Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


‘ормулы полной веро€тности и




Ѕј…≈—ј

„асто мы начинаем анализ веро€тностей име€ предварительные, априорные значени€ веро€тностей интересующих нас событий. «атем из источников информации, таких как выборка, отчет, опыт и т.д. мы получаем дополнительную информацию об интересующем нас событии. »ме€ эту новую информацию, мы можем уточнить, пересчитать значени€ априорных веро€тностей. Ќовые значени€ веро€тностей дл€ тех же интересующих нас событий будут уже апостериорными ( послеопытными) веро€тност€ми. “еорема Ѕайеса дает нам правило дл€ вычислени€ таких веро€тностей.

ѕоследовательность процесса переоценки веро€тностей можно схематично изобразить так:

 

јприорные Ќова€ информаци€ из Ѕайесовский јпостериорные

веро€тности каких-либо источников анализ веро€тности

 

ѕусть событие ј может осуществитьс€ лишь вместе с одним из событий Ќ1, Ќ2, Ќ3,..., Ќn, образующих полную группу. ѕусть известны веро€тности P(H1), P(H2),ЕP(Hi),ЕP(Hn). “ак как событи€ Hi образуют полную группу, то . “ак же известны и условные веро€тности событи€ ј: P(A/H1), P(A/H2), ЕP(A/Hi)Е, P(A/Hn), i=1, 2, Е, n. “ак как заранее неизвестно с каким из событий Hi произойдет событие ј, то событи€ Hi называют гипотезами.

Ќеобходимо определить веро€тность событи€ ј и переоценить веро€тности событий Hi с учетом полной информации о событии ј.

¬еро€тность событи€ ј определ€етс€ как:

(3.1)

Ёта веро€тность называетс€ полной веро€тностью.

≈сли событие ј может наступить только вместе с одним из событий Ќ1, Ќ2, Ќ3,..., Ќn, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то веро€тность событи€ ј равна сумме произведений веро€тностей каждого из событий Ќ1, Ќ2,..., Ќn на соответствующую условную веро€тность событи€ ј.

”словные веро€тности гипотез вычисл€ютс€ по формуле:

 

или (3.2)

 

 

Ёто - формулы Ѕайеса, (по имени английского математика “.Ѕайеса, опубликовавшего их в 1764 году) выражение в знаменателе - формула полной веро€тности.

ѕример 3.1. ѕредпри€тие, производ€щее компьютеры, получает одинаковые „»ѕы от двух поставщиков. ѕервый поставл€ет 65% „»ѕов, второй 35%. »звестно, что качество поставл€емых „»ѕов разное. ќсновыва€сь на предыдущих данных о рейтингах качества, составлена следующа€ таблица:

 

ѕоставщик % качественной продукции % брака
ѕоставщик 1    
ѕоставщик 2    

 

ѕредпри€тие осуществл€ет гарантийный ремонт компьютеров. »ме€ данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в св€зи с неисправностью „»ѕов, переоцените веро€тности того, что возвращенный дл€ ремонта компьютер, укомплектован „»ѕом от поставщика 1, поставщика 2.

–ешение задач с использованием формул полной веро€тности и Ѕайеса удобнее оформл€ть в виде таблицы следующего вида:

 

√ипотезы   јприорные веро€тности ”словные веро€тности —овместные веро€тности јпостериорные веро€тности P(Hi /A)
         

 

Ўаг 1. ¬ первой колонке перечисл€ем событи€, которые задают априорную информацию в контексте решаемой проблемы.

—об. Ќ1 - „»ѕ от первого поставщика;

—об. Ќ2 - „»ѕ от второго поставщика.

Ёто - гипотезы и они образуют полную группу независимых и несовместных событий.

¬о второй колонке записываем веро€тности этих событий:

–(Ќ1) = 0,65, а –(Ќ2) = 0,35

¬ третьей колонке определим условные веро€тности событи€ ј - Ђ„»ѕ бракованныйї дл€ каждой из гипотез.

Ўаг 2. ¬ колонке 4 находим веро€тности дл€ событий Ђ„»ѕ от первого поставщика и он бракованныйї и Ђ„»ѕ от второго поставщика и он бракованныйї. ќни определ€ютс€ по правилу умножени€ веро€тностей путем перемножени€ значений колонок 2 и 3. ѕоскольку сформулированные событи€ €вл€ютс€ результатом пересечени€ двух событий: ј и Hi, то их называют совместными веро€тност€ми, то есть

Ўаг 3. —уммируем веро€тности в колонке 4 дл€ того, чтобы найти веро€тность событи€ ј. ¬ нашем примере 0,0130 - веро€тность поставки некачественного „»ѕа от поставщика1, 0,0175 - веро€тность поставки некачественного „»ѕа от поставщика 2. ѕоскольку, как мы уже сказали выше, „»ѕы поступают только от двух поставщиков, то сумма веро€тностей 0,0130 и 0,0175 показывает, что 0,0305 есть веро€тность бракованного „»ѕа в общей поставке, по формуле (3.1):

= 0,0130 + 0,0175 = 0,0305

Ўаг 4. ¬ колонке 5 вычисл€ем апостериорные веро€тности, использу€ формулу (3.2)

«аметим, что совместные веро€тности наход€тс€ в строках колонки 4, а веро€тность событи€ ј как сумма колонки 4.

√ипотезы   јприорные веро€тности ”словные веро€тности —овместные веро€тности јпостериорные веро€тности
         
„»ѕ от 1-го поставщика „»ѕ от 2-го поставщика   0,65   0,35   0,02   0,05   0,0130   0,0175   0,426   0,574
S   - –(ј) = 0,305  

ѕример 3.2. Ёкономист полагает, что веро€тность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году равна 0,75, если экономика страны будет на подъЄме; и эта же веро€тность равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиватьс€. ѕо его мнению, веро€тность экономического подъЄма в будущем году равна 0,80. »спользу€ предположени€ экономиста, оцените веро€тность того, что акции компании поднимутс€ в цене в следующем году?

–ешение. ќпределим событи€:

ј - Уакции компании поднимутс€ в цене в будущем годуФ.

—обытие ј - Уакции компании поднимутс€ в цене в будущем годуФ - может произойти только вместе с одной из гипотез:

Ќ1 - экономика страны будет на подъЄме и

Ќ2 - экономика страны не будет успешно развиватьс€.

ѕо условию известны веро€тности гипотез:

P(H1) = 0,8; P(H2) = 0,2

и условные веро€тности событи€ ј:

P(A/H1) = 0,75; P(A/H2) = 0,3.

√ипотезы образуют полную группу, сумма их веро€тностей равна 1. –ассмотрим событие ј - это (или Ќ1ј или Ќ2ј). —обыти€ Ќ1ј и Ќ2ј - несовместные попарно, так как событи€ Ќ1 и Ќ2 - несовместны.

—обыти€ Ќ1 и ј, Ќ2 и ј - зависимые.

¬ышеизложенное позвол€ет применить дл€ определени€ искомой веро€тности событи€ ј формулу полной веро€тности:

P(A)=P(H1) × P(A/H1) + P(H2) × P(A/H2) = 0,8 × 0,75 + 0,2 × 0,3 = 0,66.

ќформим решение в рабочей таблице:

 

√ипотезы Hi P(Hi) P(A/Hi) P(Hi)· P(A/Hi)
H1 - Уподъем экономикиФ 0,80 0,75 0,60
H2- Успад экономикиФ 0,20 0,30 0,06
S 1,00 - 0,66

 

ќтвет. ¬еро€тность того, что акции компании поднимутс€ в цене в следующем году,

составл€ет 0,66.

 

ѕример 3.3. Ёкономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с веро€тностью 0,7, в период умеренного экономического роста доллар подорожает с веро€тностью 0,4 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с веро€тностью 0,2. ¬ течение любого периода времени веро€тность активного экономического роста 0,3, умеренного экономического роста 0,5 и низкого роста - 0,2. ѕредположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. „ему равна веро€тность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

–ешение. ќпределим событи€:

ј - Удоллар дорожаетФ. ќно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Ќ1 - Уактивный экономический ростФ;

Ќ2 - Уумеренный экономический ростФ;

Ќ3 - Унизкий экономический ростФ.

ѕо условию известны доопытные (априорные) веро€тности гипотез и условные веро€тности событи€ ј:

–(Ќ1) = 0,3; –(Ќ2) = 0,5; –(Ќ3) = 0,2;

–(ј/Ќ1) = 0,7; –(ј/Ќ2) = 0,4 и –(ј/Ќ3) = 0,2.

√ипотезы образуют полную группу, сумма их веро€тностей равна 1. —обытие ј - это (или Ќ1 × ј или Ќ2 × ј или Ќ3 × ј). —обыти€ Ќ1 × ј, Ќ2 × ј и Ќ3 × ј - несовместные попарно, так как событи€ Ќ1, Ќ2 и Ќ3 - несовместны.

—обыти€ Ќ1 и ј, Ќ2 и ј, Ќ3 и ј - зависимые.

ѕо условию требуетс€ найти уточненную (послеопытную, апостериорную) веро€тность первой гипотезы, т.е. необходимо найти веро€тность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие ј уже произошло), то есть –(Ќ1/ј) -?

»спользу€ формулу Ѕайеса (3.2) и подставл€€ заданные значени€ веро€тностей, имеем:

ћы можем получить тот же результат при помощи таблицы:

√ипотезы Hi јприорные веро€тности P(Hi) ”словные веро€тности P(A/Hi) —овместные веро€тности P(A Hi) јпостериорные веро€тности P(Hi/A)
H1 0,30 0,70 0,21 0,21 / 0,45 = 0,467
H2 0,50 0,40 0,20 0,20 / 0,45 = 0,444
H3 0,20 0,20 0,04 0,04 / 0,45 = 0,089
S 1,00 - 0,45  

 

ќтвет. ¬еро€тность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составл€ет 0,467.

ƒл€ более нагл€дного воспри€ти€ решени€ нашей задачи мы можем также построить дерево решений:

 

    —овместные
јприорные ”словные веро€тности
веро€тности веро€тности (как произведение)
     
P(A/H1) = 0,7 P(H1A) = 0,3× 0,7 = 0,21
–(Ќ1) = 0,3    
  P( /H1) = 0,3 P(H1 ) = 0,3× 0,3 = 0,09
     
–(Ќ2) = 0,5 P(A/H2) = 0,4 P(H2A) = 0,5× 0,4 = 0,20
     
  P( /H2) = 0,6 P(H2 ) = 0,5× 0,6 = 0,30
     
  P(A/H3) = 0,2 P(H3A) = 0,2 × 0,2 = 0,04
  –(Ќ3) = 0,2    
  P( /H3) = 0,8 P(H3 ) = 0,2× 0,8 = 0,16

 

ќтвет. ¬еро€тность активного экономического роста при условии, что доллар подорожает,

P(Hi/A) =0,467

 

ѕример 3.3. ¬ каждой из двух урн содержитс€ 6 черных и 4 белых шара. »з первой урны во вторую наудачу переложен один шар.

1. Ќайти веро€тность того, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывани€, окажетс€ черным?

2. ѕредположим, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывани€, оказалс€ черным.  акова тогда веро€тность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар?

–ешение. ќпределим событи€:

ј - Ушар, извлеченный из второй урны - черныйФ. ќно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Ќ1 - Уиз 1-й урны во 2-ю урну переложили черный шарФ и

Ќ2 - Уиз 1-й урны во 2-ю урну переложили белый шарФ.

»спользу€ классическое определение веро€тностей, определим веро€тности гипотез:

P(H1) = 6/10; P(H2) = 4/10.

и условные веро€тности событи€ ј.

ѕосле перекладывани€ во второй урне окажетс€ 11 шаров. ≈сли из первой урны во вторую переложили черный шар, то во второй урне окажетс€ 7 черных и 4 белых шаров.

“огда P(A/H1) = 7/11.

≈сли из первой урны во вторую переложили белый шар, то во второй урне окажетс€ 6 черных и 5 белых шаров.

