в) Доверительная вероятность.

Оперируя понятием вероятность, всегда следует помнить о том, что как бы ни мала была вероятность какого-либо со­бытия, до тех пор пока она не равна нулю (т.е. пока это событие не является невозможным), оно все же может про­изойти и, наоборот, как бы ни велика была вероятность со­бытия, но пока она не равняется единице (т.е. пока собы­тие не является достоверным) оно может и не произойти.

В популярном в свое время кинофильме «Два бойца», вышедшем на экраны в годы Отечественной войны, имеется образ профессора-математика, который в начале войны в момент объявления воздушной тревоги не ходил в бомбоубежище, так как определил, то площадь его квартиры по отношению к площади всего Ленинграда настолько мала, что вероятность того, что одна из брошенных фашистами бомб попадет именно в его квартиру, имеет ничтожное значение.

Однако после того как в Ленинградском зоопарке, во время одной из бомбежек был убит един­ственный в городе слон (как ни мала была вероятность этого события, оно все же случилось), профессор пересмотрел свою точку зрения и стал спускаться в убежище.

Вот почему, оперируя показателями вероятности, теория вероятностей всегда имеет в виду не столько результат единичного испытания, сколько проявление этой закономерности в массе однородных явлений, о чем уже говорилось в самом начале настоящего пособия.

Однако, в целях практического применения теории вероятностей в области математической статистики, вводится по­нятие доверительной вероятности, т.е. такойвеличины ве­роятности, которая достаточна для того, чтобы полученные результаты опытов считать достоверными.

Вполне понятно, что величина доверительной вероятнос­ти весьма относительна и зависит от характера явления, для которого определяется.

Например, если мы знаем, что вероятность выпуска за­водом брака артиллерийских снарядов равна 0,01, то ее мож­но считать малой и пренебречь, так как на фронте стреляют обычно большими сериями снарядов и, если имеется веро­ятность, что только один из каждой сотни выпущенных снаря­дов может не разорваться, то это существенного значения не имеет.

Представьте теперь, что такова же вероятность брака на фабрике, выпускающей парашюты. Можно ли в этом случае считать вероятность малой и пренебречь ею? Конечно нет, ведь один из каждых ста парашютистов, воспользовавшихся парашютами этой фабрики, может разбиться. Очевидно, что в этом случае вероятность брака даже равная 0,001 будет велика и недопустима.

Несмотря на относительный характер величины доверительной вероятности в математической статистике для обыч­ных исследований в области биологии и медицины условно приняты два ее значения:

а) Вероятность равная 0,95 — считается достаточной для суждения о достоверности полученных результатов опыта.

б) Вероятность равная 0,997 — считается еще более на­дежнымкритерием достоверности.

И, наоборот, если полученные результаты имеют вероят­ность соответственно менее 0,05 или 0,003, то они считаются настолько недостоверными, что ими можно пренебречь,

Г) Закон больших чисел.

Как уже отмечалось в начале, математическая статистика изучает статистические закономерности, т.е. та­кие закономерности, которые проявляют себя лишь при ис­следовании массы однородных явлений.

Это положение полностью относится и к вероятности случайных явлений, где действуетзакон больших чисел. Матема­тическая теория этого закона была изложена еще в XVIII веке в трудах Я.Бернулли. Последующее развитие его осу­ществлено в середине XIX столетия, особенно в трудах вы­дающегося отечественного математика П.Л.Чебышева.

В настоящее время существуют точные математические формулировки закона больших чисел. Однако мы восполь­зуемся более простой и поэтому более понятной для лиц, не имеющих специальной математической подготовки, формулой этого закона, которая предложена Р.Мизесом, хотя при стро­го математическом подходе его трактовка закона и вытека­ющее из него определение вероятности не достаточно точны. Закон больших чисел в этом виде может, быть представлен следующей формулой:

lim (Xn - Pn)	→
n → ¥

т.е. в пределе при числе наблюдений (n), стремящемся к бесконечности, разность между наблюдаемой частотой какого-либо явления и его ма­тематической вероятностью стремится к нулю.

Иначе говоря, фактическая частота наблюдаемого слу­чайного явления совпадает с вычисленной вероятностью его (их разность только при этом условии может быть равна нулю) лишь при достаточно большом числе наблюдений.

Действие этого закона может быть проиллюстрировано следующим примером. Как уже понятно из ранее изложен­ного, вероятность выпадения герба при бросании монеты равна Р (А) = 1/2 = 0,5, т.е. при бросании монеты в половине всех случаев должен выпадать герб, а в половине - противоположная сторона (решка). Однако легко убедиться, что, если мы бросим монеты несколько раз, то установленного ре­зультата не получим: может подряд выпасть несколько раз только герб или только противоположная сторона, либо та и другая в любых соотношениях.

В соответствии с законом больших чисел, чтобы фактиче­ская частота выпадения герба совпала с ее вероятностью (0,5) надо значительно увеличить число наблюдений (броса­ний монеты).

Такие опыты проделывались неоднократно и были полу­чены следующие результаты. Так, в XVIII веке французский естествоиспытатель Бюффон бросил монету 4040 раз, при этом герб у него выпал 2048 раз, т.е. частота выпадения герба оказалась равной Х = 2048/4040 = 0,508; или отличалась от вероятности на восемь тысячных.

В XIX веке английский математик К.Пирсон увеличил число бросаний до 12000 и в 6019 случаях у него выпал герб. Таким образом, частота выпадения герба составила: 6019/12000= 0,5016, т.е. отличие от вероятности уменьшилось по­чти вдвое (до 16 десятитысячных). Затем он повторил опыт, увеличив число бросаний до 24000 и герб выпал при этом 12012 раз; т.е. частота 12012/24000 = 0,5005; отличие ее от вероят­ности стало еще в три раза меньше.

