Развитие логики в древней Греции до Аристотеля 8 страница

Фреге Г. Смысл и денотат//Семиотика и информатика. Вып. 8. М., 1977.

Порецкий П. С. О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики// Собр. протоколов заседаний секции физ. Мат. наук при Казанск. ун-те. Т.2. Казань, 1884.

 

Исследования

 

Бирюков Б.В. Крушение метафизической концепции универсальности щегной области в логике. М., 1963.

Лоуз1Дж. Псгарычныя уводетны у фшасофно навую. Мн., 1995.

Попов П.С. История логики Нового времени. М., 1960.

Стяжкин Н.И. Становление математической логики. М., 1967.

 

 

Интуиционистская (конструктивная) логика: первый вариант неклассической логики

 

Меры, предпринятые Расселом, были первой реакцией на трудности, обнаруженные в основаниях математики. Поскольку эти меры не всем исследователям показались удовлетворительными, начались усилинные поиски новых обоснований. Решительный шаг сделал пский математик и логик Лейтзен Эгберт Ян Брауэр (1881- 1966), который в программе, объявленной в 1907 году, высказал намерение основательной и радикальной перестройки математики. При этом отверг как тезис логицистов о сведении математики к логике, так и формалистическую трактовку математики исключительно как языка математических символов.

Главные пункты программы Брауэра можно представить следующим образом.

1. Интеллект есть единственный источник, из которого рождается математика. Она есть продукт свободного творчества, независима от материального мира и опыта. С ее помощью человек вносит порядок в окружающий его мир и подчиняет его, в том числе и людей, своей воле.

2. Способность к счету натуральных чисел возникает благодаря ощущению времени, точнее, изначально данной сознанию возмож­ности различения двух последовательных моментов времени как двух разных моментов. В связи с этим натуральные числа являются чем-то первичным, непосредственно данным глубинной человече­ской интуицией. (Поэтому математика школы Брауэра впоследствии названа интуиционистской математикой, а логика, принятая в этой математике, - интуиционистской логикой. Правда, на вопрос, что есть интуиция, Брауэр, к сожалению, ясного и доступного ответа не дает.) При своем построении математика должна опираться на изна­чальную интуицию ряда натуральных чисел и принцип математиче­ской индукции, истолковываемый как требование действовать по­следовательно, шаг за шагом. При этом допускаются лишь конструк­тивные обоснования существования предметов, указывающие спосо­бы их построения. Неинтуитивность этих предметов есть источник антиномий в математике.

3. Прежняя, доинтуиционистская (впоследствии названная клас­сической) логика не есть нечто первоначальное, как ошибочно пола­гают логицисты. Она сложилась на основе оперирования с конечны­ми множествами и безосновательно экстраполирована на действия с множествами бесконечными. В сфере бесконечных множеств многие принципы классической логики теряют свою силу. В частности, здесь не всегда применим закон исключенного третьего (два отри­цающих друг друга высказывания не могут быть одновременно лож­ными, одно из них необходимо истинно). Возьмем, например, выска­зывание "В десятичном представлении числа π либо имеется девять нулей подряд, либо не имеется". Оно подпадает под схему закона исключенного третьего - a v a и с точки зрения прежней логики должно быть признано истинным. Но с точки зрения Брауэра это вы­сказывание будет истинным лишь в том случае, если есть способ проверить, какое из высказываний - а или а - является верным. В данном же случае этого проверить нельзя: вычисляя значение π со все большей точностью, мы можем в конце концов добраться до "па­кета" из девяти нулей - и тогда подтвердится первая альтернатива (что и будет означать истинность нашего высказывания); но может случиться, что процесс вычисления будет продолжаться неограни­ченно долго, но это вовсе не будет означать справедливости второй альтернативы. Таким образом, вопрос об истинности данного выска­зывания останется открытым. А это означает, по Брауэру, что закон исключенного третьего принимать нельзя.

Вслед за этим нельзя принимать и закон снятия двойного отри­цания —a→a. Например, если предположение, что среди эле­ментов некоторого бесконечного множества не существует объекта a с определенными свойствами, ведет к абсурду и поэтому отвергается, то отсюда нельзя выводить, что объект а с этими свойствами суще­ствует.

