Постановка задачи проверки статистических гипотез.

Гипотеза – утверждение

Опред: Стат. гипотеза – утверждение о значении пар-ра θ.

Стат. гипотеза м.б. записана в виде

Опред: стат. гипотеза простая, если - одноточечное.

В прот. случае стат. гип. – сложная

Задача: Выдвигается основная гип. и альтернативная (несколько)

По результатам наблюдений надо выбрать Н₀ или Н₁

Правило выбора – критерий.

Опред: Критерий

Значение вероятность отвергнуть осн. гипотезу по результатам наблюдений

Согласно критерию область разбивается на 3 части:

Доверит.

Обл. сомнений

Критическая область

Опред: Критерий j - нерандомизированный, если j(Х)={0,1}(или Р_θ(j(Х) Î (0,1))=0 "θ)

В противном случае j - рандомизированный.

 

4. Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко – Кантелли (план док-ва). Преобразование Смирнова. Теорема Колмогорова. Оценивание теоретической функции распределения эмпирической. Гистограмма и полигон частот.

 

Пусть (Х₁ … Х_n) выборка из распределения Р_θ . Истинное значение Р_θ - теоретическое распределение.

Эмпирическая функция распределения – функция следующего вида:

Fn(x) = 1/n* , где

Т.е. ее значение в точке х равно отношению числа наблюдений меньше х к общему числу наблюдений.

Теорема (Гливенко – Кантелли)

Пусть(Х₁ … Х_n) выборка из распределения с ф.р. F,тогда sup|Fn(x)-F(x)| почти наверное->0

План док-ва:

доказывается сходимость на ограниченном интервале (т.к. F неубывает и ограничена). Показывается, что изменение между двумя соседними точками мало. Доказывается, что сходимость на концах следует из:

-> sup|Fn(x)-F(x)|->0

Преобразование Смирнова

Пусть Х случайная величина с ф.р. F (непрерывна),тогда F(x)=Y-новая с.в. имеющая равномерное распределение U(0,1), т.е.:

Если F строго возрастает, то :

Теорема Колмогорова

Пусть (Х₁ … Х_n) выборка из распределения F(непрер.),тогда , где К – распр-е Колмогорова, т.е.:

, где

С ростом n, эмпирическая ф.р. приближается к теоретической. У э.ф.р. имеется -окрестность, по т. Гливенко – Кантелли вероятность того, что истинная ф.р. лежит в этой эмпирической -окрестности ->1 при .

По т. Колмогорова, вероятность того, что истинная ф.р. лежит в - окрестности эмпирической стремится к пределу K(), где К(х) – ф.р. Колмогорова.

Пусть >0 – маленькое число, F – истинная ф.р., тогда если F₀=F, где F₀ предполагаемая ф.р., то с вероятностью

, т.е.

- доверительный интервал для теоретической ф.р.

Гистограмма и полигон частот:

Один из способов наглядного представления статистических данных – Гистограмма частот. Область значений с.в. разбивается на равные интервалы, подсчитывается число значений с.в. попавших в интервал и на каждом интервале строится прямоугольник, с основанием на этот интервал и высотой V/(nh), где V – число выборочных точек попавших в этот интервал, n – объем выборки, h – длина интервала. Площадь каждого такого прямоугольника по т Бернулли будет сходится при n-> к вероятности попадания с.в. в интервал.

Для оценки гладких плотностей используют методику, основанную на полигоне частот – ломаной кривой, строящейся следующим образом: если построена гистограмма частот, то ординаты ее средних точек на каждом из интервалов последовательно соединяются отрезками прямых. Гистограмма и полигон – статистические аналоги теоретической плотности.