Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Непрерывность функции, точки разрыва




Функция называется непрерывной в точке х 0, если:

1) x 0 Î ООФ вместе с некоторой своей окрестностью;

2) существует конечный предел ;

3) этот предел совпадает со значением функции в точке х 0, т. е.

. (9)

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Если функция не является непрерывной в точке х 0, но она определена в окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки х 0), то х 0 называется точкой разрыва функции.

Для определения вида разрыва в точке х 0 находят односторонние
пределы и . При этом:

если существуют односторонние пределы , но , то говорят, что функция терпит в точке х 0 разрыв типа выколотой точки;

если существуют односторонние пределы
и , но , то не существует; в этом случае
говорят, что функция терпит в точке х 0 разрыв типа" скачок ";

если левосторонний либо правосторонний (или оба) пределы функции при х 0 бесконечные, то говорят, что функция терпит в точке х 0 бесконечный разрыв.

Разрывы типа выколотой точки и типа "скачок" относятся к конечным разрывам, или разрывам I рода, бесконечные разрывы относятся к разрывам II рода.

Примеры.

1) Функция непрерывна в силу непрерывности функций y = –х и y = 2 х. В точке х = 0 функция также
непрерывна, так как

.

Следовательно, функция непрерывна для всех (рис. 9).

2) Функция непрерывна в силу непрерывности функций y = 2 + х и y = 3. В точке х = 0 функция терпит разрыв типа"скачок" (рис. 10), так как , следовательно, не существует.

3) Функция y = tg x непрерывна во всех точках своей ООФ, т. е. для . В точках функция терпит разрывы
II рода (рис. 11), так как ;

Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11

Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида

z = x + iy, (10)

где х, у – действительные числа, а i – мнимая единица, т. е. число, для
которого выполнено равенство i 2 = –1.

Если х = 0, то комплексное число z = 0 + iy называется чисто мнимым.

Если у = 0, то комплексное число z = x + i 0 = х является действительным, в частности, если х = у = 0, то z = 0.

На множестве комплексных чисел алгебраическое уравнение n
степени вида , где ak числа, ,имеет ровно n корней.

Пример. Решим уравнение: х 2 + 9 = 0.

.

Следовательно, уравнение имеет 2 корня: .

На координатной плоскости Оху комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой М (х; у) или радиус-вектором этой точки (рис. 12), где х = Re z – действительная часть числа z, у = Im z – мнимая часть числа.

Рис. 12
Число называется сопряженным комплексному числу . Геометрически точки z и симметричны относительно оси Ох (рис. 12).

Модулем комплексного числа называется действительное неотрицательное число . Геометрически модуль комплексного числа это модуль вектора (рис. 12).

Комплексное число можно задать либо парой действительных чисел (декартовы координаты точки (х; у)), либо его модулем и величиной угла φ между вектором и положительным направлением оси Ох (полярные координаты точки (r; φ)). Величина угла φ называется аргументом комп-лексного числа.

Аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого . Значение аргумента, заключенное
в промежутке , называется главным значением аргумента и обозначается arg z, тогда можно записать:

(11)

Для комплексного числа z = 0 аргумент не определен, его модуль r = 0.

Запись комплексного числа в виде (10) называют алгебраической
формой
комплексного числа.

Если использовать формулы связи между декартовыми и полярными координатами , то можно записать тригонометрическую форму комплексного числа:

, (12)

где

. (13)

Для определения главного значения аргумента можно использовать формулы:

(14)

Пример. Получим тригонометрическую форму комплексного числа z = 2 2 i, используя формулы (13) и (14).

,

,

следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа z для имеет вид:

.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-12-05; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 546 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Люди избавились бы от половины своих неприятностей, если бы договорились о значении слов. © Рене Декарт
==> читать все изречения...

2475 - | 2271 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.008 с.