2.1. 
| 
|
2.2. 
| 
|
2.3. 
| 
|
2.4. 
| 
|
2.5. 
| 
|
2.6. 
| 
|
2.7. 
| 
|
2.8. 
| 
|
2.9. 
| 
|
2.10. 
|
|
2.11. 
| 
|
2.12. 
| 
|
2.13. 
| 
|
2.14. 
|
|
2.15. 
| 
|
2.16. 
|
|
2.17. 
| 
|
2.18. 
| 
|
2.19. 
| 
|
2.20. 
| 
|
2.21. 
| 
|
2.22. 
| 
|
2.23. 
| 
|
2.24. 
| 
|
3) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью:
, (p, q – const) (1)
Общее решение уравнения (1)
,
где 
- общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
,
- некоторые частные решения уравнения (1).
а) Рассмотрим решение ЛОДУ
(2)
Схема решения (2):
(3)
(4)
(5)
Пример 1. Найти общее решение уравнений:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
Решение.
а) составим характеристическое уравнение:
.
его корни 
(1-ый случай). Общее решение исходного дифференциального уравнения будет согласно (3)
.
б) Составим и решим характеристическое уравнение
, 
(2-ой случай).
Общее решение согласно (4) будет
.
в) Составим и решим характеристическое уравнение
, 
(3-ий случай).
Общее решение согласно (5) будет
.
б) Решение ЛНДУ. Рассмотрим метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов). Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его правая часть имеет вид
. (6)
В этом случае частное решение ЛНДУ 2-го порядка
следует искать в виде
. (7)
Здесь r равно числу совпадений контрольного числа 
с корнями характеристического уравнения (
- показатель экспоненты, 
- коэффициент при х в тригонометрических функциях 
и 
). 
и 
- полные многочлены от х с неопределенными коэффициентами, причем k равно наибольшему из чисел m и n в (6), при этом если в 
входит может быть одна из функций и , то в (7) надо всегда вводить обе функции и .
Частными случаями функции рассматриваемой структуры являются следующие функции:
1. 
, А- постоянная, 
;
2. 
, А, В - постоянные, 
;
3. 
(многочлен степени n), 
;
4. 
, ;
5. 
, ;
6. 
, .
Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры (6), то для отыскания частного решения надо найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части, и взять их сумму, которая и является частным решением исходного уравнения. Например,
,
тогда 
, где 
- частные решения уравнений
.
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение.
а) 
- ЛОДУ. Составим характеристическое уравнение 
. Его корни
. Тогда 
.
б) Составим по правой части 
контрольное число . Показатель экспоненты равен 1. Функций и не содержит. Итак, контрольное число z будет равно 1. Следовательно, число совпадений 
(т.к. совпадений 
с корнями характеристического уравнения нет). Тогда частное решение будем искать в виде
.
Дифференцируем 
:
.
Аналогично найдем
.
Подставляя 
в исходное уравнение, получим
.
Это равенство выполняется при всех значениях х, а значит, коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства совпадают. Приравнивая эти коэффициенты, получаем:
Таким образом,
.
Пример 3. Составить вид частного решения следующих дифференциальных уравнений:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
Решение.
а) Так как 
, 
, то
.
Частное решение следует искать в виде
,
т.к. r=1 (есть одно совпадение контрольного числа 
с корнем характеристического уравнения).
б) Так как 
, 
, то
.
Контрольное число 
. Частное решение следует искать в виде 
(т.к. r=0, совпадений нет).
в) 
.
Так как 
, то 
, 
. Контрольное число равно z=i; есть совпадение с корнем 
характеристического уравнения, следовательно, частное решение следует искать в виде
.
Задание №3 для контрольной работы.
Найти:
а) частное решение линейного неоднородного уравнения 2-го порядка;
