Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Для несовместных событий A, B:
или	(2.5)

Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа n попарно несовместных событий, то есть:

P(A₁+A₂+A₃+...+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)+...P(A_n )

или

 

(2.6)

 

В случае нескольких совместных событий необходимо по аналогии с рассуждениями о пересечении двух совместных событий исключить повторный учет областей пересечения событий. Рассмотрим три совместных события.

 

A	AB	B
	ABC
AC	C	CB

 

Рис. 2.3

 

Для случая трех совместных событий можно записать:

 

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).

 

Сумма вероятностей событий А₁, А₂, А₃,..., А_n, образующих полную группу, равна 1, то есть:

P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) +... + P(A_n) = 1

или

(2.7)

 

Пример 2.3 Компания производит 40000 холодильников в год, которые реализуются в различных регионах России. Из них 10000 экспортируются в страны СНГ, 8000 продаются в регионах Европейской части России, 7000 продаются в страны дальнего зарубежья, 6000 в Западной Сибири, 5000 в Восточной Сибири, 4000 в Дальневосточном районе. Чему равна вероятность того, что определенный холодильник будет: 1. Произведен на экспорт? 2. Продан в России?

Решение. Обозначим события:

А – «Холодильник будет продан в странах СНГ»,

В – «Холодильник будет продан в Европейской части России»,

С – «Холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья»,

D – «Холодильник будет продан в Западной Сибири»,

E – «Холодильник будет продан в Восточной Сибири»,

F – «Холодильник будет продан в Дальневосточном районе».

Соответственно,

Вероятность того, что холодильник будет продан в странах СНГ:

P(A) = 10000/40000 =0,25.

Вероятность того, что холодильник будет продан в Европейской части России:

P(B) = 8000/40000 = 0,20.

Вероятность того, что холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья:

P(C) = 7000/40000 = 0,175.

Вероятность того, что холодильник будет продан в Западной Сибири:

P(D) = 6000/40000 = 0,15.

Вероятность того, что холодильник будет продан в Восточной Сибири:

P(E) = 5000/40000 = 0,125.

Вероятность того, что холодильник будет продан на Дальнем Востоке:

P(F) = 4000/40000 = 0,10.

События А, B, C, D, E, F – несовместные.

1.Событие, состоящее в том, что холодильник произведен на экспорт, означает, что холодильник будет продан или в страны СНГ, или страны дальнего зарубежья. Отсюда, по формуле (2.5) находим его вероятность: P(холодильник произведен на экспорт) = P(A + B) = Р(А) + Р(B) = 0,25 + 0,175 = 0,425.

2. Событие, состоящее в том, что холодильник будет продан в России, означает, что холодильник будет продан или в Европейской части России, или в Западной Сибири, или в Восточной Сибири, или на Дальнем Востоке. Отсюда, по формуле (2.6) находим его вероятность:

Р(холодильник будет продан в России) = P(A + D + E + F) = P(B) + P(D) + P(E) + P(F) = 0,20 + 0,15 + 0,125 + 0,10 = 0,575.

Этот же результат можно было получить рассуждая по другому. События «Холодильник произведен на экспорт» и «Холодильник будет продан в России» – два взаимно противоположных события, отсюда по формуле (2. 3):

Р(холодильник будет продан в России) = 1 - P(холодильник произведен на экспорт) = 1 – 0,425 =

= 0,575.

Ответ: 1. P(холодильник произведен на экспорт) = 0,425, 2. Р(холодильник будет продан в России) == 0,575.

 

Пример 2.4 Опыт состоит в случайном извлечении карты из колоды в 52 карты. Чему равна вероятность того, что это будет или туз, или карта масти треф?

Решение. Определим события: А - “извлечение туза”, В - “извлечение карты трефовой масти”. Вероятность извлечения туза из колоды карт Р(А) = 4/52; вероятность извлечения карты трефовой масти - Р(В) = 13/52; вероятность их пересечения - извлечение трефового туза – P(AB) = 1/52.

Проиллюстрируем это на рисунке.

Событие А	Трефы	Бубны	Пики	Червы
	Туз	Туз	Туз	Туз
	Король	Король	Король	Король
	Дама	Дама	Дама	Дама
Событие	Валет	Валет	Валет	Валет
В
	...	...	...	...

 

Рис. 2.4

 

События А и В - совместные, поскольку в колоде есть трефовый туз.

Согласно условию задачи, нас интересует вероятность суммы совместных событий А и В. По формуле 2.4 получим:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P (AB) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 0,3077

Ответ: Вероятность того, что случайно выбранная карта будет или туз, или масти трефа равна 0,3077.

 

Пример 2.5. В урне два белых и три черных шара. Чему равна вероятность появления белого шара при первом извлечении из урны? При втором извлечении из урны?

Решение. Здесь возможны два случая.

Первый случай. Схема возвращенного шара, то есть шар после первого испытания возвращается в урну.

Пусть событие А - “появление белого шара при первом испытании”. Так как N = 5, а М = 2, то Р(А) = 2/5.

Пусть событие В - “появление белого шара при втором испытании”. Так как шар после первого испытания возвратился в урну, то N = 5, а М = 2 и Р(В) = 2/5.

Таким образом, вероятность каждого из событий не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. События А и В в этом случае называются независимыми.

Итак, события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.

Вероятности независимых событий называются безусловными.

Второй случай. Схема невозвращенного шара, то есть шар после первого испытания в урну не возвращается.

Вероятность появления белого шара при первом испытании Р(А) = 2/5. Белый шар в урну не возвращается, следовательно, в урне остались один белый и три черных шара. Чему равна вероятность события В при условии, что событие А произошло? N = 4, M = 1.

Искомую вероятность обозначают Р(В/А) или Р(В)_А или Р_А(В). Итак, Р(В/А)=1/4 называют условной вероятностью, а события А, В называются зависимыми. В предыдущем примере с картами Р(А)=4/52; Р(А/В)=4/16.

Например, тот факт, что человек работает научным сотрудником, может быть является зависимыми от наличия у него высшего образования; событие, состоящее в том, что станок может выйти из строя, не является независимым от срока его эксплуатации, событие, состоящее в том, что цена акций компании пошла вверх, не является независимым от того с прибылью или с убытком сработала компания в прошлом периоде и т.д.

Итак, события А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью.

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей:

P(AB) = P(A) × P(B),
P(A B) = P(A) × P(B)	(2.8)

 

 

или