Задача Д1. Обратная (вторая) задача динамики

Груз массой m = 4кг,получив в точке А начальную скорость V₀, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальном положении. На участке АВ на груз кроме силы тяжести G действует сила сопротивления R=μV, пропорциональная скорости (где μ – коэффициент пропорциональности). В положении В груз, не изменяя значения своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести и силы трения, действует переменная сила Q.

Зная время движения t=2с на участке АВ и скорость груза в точке В, определить:

1) начальную скорость груза V₀, которую имел груз в положении А;

2) закон движения груза на участке АВ х = f(t);

3) длину участка l _АВ;

4) закон движения груза на участке ВС х = f(t).

При окончательных расчетах принять коэффициент трения f = 0,2, g = 10 м/с². Другие необходимые для расчета данные приведены в табл. Д1.

Таблица Д1 Исходные данные для задачи Д1.

Вариант
µ	0,2	0,4	0,6	0,8	0,2	0,4	0,6	0,8	0,2	0,4
V_В (м/с)	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	2,0	2,5	3,0	4,0	2,0
Q (H)	-sin2t	6t²-1	cos2t	1-2t	2t²	e^-2t	-cos2t	2sin3t	e^2t	sin2t

Пример Д1. Дано: m = 8 кг; t =2 c; V_В = 2 м/с; R = µV; µ = 0,8; f = 0,2; Q = 16sin(2t). Определить: начальную скорость груза V_A и закон движения груза на участке ВС, т.е. x = f(t) (рис. Д1).

Рисунок D1

Решение

1. Считая груз материальной точкой, рассмотрим его движение на участке АВ. На груз действует сила тяжести G, сила сопротивления R и нормальная реакция N. Проводим координатные оси ху и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось х:

. (1)

Учитывая, что , а R=µV, получим

Разделяя переменные V и t и принимая g=10 м/с²,получим

Введем новую переменную

, тогда ; откуда .

Следовательно:

Постоянную C₁ находим из (2) при начальных условиях (t =0, V = V₀:

Когда через время τ = 2 с груз переместится в точку В, скорость его равна:

2. Начальную скорость V₀, сообщенную грузу в точке А, определяем из уравнения (5) при V_B = 2 м/с и τ = 2 с:

(6)

3. Определяем длину участка АВ. Для этого сначала найдем уравнение движения груза на этом участке, подставляя в уравнение (3) V=dx/dt. Разделяя переменные х и t, получим

В результате интегрирования

Постоянную С₂ находим из уравнения (7) при начальных условиях (t = 0, х = х₀ = 0):

Тогда уравнение движения груза на участке АВ будет иметь вид
Длина участка АВ при τ =2с равна:

(9)

4. Рассмотрим движение груза на участке ВС. Скорость V_В = 2 м/с на этом участке будет начальной. Изображаем груз в произвольном положении и действующие на него силы F_x, G, F _т_p, а также нормальную реакцию плоскости N. Составляем дифференциальное уравнение движения груза на этом участке в проекции на ось х:

где сила трения .

Для определения нормальной реакции плоскости N составим уравнение равновесия сил в проекции на ось у:

; , откуда

Следовательно:
Откуда, разделив на массу, получим

После интегрирования:

Заменив , имеем

После повторного интегрирования:

Постоянные С₃ и С₄ находим из уравнений (8) и (9) при начальных условиях (t = 0, х₀ = 0, V₀ = V_B):

Тогда закон движения груза на участке ВС будет иметь вид

Ответ:

6.8. Задача Д2. Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки

Груз массой m, получив начальную скорость в точке А, движется внутри полой трубки, расположенной в вертикальной плоскости под действием силы тяжести G и силы трения F _тр. Зная скорость груза в точке В и время движения τ на участке АВ, а также величину коэффициента трения f на этом участке трубки, определить:

1) скорость груза в точках А, C и D;

2) силу давления груза на стенку трубки в точке С.

При окончательных расчетах принять f = 0,2; m = 2 кг; R = 6 м; g =10 м/с². Другие необходимые для решения данные приведены в табл. Д2.

Таблица Д2 Исходные данные для задачи Д2.

Вариант
τ (с)	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9
V_В (м/с)

Пример Д2. Дано: V_B =1 м/с; m = 2 кг; α = 30⁰; τ = 0,7 с; R = 6 м; f = 0,2. Определить: скорость груза в положениях А,С и D и силу давления груза на стенку трубки в положении С.

Решение

Рисунок Д2

1. Рассмотрим движение груза на участке АВ. В любом положении на груз действуют: сила тяжести G, сила трения F _тр и нормальная реакция N.

2. Для определения начальной скорости груза в точке А применим теорему об изменении количества движения материальной точки:

Для нашего случая:

Нормальную реакцию определяем, проецируя силы на ось y:

Следовательно:

Из уравнения (1) скорость груза в точке A равна:

3. Определяем скорость груза в точке С, применяя теорему об изменении кинетической энергии для материальной точки:

Для нашего случая:

Откуда скорость груза в точке С:

4. Определяем силу давления N груза на стенку трубки в точке С, применяя принцип Даламбера для материальной точки:

(3)

Составляем сумму проекций этих сил на нормаль:

(4)

и определяем силу инерции, условно приложенную к грузу:

Откуда реакция стенки трубки равна

А сила давления груза на стенку трубки в точке С, по закону равенства действия и противодействия, равна реакции стенки:

5. Определяем скорость груза в точке D, применяя теорему об изменении кинетической энергии для материальной точки:

Откуда скорость груза в точке D равна:

Ответ:

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: Учебник. Т.1.: Статика. Кинематика. - М.: Наука, 1985.- 240 с.

2. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: Учебник. Т. 2.: Динамика. - М.: Наука, 1985.- 496 с.

3. Гернет М.М. Курс теоретической механики.– М.: Высш. шк., 1981. -303 с.

4. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник. -М.: Высш. шк., 2002. - 416 с.

5. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Статика. Кинематика. Динамика: Учебник.– СПб.:Издательство «Лань», 2001. - 768 с.

Дополнительная

1. Айзенберг Т.Б., Воронков Н.М., Осецкий В.М. Руководство к решению задач по теоретической механике./Под редакцией проф. И.М. Воронкова. – М.: Высш. шк., 1968.- 419 с.

Луганский национальный аграрный университет Кафедра сопротивления материалов и теоретической механики РАСЧЕТНО – ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Студента (ки) _____ курс ______ группа Направление подготовки__________________ Специальность_______________________ _ _________________________________ (Фамилия и инициалы) Руководитель___________________________ _______________________ _ ____________ (должность, ученое звание, научная степень,фамилия и инициалы) Национальная шкала ________________ Количество балов: ______ Оценка: ECTS ____ Луганск – 2015

ПРИЛОЖЕНИЯ

Образец выполнения титульного листа

Приложение 1

Приложение 2
Рисунок С1