Неправомерным оказывается и способ рассуждения "от против­ного", связанный с применением закона исключенного третьего. На основе рассуждения "от противного" нет оснований утверждать о наличии возможности построения нужного объекта.

4. Поскольку закон исключенного третьего, примененный к бесконечным множествам, в общем случае не гарантирует правильности рассуждения, единственным способом доказательства существования математических объектов является, согласно интуиционистской установке, их фактическое построение: из ложности а не следует ис­тинность а, последнее будет истинным, если его удастся построить или хотя бы указать способ его построения.

В отличие от классической логики, где центральную роль играет понятие истинности и через которые определяются логические союзы, позволяющие строить сложные высказывания, в интуиционистской логике смысл союзов задается путем указания необходимых и достаточных условий, обеспечивающих утверждение сложных высказываний. Утверждать же их можно только после проведения некоторого математического построения. Например, если р и q - некоторые высказывания, то их конъюнкцию можно утверждать, если и только если можно утверждать как р, так и q. Дизъюнкцию можно утверждать, если и только если можно утверждать хотя бы одно из высказываний р и q. Импликацию можно утверждать, если и только имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически дает построение q. Отрицание р можно утверждать, если и только если имеется построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение р выполнено.

Интуиционистское понимание логических союзов таково, что из доказательства истинности высказывания всегда можно извлечь способ построения предметов, существование которых утверждается.

Среди ученых, прежде всего математиков, программа Брауэра вызвало разное отношение. Большинство из них выступило против нее с резкими возражениями. Самым авторитетным оппонентом интуиционизма стал великий немецкий математик Давид Гильберт. Он ученики и его ученики направили свои усилия на то, чтобы оправдать лежащее в основе "чистых" доказательств существования применение закона исключенного третьего к утверждениям о бесконечных множествах или, что сводится к тому же, применение абстракции актуальной бесконечности, доказав, что такое применение никогда не при­ведет к нелепости, например, к выводу, что 1=0. Эти попытки раз и навсегда обосновать математику, доказав ее непротиворечивость, не увенчались успехом. Тем не менее, полного отказа от классического подхода в математике и логике не произошло. Классическая (т.е. свободно пользующаяся абстракцией актуальной бесконечности) теория множеств играет настолько большую и плодотворную роль в современной математике, что большинство математиков и математи­ческих логиков до сих пор пользуются ею. Предпринимаемые чаще всего представителями математической логики попытки оправдать правомерность такого поведения состоят в создании аксиоматиче­ских теорий множеств, где известные противоречия (антиномии), обнаруженные в этой науке, заведомо не возникают.

Однако у Брауэра оказалось много сторонников. Наиболее из­вестные среди них - Герман Вейль и Аренд Гейтинг. Последний в 1930 г. построил формальную систему интуиционистской логики (охватывает логику предикатов).

Свое дальнейшее развитие многие идеи интуиционистской ло­гики и математики, в частности те, которые касаются ограниченной применимости законов исключенного третьего, удаления двойного отрицания, способа рассуждения "от противного" и др., получили в Советском Союзе в трудах А.А. Маркова (1903-1979), В.И. Гливенко (1897-1940), А.Н. Колмогорова (1903-1987), Н.А. Шанина (р. 1919) и др. В результате критического осмысления основных прин­ципов интуиционистской логики возникла конструктивная логика, где также считается неправильным перенос ряда логических принци­пов, справедливых для рассуждений о конечных множествах, на об­ласть бесконечных множеств. Многие конструктивисты отказались от представления об изначальной интуиции и использовали при за­дании смысла логических операций понятие алгоритма - конечного набора правил, позволяющих чисто механически решать любую кон­кретную задачу из некоторого класса однотипных задач. Теория ал­горитмов - существенный раздел современной логики.