Таким образом, по мере увеличения числа наблюдений фактическая частота выпадения герба по величине становит­ся все более близкой к величине его математической вероят­ности и, следовательно, разность между ними уменьшается, приближаясь к нулю.

Из этого следует очень важный вывод, на основании которого в ряде случаев применяется так называемый статисти­ческий метод определения вероятности.

В медицине, как и в других отраслях научного знания, мы нередко сталкиваемся с такими явлениями, при которых найти вероятность его появления обычным математическим расчетом не представляется возможным; но из изложенного ранее закона следует, что при достаточно большом числе наблюдений найденную опытным методом частоту явле­ния можно, считать вероятностью его появления, т.е. в этом случае вероятность Р события А находится по формуле: Р(А) = M/n, где n - общее количество испытаний (наблюде­ний), а М - число появления при этих испытаниях интере­сующего нас явления А.

Например, если мы имеем группу 20000 больных, страда­ющих, каким-либо одним заболеванием, а у 12000 из них зарегистрирован один и тот же симптом (А), то очевидно, вероятность наличия этого симптома у каждого больного, страдающего данной болезнью, будет равна: Р(А) = 12000/20000=0,6.

Следует остановиться еще на одном замечании. Некото­рые не совсем сведущие в статистике лица, исходя из закона больших чисел, полагают, что достаточно достоверные данные опытов могут быть получены только при очень большом количестве наблюдений; или, что нельзя вычислять процен­тами, если сумма всех наблюдений менее 100 и т.д. На са­мом деле это совсем не так.

Методы математической статистики позволяют определить степень достоверности явлений при любом (даже очень ма­лом) количестве наблюдений, а также заранее рассчитать ко­личество необходимых наблюдений, чтобы получить резуль­таты, достоверные с заданной величиной вероятности.

В законе больших чисел проявляется диалектическая вза­имосвязь категорий случайного и необходимого.

Появление каждого явления (события) зависит, с одной стороны, от действия постоянных причин, содержащихся в самой сущности этого явления (иначе говоря, внутренних для него), а с другой стороны, под влиянием случайных (внешних) причин, не связанных с самой сущностью иссле­дуемого явления.

Действие последних причин неустойчиво и беспорядочно, они могут вызывать отклонения при малом числе наблюде­ний как в ту, так и в другую сторону.

При достаточно же большом числе наблюдений действие таких случайных причин, вызывающих отклонения в отрицательном и положительном направлениях, как бы взаимно по­гашается и частота возникновения события определяется уже лишь его внутренними (постоянными) причинами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Методы математической статистики, основанной на теории вероятностей, применяются в статистике вообще и медицинской статистике в частности для количественного анализа изучаемых явлений.

С точки зрения математики большая часть показателей, применяемых в статистике, представляет собою не что иное, как вероятности того или иного события.

Так, например, если показатель младенческой смертности равен 25 на 1000 родившихся, то это значит, что ребенок, родившийся в этом районе, имеет вероятность умереть, не дожив до одного года равную Р = 0,025, а, следовательно, вероятность его дожития до указанного возраста равна Р = 0,975.

Вместе с тем, следует помнить, что статистика исследует количественную сторону массовых общественных явлений в неразрывной связи их с их качественной стороной, поэтому для статистика недостаточно применить только математические показатели, он должен глубоко проанализировать саму сущность изучаемого явления, вскрыть его основные вну­тренние связи и причины.

Вот почему медицинской статистикой могут заниматься только врачи, обладающие знаниями как в области медицин­ских, так и общественных наук; используя при этом в качестве вспомогательного средства приемы математического анализа.

 

Контрольные задачи:

1. Приведите из известных Вам областей медицинской на­уки примеры:

а) достоверного события;

б) невозможного события;

в) случайного события.

 

2. Известно, что дети, не болевшие корью, при контакте с больным корью заражаются этой болезнью и заболевают практически в 100% случаев. К какой категории явлений с точки зрения теории вероят­ностей относится заболевание корью контактировавшего ребенка?

 

3. В группе 25 студентов. Из них 5 отличников, 12 успе­вающих хорошо, 6 - удовлетворительно и слабо успеваю­щих 2. Преподаватель, не знакомый с группой, вызывает по списку одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный студент окажется отличником или хорошо успевающим?

 

4. На кафедре к экзаменам приготовлено 30 билетов, содержание которых стало известным студентам. Один из студентов подготовился к экзамену лишь по 12 из них. Ка­кова вероятность того, что войдя на экзамен первым, он вытянет один из билетов, известных ему?

 

5. За четыре отчетных года в области родилось 157983 ребенка. Среди них 81177 мальчиков. Определить значение статистической вероятности рождения мальчика?

 

6. В хирургическом отделении больницы из 1500 больных, которым в течение 3-х лет была сделана операция аппендэктомии, умерло от осложнений 3 человека. Какова статистиче­ская вероятность умереть для больного аппендицитом, по­ступившего в эту больницу?

 

 

Контрольные вопросы:

 

1. Дайте определение медицинской статистики, назовите ее цели и задачи.

2. Разделы медицинской статистики и их задачи.

3. Статистические закономерности и их примеры.

4. Дайте определение теории вероятностей.

5. Виды событий с точки зрения теории вероятностей. Приведите примеры в здравоохранении и клинической медицине.

6. Определение понятия "доверительная вероятность".

7. Закон больших чисел и его практическое применение.