулярности.
9°. 
, 
- длина вектора.
10°. 
, 
, 
– расстояние между двумя точками.
11°. Направляющие косинусы вектора: 
, 
, 
;
cos2 α + cos2 β + cos2 
= 1
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов 
, 
, 
, приведенных к одному началу, называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот первого вектора ко второму виден совершаемым против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.
правая
| 
левая
|
При перестановке местами двух соседних векторов ориентация тройки меняется.
Если тройки 
, , - правые, то , , - левые.
При круговой (циклической) перестановке векторов ориентация тройки не меняется.
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор 
, удовлетворяющий следующим трем требованиям:
1). Длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, т.е. 
.
2). Вектор ортогонален к каждому из векторов и , т.е. перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .
3). Вектор направлен так, что тройка является правой.
Алгебраические и геометрические свойства:
1°. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
для любого вектора .
5. 
= 
6. 
коллинеарен .
Если 
, 
, 
,
.
Если 
и 
коллинеарны, то 
.
Смешанное произведение некомпланарных векторов 
по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, приведенных к одному началу.
положительно, если тройка , , правая и отрицательно, если она левая.
Если же векторы , , компланарны, то равно нулю: 
.
, 
. 
смешанное произведение зависит от порядка сомножителей, но не зависит от того, какие сомножители связаны первичным знаком векторного произведения.
Если 
, 
, 
, то
.
