Лыжник массой 60 кг подходит к точке А трамплина АВ, наклоненного к горизонту под углом α =200 и имеющего длину l = 24,6 м со скоростью V A =23,1 м/c., и от точки А до точки В дви-
жется τ секунд (рис. 1). Коэффициент трения при движении по наклонной плоскости f = 0,1.
В точке В со скоростью V B лыжник покидает трамплин. Через Т секунд он приземляется со скоростью VC в точке С на наклонную плоскость, которая составляет с горизонтом угол β = 400 и проходитчерез точку D, расположенную на одной вертикали с точкой В на расстоянии BD = 
. При движении в воздухе учитывать силу сопротивления, направленную против скорости и пропорциональную ее величине, коэффициент сопротивления равен k = 12.
Определить время τ движения лыжника на участке АВ и скорость в точке В.
Определить траекторию и время движения T в воздухе, построить годографы скорости и ускорения, вычислить значения скорости и ускорения точки в момент приземления.
Определить указанные параметры движения лыжника в воздухе без учета силы сопротивления.
Решение.
1. Рассмотрим движение лыжника на участке АВ. Принимаем его за материальную точку, ось Ах1 (рис. 2) направим из начального положения лыжника вверх по наклонной плоскости (в сторону движения).
Установим начальные условия рассматриваемого движения: при t = 0, точка находилась в начале наклонной плоскости и двигалась со скоростью VA = 18 м/c, следовательно 
Дифференциальное уравнение прямолинейного движения записывается в виде:
На точку действуют (рис.2): сила тяжести m g, нормальная реакция N и сила трения F тр. Проекции этих сил на ось х1 равны
Сила трения 
, где 
.
Следовательно
Дифференциальное уравнение принимает вид
Заменим 
и после преобразований получим
Разделим переменные и проинтегрируем
Для того, чтобы определить постоянную интегрирования С1, подставим в последнее равенство начальные условия: t = 0, Vx0 = VA, получаем
C1= VA.
Следовательно, скорость движения лыжника по трамплину в процессе движения будет равна
(1)
Отсюда следует, что движение лыжника является равномерно замедленным с постоянным ускорением
Заменим 
, получим
Разделим переменные и снова проинтегрируем
Подставим начальные условия и определим С2: t = 0, x0 = 0, получим С2 = 0, значит
(2)
По условию задачи известна длина наклонной плоскости l = 24,66 м, подставим в уравнение (2) значение х1 = l и определим время τ, в течение которого лыжник двигался по трамплину.
Подставим численные значения
.
После преобразований получим квадратное уравнение относительно τ
,
откуда 
, т.е. 
Для того, чтобы выбрать одно из полученных значений τ1 или τ2, определим скорость в точке В из уравнения (1)
Подставим в это уравнение значения τ1 и τ2, получим
Так как скорость лыжника в точке В не может быть отрицательной, то время его движения по трамплину равно τ2, а скорость лыжника в точке В равна
2. Рассмотрим движение лыжника в воздухе (рис.3).
Выберем начало координат в точке В, а оси координат - в направлении первоначального движения: ось х горизонтально вправо, ось у – вертикально вверх.
Составим дифференциальные уравнения движения, которое происходит под действием силы тяжести 
, направленной вертикально вниз, и силы сопротивления 
, направленной противоположно скорости 
. Учитывая, что сила сопротивления пропорциональна скорости, ее можно представить в виде векторного равенства: 
где k - заданный коэффициент пропорциональности.
Дифференциальные уравнения для движения точки в вертикальной плоскости имеют вид
(3)
Сила тяжести направлена вертикально вниз, поэтому ее проекции на оси х и у соответственно равны: 
Проекции силы сопротивления 
на оси координат равны
Дифференциальные уравнения (3) принимают вид
(4)
Определим начальные условия. Движение в воздухе начинается со скоростью V B, под углом α к горизонтальной прямой. Скорость в точке В определена в первой части задачи при движении по наклонной плоскости и в данном случае равна 18 м/c. Найдем проекции начальной скорости V B на оси координат
Итак, начальные условия движения лыжника в воздухе
Выполним два варианта решения дифференциальных уравнений.