“огда P(A/H2) = 6/11.

√ипотезы образуют полную группу, сумма их веро€тностей равна 1. –ассмотрим событие ј - это (или Ќ1ј или Ќ2ј). —обыти€ Ќ1ј и Ќ2ј - несовместные попарно, так как событи€ Ќ1 и Ќ2 - несовместны.

—обыти€ Ќ1 и ј, Ќ2 и ј - зависимые.

1. ¬ышеизложенное позвол€ет применить дл€ определени€ веро€тности событи€ ј и ответа на первый вопрос формулу полной веро€тности (3.1):

P(A)=P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2)=6/10 7/11 + 4/106/11 = 0,6.

Ёто же решение можно оформить в рабочей таблице:

 

√ипотезы Hi P(Hi) P(A/Hi) P(Hi) P(A/Hi)
H1 - Уиз 1-й урны во 2-ю урну переложили черный шарФ 6/10 7/11 42/110
H2- Уиз 1-й урны во 2-ю урну переложили белый шарФ 4/10 6/11 24/110
S 1,00 - 0,6

 

ќтвет. ¬еро€тность того, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывани€, окажетс€ черным составл€ет 0,6.

 

2. ¬о второй части задачи предполагаетс€, что событие ј уже произошло, т.е. шар, извлеченный из второй урны, оказалс€ черным. “ребуетс€ найти уточненную (послеопытную, апостериорную) веро€тность второй гипотезы, т.е. необходимо найти веро€тность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывани€, оказалс€ черным.

–(Ќ2/ј) -?

ƒл€ определени€ искомой веро€тности воспользуемс€ формулой Ѕайеса (3.2):

 

ћы можем получить тот же результат при помощи таблицы:

 

√ипотезы Hi јприорные веро€тности P(Hi) ”словные веро€тности P(A/Hi) —овместные веро€тности P(A Hi) јпостериорные веро€тности P(Hi/A)
H1 6/10 7/11 42/110=0,3818 0,3818/0,6 = 0,6364
H2 4/10 6/11 24/110=0,2182 0,2182/0,6 = 0,3636
1,00 - 0,6  

 

ќтвет. ¬еро€тность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывани€, оказалс€ черным, составл€ет 0,3636.

«адачи к теме 3

 

 

1. –уководство компании вы€снило, что в среднем 85% сотрудников, отправленных на стажировку по применению новых информационных технологий, успешно завершают курс обучени€. ¬ дальнейшем из них 60% активно примен€ют в работе полученные знани€. —реди тех сотрудников, которые не смогли успешно завершить обучение новые информационные технологии успешно примен€ют лишь 10%. ≈сли случайно выбранный сотрудник компании активно примен€ет новые информационные технологии, то какова веро€тность того, что он успешно прошел стажировку?

 

2. јгент по недвижимости пытаетс€ продать участок земли под застройку. ќн полагает, что участок будет продан в течение ближайших шести мес€цев с веро€тностью 0,85, если экономическа€ ситуаци€ в регионе не будет ухудшатьс€. ≈сли же экономическа€ ситуаци€ будет ухудшатьс€, то веро€тность продать участок составит 0,4. Ёкономист, консультирующий агента полагает, что с веро€тностью, равной 0,6, экономическа€ ситуаци€ в регионе в течение следующих шести мес€цев будет ухудшатьс€. „ему равна веро€тность того, что участок будет продан в течение ближайших шести мес€цев?

3. —удоходна€ компани€ организует средиземноморские круизы в течение летнего времени и проводит несколько круизов в сезон. ѕоскольку в этом виде бизнеса очень высока€ конкуренци€, то важно, чтобы все каюты зафрахтованного под круизы корабл€ были полностью зан€ты туристами, тогда компани€ получит прибыль. Ёксперт по туризму, нан€тый компанией, предсказывает, что веро€тность того, что корабль будет полон в течение сезона, равна 0,87, если доллар не подорожает по отношению к рублю, и с веро€тностью - 0,64, если доллар подорожает. ѕо оценкам экономистов, веро€тность того, что в течение сезона доллар подорожает по отношению к рублю, равна 0,1. „ему равна веро€тность того, что билеты на все круизы будут проданы?

 

4. »сследовани€ми маркетологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на рекламу средств бытовой химии. –езультаты исследований показали, что 64% женщин позитивно реагируют на такую рекламу, счита€ что она дает полезную информацию о новинках в этой сфере, в то врем€ как 48% мужчин реагируют на подобную рекламу негативно. 12 женщин и 8 мужчин заполнили анкету, в которой оценили новую рекламу средств бытовой химии. —лучайно извлеченна€ анкета содержит негативную реакцию. „ему равна веро€тность того, что еЄ заполн€ла женщина?

5.  омпьютерна€ фирма разработала программу автоматизации учета в кафе и ресторанах. –екламные материалы были разосланы в крупнейшие кафе и рестораны города, которые составл€ют 70% от общего числа предпри€тий питани€ города. «акупили программу 40% кафе и ресторанов, которые получили рекламные материалы и 15% не получавших ее.  акова веро€тность того, что случайно выбранное кафе, заказало новую программу автоматизации учета?

 

6. Ёкспортно-импортна€ фирма собираетс€ заключить контракт на поставку сельскохоз€йственного оборудовани€ в одну из развивающихс€ стран. ≈сли основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то веро€тность получени€ контракта оцениваетс€ в 0,55; в противном случае - в 0,35. ѕо оценкам экспертов компании веро€тность того, что конкурент выдвинет свои предложени€ по заключению контракта, равна 0,30. „ему равна веро€тность заключени€ контракта?

7. —отрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее врем€ ожидаетс€ рост спроса на продукцию фирмы. ¬еро€тность этого они оценивают в 0,72.  онсультационна€ фирма, занимающа€с€ прогнозом рыночной ситуации, подтвердила предположение о росте спроса. ѕоложительные прогнозы консультационной фирмы сбываютс€ с веро€тностью 0,93, а отрицательные - с веро€тностью 0,96.  акова веро€тность того, что рост спроса действительно произойдет?

 

8. »з числа авиалиний некоторого аэропорта 70% - местные, 20% - по —Ќ√ и 10% - в дальнее зарубежье. —реди пассажиров местных авиалиний 60% путешествуют по делам, св€занным с бизнесом, на лини€х —Ќ√ таких пассажиров 50%, на международных - 90%. »з прибывших в аэропорт пассажиров случайно выбираетс€ один. „ему равна веро€тность того, что он бизнесмен?

 

9. јудитор осуществл€ет проверку фирмы. ¬ ходе работы у него накопилось 2 стопы бухгалтерских документов. ¬ первой стопе содержит из 67 документов7 содержат ошибки, а во второй стопе из 45 документов 4 документа с ошибками. —лучайно был переложен один документ из первой стопы во вторую.  акова веро€тность того, что документ, извлеченный из второй стопы, содержит ошибку?

 

10.  омпьютерна€ фирма продает мониторы 4 марок. ѕри этом известно, что мониторы Sony составл€ют 24% от продаж, Panasonic-28%, LG Ц 16%, Samsung-32%. ¬еро€тность неполадок в первый год работы дл€ мониторов Sony составл€ет 0,01, Panasonic-0,02, LG Ц 0,03, Samsung-0,02.  акова веро€тность неполадок в первый год работы случайно выбранного монитора?

 

11. ѕри сли€нии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с веро€тностью равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажетс€, то веро€тность успеха равна 0,3. ѕредполагаетс€, что веро€тность ухода в отставку председател€ составл€ет 0,7. „ему равна веро€тность успеха сделки?

12. Ќа јЁ— установлена система аварийной сигнализации.  огда возникает аварийна€ ситуаци€, звуковой сигнал срабатывает с веро€тностью 0,999. «вуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с веро€тностью 0,002. –еальна€ веро€тность аварийной ситуации равна 0,004. ѕредположим, что звуковой сигнал сработал. „ему равна веро€тность того, что это случилось в услови€х реальной аварийной ситуации?

