На фиг. 547 изображен элемент, вырезанный из толщи стенки толстостенного сферического сосуда; внутренний радиус этого элемента равен r, а наружный 
; напряжения, действующие на этот элемент, изображены на чертеже.
Рис.6. фрагмент сферического толстостенного сосуда.
Составляя уравнения равновесия и совместности, получаем для 
и 
значения:
Постоянные А и В могут быть определены из условий на внутренней и внешней поверхностях сосуда при
и 
соответственно, где 
и 
— наружный и внутренний радиусы.
Так, при действии внешнего 
и внутреннего 
давлений А и В определяются из условий:
на внутренней поверхности,
на внешней поверхности
Отсюда
Тогда
Лекция № 40. Расчет тонкостенных сосудов и резервуаров.
Если толщина стенок цилиндра 
мала по сравнению с радиусами и , то известное выражение для тангенцальных напряжений приобретает вид
т. е. величину, определенную нами раньше (§ 34).
Для тонкостенных резервуаров, имеющих форму поверхностей вращения и находящихся под внутренним давлением р, распределенным симметрично относительно оси вращения, можно вывести общую формулу для вычисления напряжений.
Выделим (Рис.1) из рассматриваемого резервуара элемент двумя смежными меридиональными сечениями и двумя сечениями, нормальными к меридиану.
Рис.1. Фрагмент тонкостенного резервуара и его напряженное состояние.
Размеры элемента по меридиану и по перпендикулярному к нему направлению обозначим соответственно 
и 
, радиусы кривизны меридиана и перпендикулярного к нему сечения обозначим 
и 
, толщину стенки назовем t.
По симметрии по граням выделенного элемента будут действовать только нормальные напряжения 
в меридиальном направления и в направлении, перпендикулярном к меридиану. Соответствующие усилия, приложенные к граням элемента, будут 
и 
. Так как тонкая оболочка сопротивляется только растяжению, подобно гибкой нити, то эти усилия будут направлены по касательной к меридиану и к сечению, нормальному к меридиану.
Усилия 
(Рис.2) дадут в нормальном к поверхности элемента направлении равнодействующую ab, равную
Рис.2. Равновесие элемента тонкостенного резервуара
Подобным же образом усилия дадут в том же направлении равнодействующую 
Сумма этих усилий уравновешивает нормальное давление, приложенное к элементу
Отсюда
Это основное уравнение, связывающее напряжения и для тонкостенных сосудов вращения, дано Лапласом.
Так как мы задались распределением (равномерным) напряжений по толщине стенки, то задача статически определима; второе уравнение равновесия получится, если мы рассмотрим равновесие нижней, отрезанной каким-либо параллельным кругом, части резервуара.
Рассмотрим случай гидростатической нагрузки (рис.3). Меридиональную кривую отнесем к осям х и у с началом координат в вершине кривой. Сечение проведем на уровне у от точки О. Радиус соответствующего параллельного круга будет х.
Рис.3. Равновесие нижнего фрагмента тонкостенного резервуара.
Каждая пара усилий , действующих на диаметрально противоположные элементы проведенного сечения, дает вертикальную равнодействующую bс, равную
сумма этих усилий, действующих по всей окружности проведенного сечения, будет равна 
; она будет уравновешивать давление жидкости 
на этом уровне плюс вес жидкости в отрезанной части сосуда 
.
Отсюда
Зная уравнение меридиональной кривой, можно найти 
, х и для каждого значения у, и стало быть, найти , а из уравнения Лапласа и
Например, для конического резервуара с углом при вершине 
, наполненного жидкостью с объемным весом у на высоту h, будем иметь:
тогда
Для сферического сосуда радиусом 
, находящегося под внутренним давлением 
, по симметрии 
; тогда из уравнения (Лапласа), так как
и 
Если меридиональная кривая будет иметь переломы с разрывом непрерывности угла , то равновесие тонкой оболочки у места перелома может быть обеспечено лишь наличием реакций, приложенных к оболочке по окружности в этом месте. Появление таких реакций обеспечивается устройством специальных колец, способных брать на себя усилия, возникающие в них в связи с неуравновешенностью напряжений по обе стороны точки перелома.
Лекция № 41. Расчет быстровращающегося диска
Значительный интерес представляет задача о напряжениях и деформациях в быстро вращающихся валах и дисках. Высокие скорости вращения валов паровых турбин обусловливают появление в валах и дисках значительных центробежных усилий. Вызванные ими напряжения распределяются симметрично относительно оси вращения диска.
Рассмотрим наиболее простую задачу о расчете диска постоянной толщины. Расчет такого диска положен в основу некоторых приближенных способов расчета дисков любого профиля. Воспользуемся некоторыми результатами, полученными при выводе формул для расчета толстостенных цилиндров. Предположим, что по толщине диска, принимаемой равной единице, напряжения и не меняются; осевое напряжение 
будем считать равным нулю.
Составим условия равновесия элемента АВ, выделенного из диска двумя меридиональными сечениями и двумя концентрическими цилиндрическими поверхностями (фиг. 586). В данном случае, кроме сил, действующих по граням элемента АВ, необходимо принять во внимание также и силу инерции
Рис.1. Расчетная схема вращающегося диска.
направленную вдоль радиуса от центра к внешнему контуру диска. Вместо ранее полученного уравнения равновесия получим:
| (1) |
Уравнение условий совместности деформаций также остаются в силе и для данной задачи, т. е.
| (1) |
Подставляя в это уравнение значение разности 
из (35.4), находим:
| (2) |
Дифференцируя уравнение (1) по r и подставляя в него вместо 
его значение из формулы (2), получаем линейное дифференциальное уравнение
или
Интегрируя это уравнение, находим:
| (4) |
Из (1) и (4) следует, что
| (5) |
В формулах (4) и (5) А и В — постоянные интегрирования, которые должны быть определены из условий на контуре диска. При определении постоянных рассмотрим два случая: 1) диск с отверстием в центре и 2) сплошной диск. При этом вначале предположим, что края диска свободны от внешних усилий.
Для диска с центральным отверстием напряжение должно быть равно нулю как при , так и при 
(рис.1). Эти условия на контуре при подстановке их в формулу (4) приводят к уравнениям:
и
откуда
и 
Подставляя значения А и В в формулы (35.7) и (35.8), получаем:
Полагая для краткости можем написать:
и 
можем написать:
Замечаем, что напряжение обращается в нуль при 
и 
, т. е. на внутреннем и наружном контурах диска; при значениях 
между 1 и 
напряжение положительно и, как нетрудно убедиться, достигает наибольшей величины при 
При этом
| (6) |
Напряжение при всех значениях также положительно и наибольшей величины достигает у внутреннего края диска, где :
| (7) |
Сравнивая выражения (6) и (7), убеждаемся, что 
всегда больше 
Поэтому при проверке прочности диска как по теории наибольших касательных напряжений, так и по энергетической теории условие прочности должно быть написано в таком виде:
