Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции.

Напомним некоторые понятия.

Функция называется выпуклой (вогнутой) на некотором интервале, если ее график лежит ниже (выше) касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Сформулируем достаточные условия. Если вторая производ­ная функции отрицательна (положительна) на интервале, то данная функция является выпуклой (вогнутой) на этом интервале.

Точкой перегиба называется такая точка графика, в которой существует касательная, и в окрестности которой график функции лежит по разные стороны касательной. Точка перегиба отделяет выпуклую часть графика от вогнутой.

Достаточные условия точки перегиба формулируются следующим образом. Если в некоторой точке определена первая производная и при переходе через эту точку вторая производная меняет свой знак, то такая точка является абсциссой точки перегиба.

 

Находим вторую производную.

= = .

Находим нули и точки разрыва второй производной, интервалы знакопостоянства второй производной. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости функции.

Вторая производная равна нулю только в одной точке: х=0.

Вторая производная имеет точку разрыва в точках: х=-1, х=1.

Как и в предыдущем случае определяем интервалы знакопостоянства, и по знаку второй производной делаем вывод о выпуклости или вогнутости функции. Результаты удобно свести в таблицу. В таблице выпуклость функции будем обозначать символическим знаком Ç, вогнутость знаком È.

 

х	(-¥;-1)	(-1;0)	(0;1)	(1;+ ¥)
у¢¢	+	-	+	-
у	È	Ç	È	Ç

 

Определим точки перегиба.

Вторая производная меняет знак в точках: х=-1; х=0; х=1.

Однако в точках х=-1 и х=1 функция не определена. Поэтому точкой перегиба является единственная точка х=0. Значение функции в этой точке у(0)=0.

С учетом исследования на выпуклость и вогнутость подправляем полученный ранее график плавной кривой. Таким образом, получаем окончательный вид графика функции.

В заключение заметим, что полученный график является лишь сжатой и наглядной формой сводки результатов исследования функции. Этот график можно еще уточнять. В тоже время, найденные асимптоты позволяют судить о поведении графика за пределами области изображения на приведенном рисунке.

 

Задача.

Методами дифференциального исчисления провести полное исследование функции и построить ее график: .

Область определения функции.

Функция определена при x>0.

 

Четность, нечетность функции.

Поскольку функция не определена при x 0, то данная функция является функцией общего вида.