Теоретическим основам начального курса математики

В О П Р О С Ы

для государственной аттестации по

1. Понятие, определение понятий. Виды определений, требования к определению понятий.

2. Понятие множества, способы задания множеств. Отношения включения и равенства. Число подмножеств конечного множества. Объединение множеств, свойства объединения, дистрибутивность объединения относительно пересечения (с доказательством).

3. Пересечение множеств, свойства пересечения, дистрибутивность пересечения относительно объединения (с доказательством).

4. Разность множеств. Дополнение к подмножеству. Дополнение к объединению и пересечению множеств (с доказательством).

5. Декартово произведение множеств, способы задания. Свойства декартова произведения (с доказательством). Число элементов декартова произведения конечных множеств. Понятие кортежа.

6. Бинарные соответствия между элементами множеств, способы задания. Отображение, как частный случай соответствий. Виды отображений. Взаимнооднозначные отображения. Равномощные множества.

7. Отношение, как частный случай соответствия. Свойства отношений, особенности графов.

8. Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы. Отношение порядка. Строгий и нестрогий порядок. Линейный и частный порядок. Упорядоченные множества.

9. Понятие высказывания. Простые и составные высказывания. Конъюнкция, дизъюнкция высказываний, свойства этих операций.

10. Отрицание высказываний. Законы двойного отрицания, противоречия, исключения третьего Законы де Моргана.

11. Импликация высказываний. Обратная, противоположная и обратная противоположной импликации. Эквиваленция высказываний.

12. Понятие предиката. Область определения и множество истинности предиката. Операции над предикатами, множества истинности конъюнкции, дизъюнкции, импликации предикатов.

13. Понятие функции. Способы задания, свойства функций (монотонность, четность, нечетность, периодичность). График функции.

14. Прямая и обратная пропорциональности.

15. Числовое выражение, значение числового выражения. Числовые равенства и неравенства, их свойства (с доказательством).

16. Выражение с переменной. Уравнение с одной переменной. Теоремы о равносильности уравнений (с доказательством).

17. Неравенства с одной переменной. Теоремы о равносильности неравенств (с доказательством).

18. Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Принципы построения позиционных систем. Перевод чисел из системы счисления с одним основанием в систему счисления с другим основанием.

19. Теоретико-множественный смысл суммы целых неотрицательных чисел. Законы сложения (с доказательством).

20. Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел. Определение разности через сумму. Условие существование разности, ее единственность на множестве целых неотрицательных чисел. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа (с доказательством).

21. Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел, законы умножения (с доказательством). Определение произведения через сумму.

22. Теоретико-множественный смысл частного целого неотрицательного числа и натурального. Определение частного через произведение. Правила деления суммы и произведения на число (с доказательством).

23. Понятие отношения делимости целых неотрицательных чисел. Теоремы о делимости суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел (с доказательством).

24. Понятие признака делимости. Признаки делимости на 2 и 5, 4 и 25 (с доказательством).

25. Понятие обыкновенной дроби. Основное свойство обыкновенных дробей, его использование. Положительные рациональные числа, действия над ними. Свойства сложения и умножения (с доказательством).

26. Понятие длины отрезка и ее измерение. Свойства длин отрезков. Стандартные единицы длины.

27. Понятие площади плоской фигуры и ее измерение. Теорема о площади прямоугольника (с доказательством). Использование понятий равновеликости и равносоставленности при вычислении площадей некоторых плоских фигур. Измерение площади фигуры с помощью палетки.

28. Смысл натурального числа и действий над натуральными числами, полученных в результате измерения величин (на примере длин отрезков)