Тема «1-й замечательный предел».

Задача 2. Найти предел .

Решение. С помощью преобразований получим в знаменателе такое же выражение, как под знаком синуса в числителе.

= = = = .

Второй предел вообще не содержит неопределённости, а первый это в точности если переобозначить .

Ответ. .

Задача 3. Найти предел .

Решение. = =

= =

= 24.

Сначала домножили на сопряжённое выражение, потом вынесли в отдельный множитель ту часть, где нет неопределённости. В конце домножили на 6 в знаменателе и числителе, чтобы в знаменателе образовалось ровно такое же выражение, как под знаком синуса, то есть .

Ответ. 24.

Задача 4. Найти предел .

Решение. = = = 5.

Ответ. 5.

Задача 5. Найти предел .

Решение. Эту задачу можно решить как с применением тригонометрической формулы, так и методом Лопиталя.

Способ 1. Вспомним формулу . Получается

= = = 2.

Способ 2. = = = 2.

Ответ. 2.

Задача 6. Найти предел .

Решение. Чтобы устранить разность, как всегда, домножим и поделим на сопряжённое.

= =

= .

это мы применили формулу понижения степени, а ту часть, которая стремится к 0, вычислили сразу, этот коэффициент теперь так и будет оставаться до ответа. Теперь заменим каждую из бесконечно-малых на эквивалентную.

= = =

= . Ответ. .

Задача 7. Найти предел .

Решение. = =

= . Введём замену

Тогда = = = .

Ответ. 1.

Замечание. Почему выражение мы здесь не домножаем на сопряжённое, а делали методом Лопиталя. Тогда получилось бы = , то есть в таких выражениях, в отличие от иррациональностей, формулу сокращённого умножения и структуру применять бесполезно, потому что это даёт точно такое же выражение, стремящееся к .

Задача 8. Найти предел .

Решение.

Способ 1. С помощью замены на эквивалентную бесконечно-малую.

Можно выделить 1 под знаком логарифма, получить выражение типа . Затем воспользоваться эквивалентностью

= = =

= 6.

Способ 2. По правилу Лопиталя = = 6.

Ответ. 6.

Задача 9. Найти предел .

Решение. Методом Лопиталя = = . Но опять получилась неопределённость . Продифференцируем ещё раз = =

= = = 0,32. Ответ. .

Тема «2-й замечательный предел»

Задача 10. Найти предел .

Решение. Здесь неопределённость . Основание стремится к 1, так как здесь одинаковые старшие степени многочленов в числителе и знаменателе, и одинаковые коэффициенты при них. Как и в прошлом примере, отделим от дроби её целую часть, то есть 1. Если предел дроби равен 1, то так можно сделать.

= = = .

Слагаемое, которое следует после 1, стремится к 0, что и должно быть для 2 замечательного предела. Далее,

= =

= = = . Ответ. .

Задача 11. Найти предел .

Решение. Здесь целая часть 1 уже выделена. Остаётся только домножить и найти предел в степени.

= =

= = = = = .

Ответ. .

Задача 12. Найти предел .

Решение. = =

= = = .

Ответ. .

Задача 13. Найти предел .

Решение. Здесь сначала заметим, что основание стремится к 7/7 = 1. А степень к бесконечности. То есть, неопределённость типа и можно использовать 2-й замечательный предел. Сначала выделяем целую часть дроби, то есть 1. Прибавим и отнимем 1, но ту, которую отняли, представим в таком виде, чтобы она объединилась с дробью.

= = =

= теперь после 1 следует бесокнечно-малая, которая обращается в 0 при , ведь там числитель . Далее, в степени домножаем обратную к этой дроби, но при этом и её саму тоже, чтобы ничего не изменилось.