Л.В. АВИЛОВА, Л.В. ДОЛГОВА
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
ЧАСТЬ 1
ОМСК 2015
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Омский государственный университет путей сообщения
___________________________________
Л.В. Авилова, Л.В. Долгова
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
Часть 1
Утверждено редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия для выполнения индивидуальной
самостоятельной работы студентами 1-го курса всех специальностей
Омск 2015
УДК 517.23(075.8)
ББК 22.161.11я73
А20
Приложения производных: Учебно-методическое пособиедля выполнения индивидуальной самостоятельной работы студентами 1-го курса всех специальностей.Часть1/ Л.В. Авилова, Л.В. Долгова; Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2015. 32с.
Учебно-методическое пособие написано в соответствии с действующей программой по курсу математики для технических вузов, содержит краткие теоретические сведения о приложении производных при вычислении пределов, исследовании функций и построении их графиков. В пособии приведены правила Лопиталя, подробная схема исследования функций, алгоритм построения графика функции, разобраны примеры решения задач.
Предназначено для студентов 1-го курса всех специальностей.
Библиогр.: 4назв. Табл. 1. Рис. 16.
Рецензенты:доктор техн. наук, профессор В. А. Нехаев;
канд. пед. наук, доцент Т.П. Фисенко.
______________________
© Омский гос. университет
путей сообщения, 2015
ОГЛАВЛЕНИЕ
| Введение ………………………………………………………………………… 1. Применение производной при вычислении пределов. Правила Лопиталя 2. Применение производной при исследовании функций и построении их графиков ……………………………………………………………………... 2.1. Основные понятия ………………………………………………………. 2.2. Общая схема исследования функции и построения графика ………… 2.3. Область определения функции …………………………………………. 2.4. Четность, нечетность функции …………………………………………. 2.5. Периодичность функции ………………………………………………... 2.6. Точки пересечения с осями координат ………………………………… 2.7. Интервалы знакопостоянства функции ………………………………... 2.7.1. Алгоритм нахождения интервалов знакопостоянства …………. 2.8. Непрерывность функции ……………………………………………….. 2.8.1. Алгоритм исследования функции на непрерывность ………….. 2.9. Асимптоты графика функции ………………………………………….. 2.9.1. Алгоритм нахождения асимптот ………………………………… 2.10. Интервалы монотонности, точки экстремума ……………………….. 2.10.1. Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы 2.11. Интервалы выпуклости, точки перегиба ……………………………... 2.11.1. Алгоритм исследования функции на выпуклость (вогнутость) и точки перегиба ………………………………………………………………….. 2.12. Построение графика функции ………………………………………… Библиографический список ……………………………………………………. |
ВВЕДЕНИЕ
При изучении темы «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» студенты часто задаются вопросом о необходимости данного учебного материала в жизни, в будущей профессии. Дифференциальное исчисле-ние – это описание окружающего нас мира, выполненное на математическом языке. При решении различных задач геометрии, алгебры, физики, экономики возникает необходимость составить функцию, описывающую определенные процессы, а далее провести исследование полученной зависимости. Осуществить подобное исследование можно с помощью производных.
С помощью производной можно успешно решать не только математичес-кие задачи, но и задачи практического характера в различных отраслях науки и техники. Если функция описывает какой-либо процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса.
Производная находит широкое применение в физике для расчета скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени, теплоемкости по известному количеству тепла от времени, силы тока по известному количеству тока от времени; для определения наибольших и наименьших величин. В химии производную используют для вычисления скорости химической реакции и радиоактивного распада вещества; в биологии – для определения скорости роста популяции бактерий в определенный момент времени. В экономических науках производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий и выразить ряд экономических законов с помощью математических формул. Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, т. е. при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.). Производная применяется в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямым следствием математических теорем. В математике производная используется для того, чтобы найти уравнение касательной и нормали к графику функции в данной точке. С помощью производной можно упрощать алгебраические и тригонометрические выражения, раскладывать на множители, доказывать тождества и неравенства. В данном учебно-методическом пособии мы рассмотрим применение производных к вычислению пределов, исследованию функций и построению их графиков.
Тема «Приложения производных», которая традиционно включается в раздел «Математический анализ», стимулирует развитие у студентов аналитического мышления, умение сопоставлять известные формулы и результаты собст-венных исследований. Это способствует достижению основных целей обучения математическим дисциплинам: владеть методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования.
Настоящее пособие состоит из двух частей. Первая часть содержит краткие теоретические сведения по темам «Применение производной при вычислении пределов», «Применение производной при исследовании функций и построении их графиков». Во второй части представлены варианты заданий типовых расчетов по данным темам для самостоятельной работы и примеры решения типовых заданий.
