Прогноз и оценка его точности на основе уравнений парной и множественной линейной регрессии.

Классическая и обобщенная модели множественной линейной регрессии. Условия применения метода наименьших квадратов, свойства его оценок.

Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также их совокупное влияние на результативный признак.

Для двухфакторной модели уравнение множественной линейной регрессии: .

Чтобы знать, можно ли применять метод наименьших квадратов (МНК) для оценки параметров, существуют следующие предпосылки (условия) применения МНК:

1. Y-зависимая величина является случайной (эндогенной) переменной; X – фиксированная, заданная величина (экзогенная)

2. Математическое ожидание остатков д.б. =0., т.е. М(Ei)=0. (Для справки: матем.ожидание – это аналог средней и это же есть ковариация).

3. Остатки д.б. гомо скедастичны (дисперсия остатков одинакова для всех значений фактора). Тесты на гетеро скедастичность проводят (тест Уайта, тест Глейзера), если не подтверждается, то делаем вывод о гомо скедастичности.

4. Отсутствие автокорреляции остатков (то есть остатки распределены независимо друг от друга, нет связи между предыдущим и последующим), т.е. М(Еi Еj)=0. Тест на автокорреляцию остатков – это тест Дарвина-Уотсона.

Если выполняются все 4 условия, то модель будет называться классической моделью линейной регрессии.

5. Остатки подчиняются нормальному закону распределения.

Если выполняются все 5 условий, то модель уже будет называться классической нормальной моделью линейной регрессии.

6. Отсутствие коллинеарности между факторами (отсутствие связи между ними).

Последнее условие (6) если выполняется, то модель можно отнести к множественной регрессии.

Если нарушается 3 и 4 предпосылки (одновременно или одна из них), то речь идет уже об обобщенной модели регрессии. Если 3 условие НЕ выполняется, а 4 выполняется, то можно применять Взвешенный метод наименьших квадратов (ВМНК).

Модель: . Найдем параметры модели с помощью МНК, согласно которому составим систему уравнений:

Решение: ; (b-коэфф. парной (чистой) регрессии);

где ; ; ; (); n – число наблюдений

Свойства оценок МНК: 1. Св-во несмещенности ( означает, что математическое ожидание выбранных оценок параметров =0); 2. Св-во состоятельности. Оценки считаются состоятельными, если их точность увеличивается с увеличением объема выборки, т.е. чем больше выборка, тем меньше ошибок. Поэтому на каждый фактор примерно по 10 наблюдений должно быть. 3. Св-во эффективности ( оценки характеризуются наименьшей дисперсией или ошибками, когда в остатках гетероскедастичность, то это свойство нарушается и тогда оценки уже неэффективные).

Прогноз и оценка его точности на основе уравнений парной и множественной линейной регрессии.

При осуществлении прогноза в модель регрессии подставляем прогнозное значение Х и получаем прогнозное значение У. Для этого можно использовать только качественные модели (в них высокий коэф. Детерминации (показывает ск-ко % вариации У зависит от учтенных в модели факторов) и параметры значимы).

При использовании уравнения множественной регрессии в целях прогнозирования необходимо давать точечную и интервальную оценку полученных прогнозных значений зависимой переменной.

Средняя ошибка для индивидуального прогноза: (для парной линейной регрессии)

Средняя ошибка для среднего прогноза:

Для прогноза Х выбирается из: Х min≤ Xn≤Xmax
Предельная ошибка прогноза:

Доверительные границы определяются: