Следствие 2. Если события А и В несовместны, то тАВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: Р (А + В) = р (А) + р (В).
Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать 
.
Замечание. Таким образом, заключается в том, что событие А не произошло.
Теорема умножения вероятностей. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события.
Назовем условной вероятностью р (В/А) события В вероятность события В при условии, что событие А произошло.
Замечание. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда осуществление события А изменяет вероятность события В.
(теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:
р (АВ) = р (А) · р (В/А). (2.6)
Доказательство.
Воспользуемся обозначениями теоремы 2.1. Тогда для вычисления р (В/А) множеством возможных исходов нужно считать тА (так как А произошло), а множеством благоприятных исходов – те, при которых произошли и А, и В (тАВ). Следовательно,
откуда следует утверждение теоремы.
Следствие. Если подобным образом вычислить вероятность события ВА, совпадающего с событием АВ, то получим, что р (ВА) = р (В) · р (А/В). Следовательно,
р (А) · р (В/А) = р (В) · р (А/В). (2.7)
Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В, то есть р (В/А) = р (В).
Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Действительно, из (2.7) следует при этом, что р (А) · р (В) = р (В) · р (А/В), откуда р (А/В) = р (А). Значит, свойство независимости событий взаимно.
Теорема умножения для независимых событий имеет вид:
р (АВ) = р (А) · р (В),
то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероят-ностей.
При решении задач теоремы сложения и умножения обычно применяются вместе.
Вероятность появления хотя бы одного события.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий
А 1, А 2,…, Ап равна р (А) = 1 – q 1 q 2… qn, (2.9)
где qi – вероятность события 
, противоположного событию Аi.
Доказательство.
Если событие А заключается в появлении хотя бы одного события из А 1, А 2,…, Ап, то события А и 
противоположны, поэтому по теореме 2.2 сумма их вероятностей равна 1. Кроме того, поскольку А 1, А 2,…, Ап независимы, то независимы и 
, следовательно, р () = 
. Отсюда следует справедливость формулы (2.9).
