Туннелирование через ступенчатый барьер

На рис. 3 приведены энергетические диаграммы трех потенциальных барьеров прямоугольного типа, туннелирование через которые будут рассмотрены в данной главе. С целью получения высоких интенсивностей туннелирования будем исследовать тонкие барьеры с = 1 нм. Аналитическое выражение для расчета коэффициента туннелирования через барьер первого вида хорошо известно, и может быть записано в виде

, (2.1)

 

где – величина волнового вектора электрона, – его энергия, , – ширина барьера, и – соответственно, функции гиперболических синуса и косинуса.

 

Случай 1

E

U

W

Случай 3

E

U 2

U 1

W

W2

W1

Случай 2

E

U 2

U 1

W

W2

W1

 

Рис. 3. Исследуемые потенциальные барьеры.

 

Получим аналитические выражения для расчета коэффициента прохождения для остальных двух рассматриваемых барьеров. Следует учесть, что процесс туннелирования через любой потенциальный барьер определяется условием непрерывности волновых функций электрона и их первых производных в областях как перед барьером и после него , так и внутри самого барьера . Это условие обычно можно записать в виде

, (2.2)

. (2.3)

Волновая функция электрона перед барьером состоит из падающей и отраженной волны и записывается как . Волновая функция электрона после барьера состоит только из прошедшей волны и может быть записана как . Коэффициент прохождения (туннелирования) электрона через потенциальный барьер легко рассчитывается с помощью следующего выражения

. (2.4)

Что же касается волновой функции электрона внутри барьера , то она может быть найдена только с помощью решения уравнения Шредингера.

Для барьеров случаев 2 и 3 волновую функцию внутри барьера необходимо разбить на две самостоятельные функции и для каждой из частей барьера со своей высотой и шириной – U ₁, W ₁ и U ₂, W ₂. Для них условия (2.2) – (2.3) перепишутся следующим образом

, (2.5)

, (2.6)

. (2.7)

 

Так как части барьера в целом прямоугольные и прохождение над барьерами не рассматривается, то волновые функции в них и можно искать в следующем виде: для барьера случая 2 при любых условиях, а при и при и для барьера случая 3 при и при , а при обоих условиях. В этих выражениях , а , если , и , если .

Подставив эти решения в системы (2.5) – (2.7), можно найти коэффициенты и , а подставив их в (2.4), получим выражения для коэффициента туннелирования. Общий их вид оказался одинаковым для обоих барьеров и может быть записан согласно следующему соотношению

. (2.8)

Однако в этом соотношении коэффициенты и для и различаются, при чем для каждого из барьеров они отличаются только перестановкой отдельных параметров.

При для барьера случая 2 имеем

, (2.9)

, (2.10)

а для барьера случая 3, соответственно,

, (2.11)

. (2.12)

При для барьера случая 2 имеем

, (2.13)

, (2.14)

а для барьера случая 3, соответственно,

, (2.15)

, (2.16)