Фрактальные размерности материальных объектов

В данной главе будут изложены следующие разделы новой науки о природе, в которых описываются фрактальные размерности материальных объектов.

Такой подход к объяснению физических явлений обусловлен, во-первых, тем, что все физические объекты имеют фрактальные размерности. Фрактальная природа материальных объектов является универсальным свойством и вызывается их электрической сущностью. Это, в свою очередь, вывело впервые как на определение меры сил взаимодействующих заряженных форм и к пониманию определяющих форм мироздания — сферической и полусферической, так и на установление пространств взаимодействия — евклидова и аффинного. Во-вторых, фрактальное изображение окружающего мира позволило автору связать различные разделы физики в единую конструкцию и подтвердить новое учение о мироздании фундаментальными экспериментальными исследованиями.

 

Основные понятия фрактальной геометрии

В последние годы Б. Мандельбротом [27] и другими авторами [28-31] для описания разветвленных объектов разработана новая фрактальная геометрия. Б. Мандельб-рот ввел термин «фрактал» и общее понятие фракталов. Название «фрактал» происходит от латинского fractus, что означает дробный, ломаный. В русском языке иностранные слова «фракционная» (дробная) и «фрактура» (перелом) произошли от этого латинского слова. Поэтому понятие фрактала связывают с шероховатой поверхностью рассматриваемых физических объектов или с изломанными формами их атомной структуры, обладающими свойством самоподобия. В основе этого свойства фракталов содержится одна важная особенность: фрактальные объекты самоподобны, т. е. их вид не меняется в любом пространственном масштабе. Хотя эта особенность является упрощением действительности, она значительно увеличивает глубину нашего описания природы. Это можно оценить по достигнутым результатам фрактальной физики. Можно сказать, что идея фракталов была выдвинута вовремя: само понимание мира шло навстречу фракталам, ибо мир по своей структуре (форме) является фрактальным, а по сущности (содержанию) — электрическим.

Заметим, однако, что фрактальная геометрия как мате -матическая наука имеет ограничения на исследование объектов и изучает формы в таких системах, как береговые линии, горные цепи, турбулентность, формы облаков, молний, деревьев и т. д. Основой фрактальной геометрии является аффинная геометрия. В этой работе не используются никакие специальные сведения из аффинной геометрии, но приведем характеристику этой науки, данную в [32]: «Аффинная геометрия — это то, что останется от евклидовой геометрии, если из нее убрать практически любую возможность измерения длин, площадей, углов и т. д.». Дело в том, что понятие аффинного

 

пространства предполагает, что это пространство лишено метрики, т. е. способа измерения длин и углов. В нем определен только конкретный вид правил образования суммы элементов и произведения элемента на число. При этом элементы аффинного пространства принято в узком смысле называть векторами, а само пространство — точечно-векторным, ибо ввели в рассмотрение еще и точки. Ведь точка — основное понятие в геометрии, которую изучают в средней школе, а все ее геометрические образы можно понимать как множества точек; в то же время в определении векторного пространства точки вообще не фигурируют. Поэтому такое множество векторов и точек аффинного пространства ближе к тому пространству, которое изучается в курсе элементарной геометрии, хотя и не будет еще полностью совпадать. Аффинное пространство станет вполне идентичным (во всяком случае для двух- и трехмерного случаев) обычному пространству лишь после введения в нем соответствующей метрики. В обычном трехмерном пространстве метрика вводится как произведение длин векторов, умноженное на косинус угла между ними. Тогда такое векторное про -странство с введенной метрикой называется евклидовым пространством.

Отсюда видим главное отличие фрактальной геометрии: она не занимается изучением обычных объемных тел и, конечно, изменением их объема; аффинная геометрия также не занимается природой фрактальных форм. Мы воспользуемся только ее названием и будем в дальнейшем усовершенствовать математический аппарат в качестве инструмента для изучения физических явлений. Здесь истины ради следует сказать, что физическое начало изучения формообразования природных объектов положил И. Кеплер (см. п. 1.2) в работе «О шестиугольных снежинках», на которую ученые не обращали внимание почти 400 лет. Теперь мы более сведущи и более подготовлены, поэтому перед нами открываются большие воз -можности фрактального анализа.

 

Сущность фрактального анализа заключается в том, что в нем рассматриваются совокупности точек в качестве основных объектов. Эта особенность аффинной геометрии согласуется с фундаментальной структурой фрактальной физики, в которой частицы, электроны, ядра представляются электрическими зарядами, а например, Галактика — как совокупность заряженных звезд типа Солнца. Положение существенно изменилось после того, как была установлена новой наукой о мироздании связь фрактальных структур и их размерностей с энергетическими характеристиками системы. В последнее время были найдены формы описания всех эффектов взаимодействий объектов единой, электромагнитной природы, для которых пространство основных состояний описывается в терминах фракталов. При развитии теории фракталов обнаружены новые, неизвестные ранее закономерности.

