Ряды. Уравнения математической физики.

 

1. Числовой ряд исследовать на абсолютную и условную сходимость. Для функционального ряда найти область сходимости и исследовать на границе области.

	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)
	а)	б)	в)
	г)	д)

2. Найти сумму ряда.

	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)
	а)	б)
	в)	г)

 

3. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию

1) ;		2) ;
3) ;		4) ;
5) ;		6) ;
7) ;		8) ;
9) ;		10) ;
11) ;		12) ;
13) ;		14) ;
15) ;		16) ;
17) ;		18) ;
19) ;		20) ;
21) ;		22) ;
23) ;		24) ;

Разложить в ряд Фурье функцию на указанном интервале.

1) ;	2)
3) ;	4)
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) ;
11) ;	12) ;
13) ;	14) ;
15) ;	16) ;
17) ;	18) ;
19) ;	20) ;
21) ;	22) ;
23) ;	24)

5. Методом Фурье решить уравнение колебаний конечной струны длины 1 с граничными условиями и начальными условиями

1)	;	;
2)	;	;
3)	;	;
4)	;	;
5)	;	;
6)	;	;
7)	;	;
8)	;	;
9)	;	;
10)	;	;
11)	;	;
12)	;	;

Методом Фурье решить уравнение теплопроводности стержня длины l (найти распределение тепла в любой момент времени t вдоль стержня, имеющего теплопроницаемую боковую поверхность) с граничными условиями.

13)	;	;
14)	;	;
15)	;	;
16)	;	;
17)	;	;
18)	;	;
19)	;	;
20)	;	;
21)	;	;
22)	;	;
23)	;	;
24)	;	;

 

Раздел 8

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Вопросы для самопроверки

1. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина.

2. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов. Их свойства и вычисление.

3. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его координатное и инвариантное определения.

4. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.

5. Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Теорема Остроградского.

6. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля.

7. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Ротор поля, его координатное и инвариантное определения. Физический смысл ротора в поле скоростей. Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования.

8. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле.

9. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа, его выражение в цилиндрических и сферических координатах.

 

 

В гл. XV §1-2 вводятся понятия криволинейного интеграла первого (по длине дуги) (КИ1) и второго (в координатной форме) (КИ2) рассмотрены их свойства и приложения. Вычисление криволинейных интегралов сводится в общем случае к вычислению определенного интеграла (задача 1,2), доказана формула Грина (§3), Связывающая вычисление КИ2 по замкнутой плоской кривой L с вычислением двойного интеграла по области , ограниченной этой кривой

.

 

Масса дуги материальной кривой при заданной линейной плотности вычисляется с помощью КИ1

.

 

При вычислении циркуляции векторного поля вдоль плоского контура (задача 3) следует применить формулу Грина.

В §5, 6 гл.XV вводятся понятия поверхностных интегралов первого (ПИ1) и второго (ПИ2) рода, доказываются их свойства и приложения. В §7 доказана формула Остроградского-Гаусса, связывающая вычисления ПИ2 от векторного поля

по замкнутой поверхности с вычислением тройного интеграла по области , ограниченной поверхностью

, где .

При вычислении ПИ2 по замкнутой поверхности (задача 4), как правило применяют формулу Остроградского.

При решении задачи №5 необходимо вспомнить ( гл. IX §6), что нормаль к поверхности, заданной уравнением определяется вектором

.

 

Производная от функции по направлению вектора вычисляется ( гл. VIII §14) по формуле

.

Положительным считается направление нормали к поверхности, составляющее острый угол с осью OZ.

 

Указание. При выполнении контрольной работы №8 приходится вычислять неопределенные (определенные) интегралы вида:

, при - нечетном удобно сделать замену ; при - четном либо используют тригонометрическую подстановку, либо интегрируют по частям.

Можно найти аналогичный интеграл (для конкретных значений m, a, b) в книге: Двайт «Таблица интегралов и другие математические формулы».