Некоторые особенности вычисления с помощью второго замечательного предела.

1. Если основание стремится не к 1, а к числу a<1 а степень к бесконечности, то можно сразу сделать вывод, что предел 0. Если a>1 то наоборот, .

,

2. Не всегда в степени экспоненты получается конечное число. Так, в примере

= = = = . Это произошло из-за того, что в степени в её знаменателе остался множитель .

Повторные и двойные пределы.

А является пределом функции в точке , если для всякого существует окрестность точки , так что если , то . Обозначается - двойной предел.

, «повторные» пределы.

Пример. . Повторные 0

если приближаться к точке (0,0) по прямой

= .

Практика 18

Главная часть бесконечно-малой.

Задача 1. Найти главную часть для в точке х = 1 вида .

Видно, что это действительно бесконечно-малая в точке 1, .

Метод: запишем в знаменателе и приравняем предел к единице, ведь эти величины должны быть эквивалентны. Затем ведём преобразования и упрощаем выражение под знаком предела, как при обычном вычислении предела. Когда оно упростится настолько, что все можно будет собрать в отдельный множитель, а все остальные, не стремящиеся к нулю, отдельно, тогда легко определится k и С.

. Так как мы ищем эквивалентную, то предел равен 1.

. Представим в виде .

Во-первых, множители (x-1) полностью сократятся лишь в случае, когда k=1, иначе предел получился бы 0 или . Теперь, если уже известно, что k=1, и все множители типа (x-1) сократились, вычислим С.

, , С = 3. Итак, .

На графике зелёным изображена главная часть , а коричневым .Мы фактически нашли среди степенных функций вида наилучшую, соответствующую .

Кстати, заметим, если порядок малости в данной точке равен 1, то есть k=1, то график пересекает ось Ох под каким-то углом, причём главная часть соответствует уравнению касательной. Если же касательная горизонтальна, то бесконечно малая имеет не 1 порядок, а более высокий.

Задача 2. Выделить главную часть бесконечно-малой: в точке 1.

Ответ. .

Задача 3. Выделить главную часть бесконечно-малой: отв:

Чертёж к этой задаче:

Практика 19

Непрерывность и точки разрыва. 45 минут.

Контрольная 45 минут.

9 Предел последовательности

10 Предел функции, с неопределённостью 0/0.

11 Предел функции, 1-й замеч. lim

12 Предел функции, 2-й замеч. lim

Приложение 1.

Пример одного варианта контрольных работ.

Темы 3-й контрольной:

9. Предел последовательности

10. Предел функции, с неопределённостью 0/0.

11. Предел функции, 1-й замеч. lim

12. Предел функции, 2-й замеч. lim

Вариант:

9) Вычислить предел

10) Вычислить предел

11) Вычислить предел

12) Вычислить предел

 

 

Темы 4-й контрольной:

13. Производные функции одной переменной.

14. Частные производные для f(x,y), градиент.

15. Уравнение касательной

15. Экстремумы функции на [a,b].

 

Вариант:

13) Найти производную (какая-нибудь функция f(x)).

14) Найти градиент функции в точке и производную по направлению .

 

15) Найти уравнение касательной для в точке и высоту касательной при x=0.

 

16) Найти экстремумы для .