Цель настоящего издания – помочь студентам научиться применять производную при вычислении пределов и исследовании функций.
Первая часть данного пособия состоит из двух разделов. В первом разделе изложены правила Лопиталя, разобраны примеры раскрытия неопределенностей различных видов с помощью этих правил. Во втором разделе дана подробная схема исследования функций и построения ее графика. Каждый пункт схемы рассмотрен отдельно, приведены алгоритмы выполнения исследования на каждом этапе, имеются справочные материалы из школьного курса математики по теме «Исследование функций», разобраны примеры решения задач по каждому из пунктов. Задачи сопровождаются подробными объяснениями, которые помогут студенту при решении своего задания.
Авторы выражают благодарность Ирине Павловне Гринь за предоставленные методические материалы; некоторыми из этих материалов авторы воспользовались при составлении типового расчета.
1. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИПРЕДЕЛОВ,
ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида 
и 
, который основан на применении производных.
Теорема 1. (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида (
). Пусть функции 
и 
непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки 
и обращаются в ноль в этой точке: 
Пусть 
в окрестности точки 
Если существует предел 
, то 
Замечания.
1. Теорема верна и в случае, когда функции 
и 
неопределенны при 
но 
2. Теоремасправедлива и в том случае, когда 
Теорема 2. (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 
). Пусть функции 
и 
непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки 
(кроме, может быть, точки 
), в этой окрестности: 
Если существует предел 
то
Коротко две эти теоремы можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:
(1)
Замечания.
1. Обращаем внимание на то, что в правой части равенства (1) берется отношение производных, а не производная отношения.
2. Если производные функций 
и 
удовлетворяют условиям теорем, то правило Лопиталя можно применять несколько раз.
3. Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида 
и 
которые называют основными. Неопределенности вида 
сводятся к двум основным видам путем тождественных преобразований.
Пример 1.1. Найти предел: 
Решение.
Имеем неопределенность вида 
Применяя правило Лопиталя, получим: 
Снова получили неопределенность вида 
еще раз применяем правило Лопиталя: 
Аналогично: 
Пример 1.2. Найти предел: 
Решение. 
2. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ
ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИИ ИХ ГРАФИКОВ
Основные понятия
Определение 1. Пусть 
и 
Если каждому элементу х множества Х (
) ставится в соответствие вполне определенный элемент у из множества Y (
), то говорят, что на множестве Х, задана функция 
При этом х называется независимой переменной (или аргументом), у − зависимой переменной, буква 
обозначает закон соответствия.
Множество Х называется областью определения функции, обозначается 
а множество Y − областью значений функции, обозначается 
Определение 2. Пусть заданы прямоугольная система координат Оху и функция 
Графиком функции 
называется множество всех точек плоскости с координатами 
где 
Определение 3. Основными элементарными функциями называются степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Определение4. Элементарными называются функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций 
и композиций (образования сложных функций).
Примеры элементарных функций: а) 
б) 
Примеры неэлементарных функций: а) 
б) 
Общая схема исследования функции и построения графика
Методы математического анализа (дифференциальное исчисление в сочетании с теорией пределов) позволяют строить достаточно точный график заданной функции. Для этого необходимо хорошо изучить свойства этой функции. Исследование и построение графика целесообразно проводить по следующей схеме.
I.Элементарные исследования:
1) найти область определения функции;
2) выяснить вопрос о четности или нечетности функции;
3) выяснить вопрос о периодичности функции (обычно проверяют для тригонометрических функций, для других функций этот пункт пропускают);
4) отыскать точки пересечения графика функциис осями координат;
5) определить интервалы знакопостоянства;
6) исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, уточнить поведение функции вблизи точек разрыва;
7) отыскать асимптоты графика функции;
8) исследовать поведение функции на концах ее области определения (это можно сделать при отыскании асимптот в п. 7).
II.Исследование функции по первой производной. Найти:
1) критические точки первого рода;
2) экстремумы функции и вычислить значения функции в точках экстремума;
3) интервалы монотонности функции.
III.Исследование функции по второй производной. Найти:
1) критические точки второго рода;
2) точки перегиба и вычислить значения функции в точках перегиба;
3) интервалы выпуклости и вогнутости графика функции.
IV.Построение графика функции с учетом проведенного исследования.
Замечание.
Приведенная схема исследования не является обязательной. В случае необходимости можно изменять порядок исследования, а иногда обойтись без отдельных пунктов предложенной схемы.
Разберем подробно каждый из пунктов схемы.