В рамках конструктивизма А.Н.Колмогоров в 1932 году дал своеобразную интерпретацию формальной интуиционистской систе­мы. Пропозициональные переменные он истолковал как высказыва­ния о том, что некоторая задача имеет решение. Такие высказывания он предложил считать доказуемыми, если указывается (приводится) метод решения задач. Конъюнкция двух высказываний будет дока­зуемой, если указывается метод решения обеих задач, дизъюнкция - если указывается метод решения хотя бы одной задачи, импликация - если указывается метод сведения решения второй задачи к реше­нию первой. Отрицание высказывания будет доказуемым, когда указыва­ется доказательство того, что задача не имеет решения. Если некото­рая задача зависит от индивидной переменной, то высказывание об этой задаче вида VxA(x) будет доказуемым, если указывается метод, решения задачи для любого х, а чтобы было доказуемым высказыва­ние вида ЗхА(х), необходимо указать конкретное х, и метод решения задачи для этого х.

Иные интерпретации интуиционистской формальной системы предложены А.Гейтингом, К.Гёделем, С.Клини и др.

Возникновение интуиционистского (конструктивного) направ­ления в математике и логике явилось поворотным событием в науке. Иногда ему приписывают не меньшее значение, чем создание неевк-.-видовых геометрий для развития геометрии[83].

Появление и становление интуиционистского (конструктивного) направления в логике имело серьезные философско-мировоззренческие последствия. Оно предвещало осознание того, что поскольку каждая область деятельности обладает своими проблемами, своим конкретным материалом, своими процедурами деятельности и целям, постольку возможна не одна, а множество логик. Дальнейшее развитие логики подтвердило этот тезис.

 

 

Литература

 

Источники

 

Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965.

Марков А.А. О логике конструктивной математики. М., 1972.

Шанин Н.Л. Вступительная статья // Гудстейн P.Л. Рекурсивный математический анализ. М., 1970.

Исследования

 

Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике. М., 1965.

В.Беляев Е.А, Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. М., 1981.

Бирюков Б.В., Тростников В Н. Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики. М., 1977.

Кедровский О.И. Методологические проблемы развития математического познания. К., 1977.

Тростников В Н. Конструктивные процессы в математике. М., 1975.

Уемов А.И. Онтологические предпосылки логики // Вопр. философии.1969.№1.

Яновская С.А. Математическая логика и основания математики // Математика в СССР за 40 лет (1917-1957). М., 1958. Т.1.

 

 

"Воображаемая " логика Н.А. Васильева

 

Интуиционистская критика классической логики сыграла суще­ственную роль в возникновении многозначной логики. Аргументы и результаты интуиционистов расшатали представления о классиче­ской логике как единственно мыслимом и единственно возможном варианте логики вообще. К тому же трудности, в чем-то подобные тем, на устранение которых направляли свои усилия интуиционисты, обнаружились и в других сферах науки. Так, оставаясь в рамках классического принципа двузначности, согласно которому каждое высказывание либо истинно, либо ложно, логики сталкивались с проблемами истинностной оценки высказываний о переходных со­стояниях, модальных высказываний, высказываний, в которых не указано время или место события, и т.д. Поэтому в логике начались активные поиски способов устранения такого рода затруднений на путях отказа от принципа двузначности. Так возник ряд многознач­ных логик, в которых высказываниям приписывается любое конеч­ное (большее, чем 2) или даже бесконечное множество истинностных значений.

Начиная с 1910 года, независимо от Брауэра идею о неунивер­сальном характере аристотелевой логики развивал русский логик, профессор Казанского университета Николай Александрович Ва­сильев (1880-1940). Он высказал ряд соображений, предвосхитив­ших некоторые положения конструктивной логики, а также других логических систем.

Логические взгляды Н.А.Васильева развивались в русле идеоло­гии психологизма, рассматривавшей логику как часть психологии или тесно связанную с психологией. Психологизм призывал зани­маться исследованием "реального" мышления, а не последствиями нормативного характера логических законов и соответствующих им принудительных мыслительных конструкций. И хотя достижения сторонников этого направления к началу XX в. были весьма скром­ными и не столь впечатляющими, как у представителей "логистики", в рамках психологизма вызрела оригинальная идея неаристотелевой логики. Одним из первых, кто попытался оформить эту идею, был Н.А. Васильев.

Создавая свою "воображаемую" логику, Н.А.Васильев полагал, что она приспособляется для особого, "воображаемого" мира, орга­низация которого отлична от нашего, земного мира, а, следователь­но, отлична и психическая организация существ, живущих в "том" мире. "Мы должны мыслить иные логические законы, если мы толь­ко представим себе мир с другими естественными законами мышле­ния, представим себе существо с другой интеллектуальной организа­цией"[84], - писал Н.А.Васильев.