13. Ќефтеразведочна€ экспедици€ проводит исследовани€ дл€ определени€ веро€тности наличи€ нефти на месте предполагаемого бурени€ скважины. »сход€ из результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что веро€тность наличи€ нефти на провер€емом участке, равна 0,55. Ќа завершающем этапе разведки проводитс€ сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на провер€емом участке есть нефть, то тест укажет на нее в 92% случаев; если нефти нет, то в 14% случаев тест может ошибочно указать на ее наличие. —ейсмический тест указал на присутствие нефти. „ему равна веро€тность того, что запасы нефти на этом участке существуют реально?

 

14. ¬еро€тность того, что новый товар будет пользоватьс€ спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,58. ¬еро€тность того, что товар будет пользоватьс€ спросом при наличии на рынке конкурирующего товара 0,32. ¬еро€тность того, что конкурирующа€ фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода 0,24. „ему равна веро€тность того, что товар будет иметь успех?

 

15. ¬еро€тность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,06, а в период экономического кризиса - 0,23. ѕредположим, веро€тность того, что начнетс€ период экономического роста, равна 0,79. „ему равна веро€тность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?

 

16. Ёкономист-аналитик условно подраздел€ет экономическую ситуацию в стране на УхорошуюФ, УпосредственнуюФ и УплохуюФ и оценивает их веро€тности дл€ данного момента времени в 0,25, 0,60 и 0,15 соответственно. Ќекоторый индекс экономического состо€ни€ возрастает с веро€тностью 0,7, когда ситуаци€ Ухороша€Ф; с веро€тностью 0,2, когда ситуаци€ Упосредственна€Ф, и с веро€тностью 0,1, когда ситуаци€ Уплоха€Ф. ѕусть в насто€щий момент индекс экономического состо€ни€ возрос. „ему равна веро€тность того, что экономика страны на подъеме?

 

17.  ерамическа€ плитка одной марки, цвета и размера выпускаетс€ двум€ цехами завода: первый цех выпускает 60% плитки, а второй 40%. ѕричем известно, что 8% продукции первого цеха имеют дефекты, тогда как этот же показатель дл€ второго цеха равен 5%. —лучайно вз€та€ плитка имеет дефект. „ему равна веро€тность того, что она выпущена первым цехом?

18. ќпрос показал, что из 26 студентов, обучающихс€ в первой группе 18 ростовчан, а остальные живут в других городах, во второй группе 17 студентов-ростовчан, а остальные 10 живут в других городах. »з второй группы в первую был переведен один студент. ѕосле перевода один студент первой группы был вызван в деканат и оказалось, что это студент ростовчанин.  акова веро€тность того, что из второй группы в первую был переведен студент-ростовчанин?

19. —трахова€ компани€ делит, водителей, заключивших договор автокаско на следующие группы риска: 1 группа Ц низкий риск; 2 группа - средний; 3 группа Ц высокий риск. —реди клиентов страховой компании 25% - первой группы; 65% - второй группы; 10% - третьей группы. ¬еро€тность того, что страховое событие произойдет и страхова€ компани€ будет вынуждена выплатить страховое возмещение дл€ первой группы риска оцениваетс€ как 0,1; дл€ второй группы Ц 0,2; дл€ третьей Ц 0,3.  акова веро€тность того, что случайно выбранный клиент, получивший страховое возмещение, относитс€ к группе среднего риска?

20. –абота сотрудников торгового зала супермаркета организована в две смены. ¬ первой смене работают 5 мужчин и 7 женщин, во второй смене Ц 9 мужчин и 10 женщин. »з второй смены в первую был переведен один сотрудник.  лиент супермаркета пригласил сотрудника торгового зала дл€ консультации.  онсультировал клиента сотрудник Ц мужчина.  акова веро€тность того, что из второй смены в первую была переведена женщина?

 

 






ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-12-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1427 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—туденческа€ общага - это место, где мен€ научили готовить 20 блюд из макарон и 40 из доширака. ј майонез - это вообще десерт. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

730 - | 649 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.061 с.