Действительно, фрактальная физика — это наука о мире в целом — обнаружила и установила, что все явления и процессы имеют единое фундаментальное взаимодействие, электромагнитное по своей сущности, и проявляются они в форме различных фрактальных, электрических структур, которые могут быть и не самоподобны. Поэтому пространство взаимодействий физических объектов описывается как евклидовой, так и аффинной геометриями. Такое различие связано с тем, что при анализе процессов микромира значения приращений пространства не следует, в отличие от евклидовой геометрии, выбирать произвольно. Мы знаем (см. Введение, п. 4), что микроструктура пространства образуется комбинациями элементарных электрических зарядов. Вот почему новая наука описывает адекватно реальности взаимодействия частиц микромира в аффинном пространстве, где отсутствует измерение длин и площадей. Кроме того, достигнутые фрактальной физикой результаты указывают на то, что фрактальная геометрия не знала о них и поэтому не могла изучать эти физические объекты ввиду своей огра -

 

ниченности. Как это часто бывает, многие работы по фрактальной геометрии следует рассматривать скорее как конспективные заметки или краткие тезисы по вопросу определения фрактальной размерности разветвленных объектов, ибо в них не просматривается глубокой связи с энергетическими показателями взаимодействующих систем. Прилагаемый список литературы дает возможность достаточно быстро войти в рассматриваемую проблему. Для читателей, желающих ознакомиться с первоначальными понятиями и современной точкой зрения на теорию фракталов, имеются хорошие обзоры [30, 40].

Новая физика использовала введенное геометрией понятие фрактальной размерности D и расширила ее применение для различных материальных объектов [3]. Фрактальная размерность выступает в качестве количественной меры структурности этих объектов. Для определения D вспомним понятия обычной евклидовой геометрии. Рассмотрим сплошной круговой или сферический объект массой М и радиусом R. Если объект круговой или сферический, то при увеличении радиуса объекта его масса увеличивается в R² или в R³. Эту связь массы и длины мы можем записать в виде М ~ R^E, где Е — размерность (число координат) пространства. Объект называется фрактальным, если он удовлетворяет соотношению М ~ R^D, где D меньше пространственной размерности Е. Это указывает на то, что фрактальная геометрия описывает объекты с дробной размерностью пространства.

Однако в реальных физических системах фрактальная размерность D выполняется не для любых масштабов длины, а ограничивается верхними и нижними пределами фрактальных объектов, которые являются не самоподобными. Поэтому вводятся два совершенно различных значения размерности: локальное (справедливое для масштабов, меньших некоторого критического) и глобальное (справедливое для масштабов, больших критического). Эти размерности принципиально отличаются, поэтому в

 

разных физических задачах нужно пользоваться разными определениями фрактальной размерности.

Например, глобальная размерность (по-другому, внешняя размерность) кривой фрактального типа на плоскости изменяется от 1 до 2, где 1 — размерность прямой, 2 — размерность плоскости. Локальная (по-другому, внутренняя размерность) для этой кривой на плоскости изменяется от 1 до бесконечности. Эти размерности — глобальная и локальная — совпадают только для тривиального случая гладкой кривой. Тогда становится понятным, что глобальная размерность фрактальной кривой изменяется от размерности гладкого объекта до размерности пространства, а локальная — от размерности гладкого объекта до бесконечности.

Теперь обсудим фрактальную размерность на примере регулярных, самоподобных фракталов. Рассмотрим сначала отрезок единичной длины, который разбит на N равных кусков длиной b, так что N = 1/b. По мере уменьшения b значение N растет линейно, что и следовало ожидать для одномерной кривой. Аналогично, если мы разделим квадрат единичной площади на N равных квадратиков со стороной b, то получим N = 1/b² — ожидаемый для двумерного объекта результат. Можно утверждать, что в общем случае N = 1/b^D, где D — размерность объекта. Следовательно, логарифмируя обе части этого равенства, можно выразить размерность в виде D = logN/log(l/b), которая не зависит от основания логарифма.

Теперь применим эти соображения к так называемой кривой Коха (рис. 2.1).

На рис. 2.1. представлены три стадии (а) — (в) формирования кривой Коха. На каждой стадии формирования этой кривой замена средней трети каждого сегмента про-изводится в направлении, которое увеличивает площадь под кривой. Мы видим, что при каждом уменьшении дли-ны b в три раза число сегментов увеличивается в четыре раза. Таким образом имеем N = 4 и b = 1/3, и фрак-

 

тальная размерность треугольной кривой Коха равна D = ln4/ lnЗ = 1,2618... Это выражение является инвариантом, то есть остается неизменным для любого числа k-звеньев (сегментов) кривой, ибо D = ln4^k/ln3^k = 1,2618...

 

Рис. 2.1. Формирование кривой Коха

Здесь для удобства определения размерности использован натуральный логарифм. Ниже на конкретных примерах рассмотрим применение фракталов для описания физических объектов, что позволит уточнить понятия их глобальной и локальной размерностей и показать большие возможности фрактального анализа.