Б) Определение вероятности.

Прежде чем перейти к определению вероятности, необхо­димо познакомиться с некоторыми основными понятиями и терминами теории вероятностей.

Классическое определение вероятности сводит ее понятие к понятию равновероятности (равновозможности) событий.

Например, при бросании игральной кости (шестигранного кубика), если она имеет точную форму куба, изготовленного из вполне однородного материала, выпадение любого опре­деленного из 6-ти обозначенных на ее гранях числа очков, равновероятно (равновозможно), так как в силу наличия строгой симметрии ни одна из граней не имеет объективного преимущества перед другими.

Число, обозначающее полную группу равновозможных со­бытий при проведении определенного испытания (в нашем примере бросание игральной кости) обозначается обычно буквой n, т.е. в нашем примере n=6.

Предположим далее, что нас интересует лишь какое-то одно из возможных событий, событие А (например, выпадение четного числа очков при бросании игральной кости).

Те из возможных результатов испытания (бросание кос­ти), на которые это событие подразделяется, называются ре­зультатами благоприятствующими событию А, а число их принято обозначать буквой m.

В нашем примере событие А (выпадение четного числа очков) подразделяется на три возможных результата (вы­падение 2-х, 4-х и 6-ти очков), т.е. m=3.

Пользуясь указанной терминологией, можно прийти к оп­ределению: «Вероятность Р(А) события А равна отношению числа возможных результатов испытания, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов ис­пытания». Или Р(А) = m/n. Следовательно, вероятность Р выпадения четного числа очков (событие А) при однократном бросании игральной ко­сти определится следующим образом:

P(A) = 3/6 = 1/2 = 0,5

Рассмотрим еще один пример. Допустим, что мы имеем урну, в которой находится 12 совершенно одинаковых по форме, величине, тяжести и другим признакам, шаров, но от­личающихся только цветом окраски. Причем, в общем числе 5 шаров имеют красный цвет и 7 - черный.

Очевидно, что, если мы не глядя опустим руку в урну и извлечем из нее первый, случайно попавшийся шар, возмож­ны два события: А - извлеченный шар окажется красным и В - извлеченный шар окажется черным. Какова вероятность каждого из этих событий?

Для события А (извлечения красного шара) число равновозможных результатов испытания n = 12 (в урне 12 шаров и любой из них может оказаться в руке), число же благопри­ятствующих событий m = 5 (так как только 5 из 12 шаров яв­ляются красными), следовательно: P(A) = m/n = 5/12.

Рассуждая аналогичным образом, находим, что вероят­ность события В (извлечение черного шара), равна: P(B) = m/n = 7/12.

Таким образом, вероятность того, что при указанном ком­плексе условий, первый наугад извлеченный из урны шар окажется черным, выше, чем вероятность извлечения крас­ного шара.

Представим теперь случай, при котором в урне также 12 одинаковых шаров и все они одного цвета - красные.

Какова в этом случае вероятность того, что первый же наугад извлеченный нами шар окажется красного цвета.

Очевидно, что в данном случае число всех равновозможных результатов испытания равно n = 12, но и число благоприятствующих событию А (извлечение красного шара) результатов m = 12 (так как все шары красные), следовательно:

P(A) = m/n = 12/12 =1

Согласно ранее установленному определению в данном случае событие А является достоверным.

На самом деле при каждом соблюдении комплекса усло­вий (наличие в урне одинаковых шаров только красного цве­та), событие А (извлечение шара красного цвета) совершен­но неизбежно и обязательно произойдет. Отсюда, мы можем утверждать, что вероятность достовер­ного события всегда равна единице.

И, наконец, зададимся вопросом при тех же условиях (нахождение в урне 12 шаров только красного цвета), чему равна вероятность того, что извлеченный из нее шар, ока­жется черного цвета (событие В)? Очевидно, что в данном случае число всех равновозможных результатов испытания n является равным 12, число же благоприятствующих событию В результатов испытания m = 0 (в урне нет ни одного черного шара). Следовательно: Р(В)= m/n = 0/12 =0.

Согласно ранее данному определению извлечение черного шара из урны, где таких шаров вообще не имеется является невозможным событием.

Следовательно, можно сделать вывод, что вероятность не­возможного события всегда равна нулю. Вероятность же случайного события должна находиться, очевидно, между этими двумя крайними величинами, т.е. между нулем (вероятность невозможного события) и едини­цей (вероятность достоверного события), т.е. всегда пред­ставляет собою правильную дробь, которая может быть вы­ражена и десятичной дробью, например:

Р(А)= 1/2 = 0,5.