Интервалы монотонности, точки экстремума

Определение 15. Пусть функция определена на множестве D. Если для любых значений аргументов из неравенства вытекает неравенство , то функция называется возрастающей на множестве

-2

y=f(x)

Рис.7. Интервалы монотонности

D; если

то функция называется неубывающей на множестве D; если

то функция называется убывающей на множестве D; при

функция называется невозрастающей на множестве D.

Определение 16. Убывающие, возрастающие, невозрастающие, неубывающие функции на множестве D называются монотонными на этом множестве, а убывающие и возрастающие − строго монотонными.

Определение 17. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

Например, графически заданная функция (рис. 7) убывает на интервале (-2;1) (строго монотонна), не убывает на интервале (1;5) (монотонна), возрастает на интервале (3;5) (строго монотонна).

Теорема 5 (необходимые условия возрастания (убывания) функции). Если дифференцируемая на интервале функция возрастает (убывает), то для любых

Теорема6 (достаточные условия возрастания (убывания) функции). Если функция дифференцируема на интервале и для любых то эта функция возрастает (убывает) на интервале

Рис. 8. Касательные к графикам возрастающей и убывающей функций

Геометрически условия монотонности означают: если касательные к кривой в некотором промежутке направлены под острыми углами к оси абсцисс, то функция возрастает (рис.8, а), если под тупыми, то убывает (рис.8, б).

Определение 18. Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки.Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство (рис. 9а, б; рис. 10).

Определение 19. Точки максимума и минимума называются экстремальными точками (экстремумами).

Определение 20. Значение функции в точках максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции − экстремумом функции.

Экстремумфункциичасто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремумасвязано лишь с достаточно малой -окрестностью точки . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой точке. Наличие максимума (минимума) в отдельной точке данного промежутка вовсе не означает, что в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят, имеет глобальный максимум (минимум)). В данномучебно-методическом пособии мы будем рассматривать только локальные экстремумы.

Теорема 7 (необходимое условие экстремума). Если

− точка локального экстремума для функции

, то в этой точке производная функции либо равна (

),либо не существует.

Рис. 9. Касательная, параллельная Ох

Рис. 10. Касательная в точках экстремума

Геометрически теорема означает, что в точках экстремума касательная к графику функции либо параллельна оси Ох (если

) (см. рис. 9,а, б), либо перпендикулярна оси Ох (если

) (см. рис. 10,б, в), либо касательную провести невозможно (если

не существует)(см. рис. 10,а).

Определение 21. Критическими точками первого рода называются точки, в которых производная функции равна нулю либо равна бесконечности, либо не существует.

Критические точки должны входить в область определения функции.

Теорема 8 (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой -окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет свой знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс – точка минимума.

Экстремумы функции находятся среди критических точек первого рода, но критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума. На рисунке 9,в точка является критической, но не является точкой экстремума, так какпри переходе через нее производная не меняет свой знак.

В точках экстремума меняется знак производной и вместе с ним меняется характер поведения функции. Таким образом, найдя точки экстремума функции, можно определить интервалы монотонности функции.

2.10.1.Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы

1) Найти область определения функции

2) Найти производную функции

3) Найти критические точки первого рода, решив уравнение

4) На числовую ось нанести область определения функции и критические точки первого рода. В полученных интервалах определить знак производной и поведение функции.

5) Определить, какие из критических точек являются точками экстремума, вычислить значения функции в точках экстремума.

6) Указать интервалы монотонности функции.

Пример 2.8. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции:

а)

Решение.

1. Найдем область определения функции

2. Найдем производную функции

3. Найдем критические точки первого рода, решив уравнение Все корни уравнения принадлежат и являются критическими точками первого рода.

Знак производной

7/5

Поведение функции

max

min

Нет экстремума

4. Отметим на числовой оси область определения функции и критические точки первого рода. Строим диаграмму исследования функции на экстремум и интервалы монотонности (рис. 11).

Рис. 11. Интервалы монотонности, точки экстремума

5. Точки экстремума: − точка максимума, −точка минимума, в точке экстремума нет. Вычислим значения функции в точках экстремума: Таким образом, − точки экстремума графика функции.