ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
Определение, геометрический смысл и свойства двойного интеграла
Рис.1 Рис.2
Пусть в плоскости 
задана область D, ограниченная линией L (рис. 1).
Пусть в области D задана непрерывная функция 
Разобьём область D на n -площадок: 
В каждой из площадок возьмём точку Pi, тогда значение функции в каждой точке будет равно 
Составим интегральную сумму для функции 
в области D:
(1)
Если 
в области D, то каждое слагаемое 
можно представить геометрически как объём малого цилиндра, основание которого есть 
, а высота 
. Сумма 
есть сумма объёмов элементарных цилиндров (рис. 2). Предположим, что при 
максимальный диаметр площадок стремится к 0.
Теорема 1. Если функция 
непрерывна в замкнутой области D, то существует предел последовательности интегральных сумм (1), если максимальный диаметр площадок стремится к нулю при . Этот предел не зависит от способа разбиения области D на площадки , ни от выбора точки 
внутри площадки .
Определение. Этот предел называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается
или 
Т.е. 
область D - называется областью интегрирования.
Геометрический смысл двойного интеграла. Если 
, то двойной интеграл от функции по области D равен объёму тела, ограниченного поверхностью 
, плоскостью 
и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси 
а направляющей служит граница области D (рис. 3).
Свойства двойного интеграла:
1. Двойной интеграл от суммы двух функций 
по области D равен сумме двух двойных интегралов по области D от каждой из функций в отдельности:
Рис.3
2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: если 
, то
3. Если область D разбить на две области D, и D2 без общих внутренних точек, и функция непрерывна во всех точках области D, то
Вычисление двойного интеграла
Введем понятие правильной области в направлении оси ОУ: Пусть в плоскости ОХУ задана область D, ограниченная линиями 
причём 
а функции 
непрерывны на отрезке 
и любая прямая, проведённая через область D, параллельная оси ОУ, пересекает границу области в двух точках (рис. 4). Область D будет называться правильной в направлении оси ОХ. Аналогично определяется область, правильная в направлении оси ОХ: Область D будет правильной в направлении оси ОХ, если она ограничена линиями 
причём 
а функции 
непрерывны на отрезке 
и любая прямая, проведённая через область D, параллельно оси ОХ, пересекает границу области в двух точках (рис. 5).
Рис.4 Рис.5
Определение. Если непрерывна в области D, то выражение 
называется двукратным интегралом от функции по области D.
Вычисление повторного интеграла. Сначала вычисляется внутренний интеграл, причём интегрирование производится по у, а х считается постоянным. В результате получим непрерывную функцию от х
Далее вычисляют внешний интеграл
1.3. Вычисление двойного интеграла 
1. Изобразим в координатной плоскости ОХУ область D.
2. От двойного интеграла перейдём к повторному интегралу, расставляя пределы интегрирования.
Если область D правильная в направлении оси 0У, то двойной интеграл перейдёт в повторный интеграл такого вида:
(1.1)
Для того чтобы правильно расставить пределы интегрирования во внутреннем интеграле, проведём прямую через область D параллельно оси 0У, нижняя граница, которую пересечёт прямая, будет нижним пределом интегрирования 
, и верхняя граница области D, из которой выйдет прямая будет верхним пределом интегрирования 
. Пределы интегрирования во внутреннем интеграле - это линии, заданные функциями, зависящими от х. Пределы интегрирования во внешнем интеграле определяются как пределы изменения области D вдоль оси ОХ. Пределы интегрирования во внешнем интеграле это - числа.
Если область D правильная в направлении оси ОХ. то двойной интеграл перейдёт в повторный интеграл такого вида:
(1.2)
Для того чтобы правильно расставить пределы интегрирования во внутреннем интеграле, проведём прямую через область D параллельно оси ОХ. нижняя граница, которую пересечёт прямая, будет нижним пределом интегрирования 
, и верхняя граница области D, из которой выйдет прямая будет верхним пределом интегрирования 
. Пределы интегрирования во внутреннем интеграле - это линии, заданные функциями, зависящими от у. Пределы интегрирования во внешнем интеграле определяются как пределы изменения области D вдоль оси OY. Пределы интегрирования во внешнем интеграле это -числа.
Примечание. Если область D - неправильная область, то её надо разбить на правильные области, и исходный двойной интеграл будет суммой двойных интегралов по этим областям.
3. Вычислить повторный интеграл.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл
где область D ограничена линиями 
Решение.
1. Зададим область D неравенствами. Очевидно, что 
Поэтому 
Поскольку 
фигурирует под знаком квадратного корня, 
Для возможны неравенства 
или 
Во втором случае область неограниченна, что неприемлемо.
Итак,
2. Переходим от двойного интеграла к повторному:
3. Используя свойства определенного интеграла, последовательно интегрируем сначала по y (считая х постоянной), затем по х:
Пример 2. Расставить и вычислить двойной интеграл от функции 
по области D, ограниченной линиями: 
Решение. Сделаем рисунок области D (рис. 6).
Рис. 6
Область D будет правильной в направлении оси ОХ. Проведём прямую через область D, параллельно оси ОХ, левая граница области D, которую пересечёт прямая: 
а правая граница 
Область D вдоль оси ОУ будет меняться от 0 до 2. От двойного интеграла перейдём к повторному:
Пример 3. Вычислить двойной интеграл
. Область D ограничена прямыми 
Решение:
Пример 4. Расставить пределы и вычислить двойной интеграл
где D: 
Решение: Сделаем рисунок области D (рис. 7). Область D – правильная в направлении оси OY.
Рис. 7
Вычислим внутренний интеграл
Вычислим внешний интеграл
Пример 5. Вычислить двойной интеграл
где D: 
Решение. Построим область D (рис. 8). Это будет эллипс, будем интегрировать по х, найдём пределы внутреннего интеграла
Пределы внешнего интеграла найдём как ординаты самой нижней и самой верхней точек области D: 
Перейдём от двойного интеграла к повторному
Пример 6. Вычислить двойной интеграл
где область D ограничена прямой 
и параболой 
Решение. Построим область D (рис. 9), она будет правильная в направлении оси ОХ, от двойного интеграла перейдём к повторному
Рис. 8 Рис.8
