Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


√ипергеометрическое распределение.




 

ѕусть имеетс€ множество N элементов, из которых ћ элементов обладают некоторым признаком A. »звлекаетс€ случайным образом без возвращени€ n элементов. “ребуетс€ найти веро€тность того, что из них m элементов обладают признаком A. »скома€ веро€тность (завис€ща€ от N, M, n, m) определ€етс€ по формуле:

(4.15)

≈сли по формуле (4.15) вычислить веро€тности дл€ всех возможных значений m, то полученный р€д распределени€ называетс€ гипергеометрическим законом распределени€ (таблица 4.5):

“аблица 4.5

M       ... n
P(X=m) ...

 

ћатематическое ожидание и дисперси€ случайной величины m, распределенной по гипергеометрическому закону, определ€ютс€ формулами:

(4.16)

(4.17)

 

ѕример 4.1 »звестно, что в определенном городе 20% горожан предпочитают добиратьс€ на работу личным автотранспортом. —лучайно выбраны 4 человека.

а) —оставьте р€д распределени€ числа людей в выборке, предпочитающих добиратьс€ на работу личным автотранспортом, и постройте его график.

б) Ќайдите числовые характеристики этого распределени€;

в) Ќапишите функцию распределени€ числа людей в выборке, предпочитающих добиратьс€ на работу личным автотранспортом и постройте еЄ график.

г) „ему равна веро€тность того, что среди 4-х случайно отобранных человек не будет ни одного, предпочитающего добиратьс€ на работу личным автотранспортом?

д) „ему равна веро€тность того, что среди 4-х случайно отобранных людей окажетс€ хот€ бы один, предпочитающий добиратьс€ на работу личным автотранспортом?

е) „ему равна веро€тность того, что среди 4-х случайно отобранных человек будет не больше двух, предпочитающих добиратьс€ на работу личным автотранспортом?

–ешение. ¬ качестве случайной величины в данной задаче выступает число людей в выборке, предпочитающих добиратьс€ на работу личным автотранспортом. ќбозначим ее через X.

ѕеречислим все возможные значени€ случайной величины ’: 0, 1, 2, 3, 4.

¬еро€тность того, что каждый из отобранных людей предпочитает добиратьс€ на работу личным автотранспортом, - посто€нна и равна 0,2 (p = 0,2). ¬еро€тность противоположного событи€, т.е. того, что каждый из отобранных людей предпочитает добиратьс€ на работу не личным автотранспортом, а как-то иначе - также посто€нна и составл€ет 0,8 (q = 1 - p = 1 0,2 = 0,8).

¬се 4 испытани€ - независимы, т.е. веро€тность того, что каждый из отобранных людей предпочитает добиратьс€ на работу личным автотранспортом, не зависит от того, каким способом предпочитает добиратьс€ на работу любой другой человек из числа случайно отобранных.

ќчевидно, что случайна€ величина ’ - подчин€етс€ биномиальному закону распределени€ веро€тностей с параметрами n=4 и p=0,2.

»так, по условию задачи: n = 4; p = 0,2; q = 0,8; X = m.

а) „тобы построить р€д распределени€, необходимо вычислить веро€тности того, что случайна€ величина примет каждое из своих возможных значений и записать полученные результаты в таблицу.

–асчет искомых веро€тностей осуществл€етс€ по формуле Ѕернулли.

 

ѕодставим в эту формулу данные задачи:

ѕолучим р€д распределени€ числа людей в выборке, предпочитающих добиратьс€ на работу личным автотранспортом:

 

         
0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016

 

“ак как все возможные значени€ случайной величины образуют полную группу событий, то сумма их веро€тностей должна быть равна 1.

ѕроверка: 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + 0,0016 = 1.

¬место р€да распределени€ дискретна€ случайна€ величина может быть задана графически многоугольником (полигоном) распределени€ (рис. 4.3).

–ис. 4.3.

б) Ќайдем основные числовые характеристики распределени€ данной случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

ћатематическое ожидание любой дискретной случайной величины может быть рассчитано по формуле (4.4):

= 0 × 0,4096 + 1 × 0,4096 + 2 × 0,1536 + 3 × 0,0256 +4 × 0,0016 = =0,8 (чел.)

¬месте с тем, ввиду того, что в данном случае речь идет о математическом ожидании частоты, дл€ его расчета можно воспользоватьс€ более простой формулой (4.10):

M(X = m) = np = 4 × 0,2 = 0,8 (чел.)

–ассчитаем дисперсию числа человек, предпочитающих добиратьс€ на работу личным автотранспортом, среди 4-х отобранных. ƒисперси€ любой дискретной случайной величины может быть рассчитана по формуле:

= (0 - 0,8)2 × 0,4096 +(1 - 0,8)2 × 0,4096 +(2 - 0,8)2 × 0,1536 + (3 - 0,8)2 × 0,0256 + (4 - 0,8)2 × 0,0016 = 0,64 (кв.ед).

¬ данном случае речь идет о дисперсии частоты, а еЄ можно найти по формуле (4.11):

D(X = m) = npq = 4 × 0,2 × 0,8 = 0,64 (кв.ед)

–ассчитаем среднее квадратическое отклонение числа людей в выборке, предпочитающих добиратьс€ на работу личным автотранспортом. —реднее квадратическое отклонение рассчитываетс€ по формуле:

в) ƒискретную случайную величину можно задать функцией распределени€:

где дл€ каждого значени€ х суммируютс€ веро€тности тех значений xi, которые лежат левее точки х.

«ададим функцию распределени€ дискретной случайной величины применительно к условию данной задачи:

.

ƒл€ построени€ графика функции распределени€ веро€тностей дискретной случайной величины необходимо рассчитать кумул€тивные (накопленные) веро€тности, соответствующие значени€м случайной величины. јлгоритм их расчета вытекает из смысла функции распределени€:

 

F(Xi) = P(X1) + P(X2) +... + P(X i -2) + P(X i -1)

 

Ёта формула справедлива дл€ всех F(Xi), кроме F(X0). “ак как по определению функци€ распределени€ определ€ет веро€тность того, что случайна€ величина примет значение, меньшее заданного, пон€тно, что веро€тность того, что случайна€ величина примет значение, не более минимального, равна 0:

F(X0) = 0.

–ассчитаем значени€ F(х):

Ёти данные можно представить и в виде таблицы:

 

x £ 0 0 < x £ 1 1 < x £ 2 2 < x £ 3 3 < x £ 4 x > 4
F(x)   0.4096 0.8192 0.9728 0.9984  

 

 

√рафик функции распределени€ веро€тностей дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид. —качки равны веро€тност€м, с которыми случайна€ величина принимает возможные значени€ (рис.4.4).

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-12-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 362 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тремитесь не к успеху, а к ценност€м, которые он дает © јльберт Ёйнштейн
==> читать все изречени€...

496 - | 506 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.016 с.