Для получения сжатия более 13-ти применяют так называемые бинарные кодирующие последовательности максимального периода (ПМП или М-последовательности).
Генерирование псевдослучайных двоичных М-последовательностей осуществляется схемой C -разрядного регистра сдвига (РС) с комбинационной логической схемой (КС) в цепи обратной связи (рис.4.13).
Рис.4.13.
Структура КС выбирается в соответствии с рекуррентным соотношением
dC XC Å dC -1 XC -1Å…Å d 1 X 1Å d 0 X 0 =0. (4.3)
В уравнении (4.3) Xi представляют собой выходные сигналы i -х каскадов (триггерных элементов Т i) регистра сдвига (X 0 – входной сигнал первого каскада регистра сдвига), которые принимают в фиксированные моменты времени значения 0 или 1. Коэффициенты di также равны 0 или 1, причем всегда d 0 = 1, так как сигнал с выхода комбинационной схемы обязательно должен подаваться на вход регистра сдвига, Å – операция сложения по модулю два.
Учитывая свойства операции сложения по модулю два, уравнение (4.3) можно преобразовать в следующее соотношение:
X 0 = dC XC Å dC -1 XC-1 Å… Å d 1 X 1, (4.4)
определяющее сумму, которая в каждом такте работы записывается из КС в первый элемент регистра сдвига (РС). Выходные сигналы X 1, X2,…, XC триггерных элементов Т1, Т2, …, ТС регистра сдвига представляют собой периодические двоичные последовательности символов a 1, a 2,…, ai,…, aN, сдвинутых относительно друг друга на один элемент (ai принадлежит алфавиту (0,1)).
Выходной сигнал i-го триггерного элемента Xi можно выразить через последовательность на выходе (i – k)- го разряда при помощи оператора задержки следующим образом:
Xi = Xi - k Dk, (4.5)
где D – оператор задержки на один такт.
Используя (4.5), преобразуем рекуррентное соотношение (4.3) к виду:
Выражение, стоящее в скобках, представляет собой многочлен степени C относительно D (многочлен задержки). Как показывает анализ, работа формирователя двоичных последовательностей определяется характеристическим многочленом некоторой переменной x, сопряженным с многочленом задержки:
f (x)= xC Å d 1 xC -1 Å…Å dC -1 x Å dC.
Для того чтобы выходная последовательность имела максимально возможный период 
, характеристический многочлен должен быть неприводимым и примитивным. Значения коэффициентов характеристических многочленов ПМП до C =7 включительно даны в табл. 1 (где d 0 = dC =1).
Таблица 1.
| № | С | d 0 | d 1 | d 2 | d 3 | d 4 | d 5 | d 6 | d 7 |
Заметим, что любому набору коэффициентов di характеристического многочлена соответствует набор с инверсным расположением коэффициентов 
, причем
В качестве примера определим структуру формирователя ПМП, соответствующую многочлену, коэффициенты которого приведены в строке 6 табл.1. Для этого случая C = 5, d 0 = d 1 = d 2 = d 3 = d 5 = 1, d 4 = 0.
Многочлен задержки имеет вид D 5Å D 3Å D 2Å D Å1, а входной сигнал первого регистра сдвига определяется уравнением
X 0= X 5Å X 3Å X 2Å X 1.
Значения коэффициентов неприводимых примитивных многочленов для С >7 можно найти в работах, посвященных применению шумоподобных сигналов в системах связи.
Схема генератора ПМП приведена на рис.4.14.
Рис. 4.14.
Для получения М-последовательности в регистр сдвига необходимо записать начальный блок из С двоичных элементов (a 1, a 2,…, aC), который не может состоять из одних нулей (в противном случае все элементы генерирующей поверхности будут равны нулю). После подачи тактовых импульсов на выходе формирователя образуется двоичная последовательность, первые С элементов которой являются элементами начального блока. Элементы aC -1,…, aN получаются в результате выполнения операции суммирования С предыдущих элементов последовательности в соответствии с рекуррентным соотношением (4.4) на каждом последующем такте работы РС. Поэтому для элемента ai можно записать
a i= d 1 ai -1 Å d 2 ai -2 Å…Å dC ai - C
или в более компактной форме
(4.6)
где символ åÅ означает суммирование по модулю два.
При расчете корреляционных функций сигналов и ПМП удобно перейти от двоичного алфавита {0,1} к алфавиту {+1,-1}. Тогда операция сложения по модулю два в алфавите {0,1}:
заменяется операцией умножения в алфавите {+1,-1}
а рекуррентное правило (4.6) получения элементов ПМП преобразуется к виду:
(4.7)
М-последовательности обладают рядом свойств, которые и определяют их хорошие корреляционные свойства. Приведем некоторые из них:
– число единиц в М-последовательности на единицу больше числа нулей;
– в М-последовательности содержатся все С-значные комбинации двоичных символов, кроме нулевой;
– сумма по модулю 2 элементов периода повторения М-последовательности с этой же последовательностью, но сдвинутой на любое число элементов, кроме числа, равного периоду, является М-последовательностью того же вида, но имеющей другой сдвиг;
– последовательность, полученная в результате суммирования М- последовательностей различных периодов, также периодична, причем ее период равен наименьшему кратному периодов суммируемых последовательностей;
– при заданном С число различных М-последовательностей Q, т.е. различных правил кодообразования, определяется выражением:
где φ(x) – функция Эйлера, которая определяет количество чисел, включая единицу, меньших x и взаимно простых с x.
Соотношение для вычисления корреляционной функции комплексной огибающей радиосигнала, манипулированного по фазе на два уровня (0, p) в соответствии с ПМП, можно получить из общего выражения для функции неопределенности (3.6), положив f = 0. Если элементарные сигналы, соответствующие одному символу ПМП, имеют прямоугольную огибающую, то нормированная КФ видеосигнала, манипулированного ПМП, определится следующим выражением:
где r (k) – нормированная дискретная корреляционная функция М-последовательности,
k – дискретный временной сдвиг, равный целому числу элементов, на которое сдвинуты кодирующие М- последовательности, k = 0, 1, 2…..
tu – длительность элементарного сигнала.
Рассмотрим корреляционные функции кодирующих ПМП, используемые на практике:
а) Корреляционная функция непрерывной периодической последовательности вычисляется по формуле:
Как видно, нормированная корреляционная функция имеет основной выброс, равный 1, и боковые выбросы, относительный уровень которых равен 1/ N (рис.4.15). С ростом N корреляционная функция таких сигналов приближается к идеальной, когда боковые выбросы по сравнению с основными становятся пренебрежительно малыми.
Рис.4.15.
б) Корреляционная функция единичной сигнальной посылки, кодированной периодом ПМП из N элементов:
В этом случае корреляционная функция будет иметь наибольшие боковые выбросы, равные примерно 
, что вытекает из псевдослучайного характера последовательности, в которой содержится приблизительно одинаковое число элементов +1 и –1 (рис.4.16).
Рис.4.16.
Однако можно найти такие М-последовательности, у которых будет более удачное сочетание разнополярных символов, в результате чего уровень наибольших боковых выбросов может быть меньше 1/ N.
в) Корреляционная функция пачки сигнальных посылок, кодированных периодом ПМП из N элементов или усеченным периодом из P элементов (1 ≤ P ≤ N). Число сигнальных посылок Т = 2 Р элементов. Структура такого сигнала показана на рис.4.17.
Рис. 4.17.
Значения корреляционной функции вычисляются по формуле:
(4.8)
где индексы элементов в скобках a (i) = ai, n – дискретный сдвиг последовательностей, равный целому числу периодов повторения Т сигнальных посылок (0 ≤ n ≤ N –1), m – дискретный сдвиг последовательностей, равный числу элементов, на которое сдвинуты сигналы внутри периода, – (P –1) ≤ m ≤ (P –1), значок mod N – суммирование по модулю N, q – циклический сдвиг (сдвиг на q элементов вправо или влево) кодирующей последовательности в каждой последующей сигнальной посылке пачки 0 ≤ q ≤ N –1. Пределы суммирования определяются следующими соотношениями: b 1 = 0, b 2 = N –1 – n, b 3 = max(0, – m), b 4 = min(P –1, P –1– m).
Заметим, что при q = 0 все сигнальные посылки пачки кодируются одним и тем же периодом ПМП. Для q = 1 все сигнальные посылки пачки кодируются ПМП, сдвинутыми относительно друг друга на один элемент. Как показывают расчеты, уровень боковых выбросов корреляционной функции на интервале задержек – N ≤ k ≤ N не превышает значения 1/ N, которое характерно для боковых выбросов непрерывной ПМП.