Центральной идеей всей концепции Н.А.Васильева является вы­деление в логике двух слоев. Один слой относится к познающему субъекту - это законы суждения и вывода вообще. Они принадлежат - в терминологии Н.А.Васильева - металогике. К ее принципам прежде всего относятся закон несамопротиворечия ("одно и то же суждение не может быть одновременно истинным и ложным"), закон исключенного третьего ("всякое суждение или истинно, или ложно"), (закон тождества ("значение суждения, т.е. его истинность или ложность остается тождественным самому себе"). Законы металогики составляют минимум логического. Это та ее часть, которая связана с мышлением и необходима для любого мышления и которая не может исключена из логики без лишения ее логического характера.

Второй слой - это онтологический базис логики, т.е. изменяющаяся часть законов, которая является функцией свойств объективного мира. Эти законы могут варьироваться и отбрасываться. Для разных систем объектов, для разных, как говорит Н.А.Васильев, миров могут быть значимыми различные логические законы. Одну систему объектов следует мыслить согласно одной логике, другую - согласно другой. Таким образом, замечает Н.А.Васильев, "логики относительны, металогика абсолютна"[85].

Обычная аристотелевская логика с ее законами противоречия и исключенного третьего также имеет два названных уровня. Если закон несамопротиворечия, согласно Васильеву, обращается к познающему субъекту, и этим законом запрещаются противоречия в рассуждениях, то "напротив того, закон противоречия обращается к миру, к объектам и говорит, что в них не могут осуществляться противоречия, что ни в одной вещи не могут быть соединены противоречащие предикаты. Этот закон изгоняет противоречия из мира, как первый изгоняет его из субъекта"[86]. Отказаться от законов металогики, согласно Васильеву, нельзя, не нарушив минимум логического. Но мы можем отбросить или модифицировать законы, относящиеся к вещам. Если бы законы металогики сохранились (в том числе и закон несамопротиворечия), а "закон противоречия потерял бы свою власть, разве мы отказались бы называть такое мышление логическим? Предположите мир осуществленного противоречия, где противоречия формулировались бы познающим субъектом в суждениях, где противоречия выводились бы, разве такое познание не было бы логическим? Разве не логическим было мышление Гегеля, его великая диалектика противоречий?.. Мы можем, значит, мыслить другие миры, чем наш, в которых некоторые логические законы будут иными, чем в нашей логике"^[87].

Если отбросить закон противоречия, то наряду с утвердитель­ными и отрицательными по качеству суждениями становится воз­можным ввести еще один, отличный от упомянутых, вид суждения, который Васильев назвал индифферентным (неопределенным). Для логики, которая оперировала бы тремя видами суждений, нужен уже не закон исключенного третьего, а закон исключенного четвертого. В том случае, если представить себе выполнимость еще какого-нибудь варианта отношения между субъектом и предикатом суждения, то можно получить логику с четырьмя качественно различными видами суждений, а в этой логике будет иметь силу уже закон исключенного пятого. Таким образом, делал заключение Васильев, возможны логи­ки двух, трех, четырех и т.д. измерений, как, впрочем, вполне мыс­лима и логика с одними лишь утвердительными суждениями.

Идеи Н.А.Васильева о возможности построения неаристотеле­вых логик, логик без закона исключенного третьего и без закона про­тиворечия, не потеряли своего значения и в настоящее время. Поиски при построении и исследовании разнообразных систем паранепротиворечивых логик во многом восходят к идеям этого замечательного ученого. Оценивая результаты его исследований, видный представи­тель паранепротиворечивой логики, аргентинский ученый А.Арруда писал: "Васильев является предшественником логик, конструируе­мых для изучения нетривиально противоречивых теорий, так как главной характеристикой этих логик является вообще незаконность закона противоречия. Кроме того, мы можем видеть, что Васильев является более предшественником таких логик, чем многозначных, так как мы можем построить много вариантов пропозиционального исчисления, которые могут быть названы васильевскими и которые не являются многозначными"^[88].

 

Литература

Источники

 

Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. М.,1989.

 

Исследования

Аносова В.В. Паранепротиворечивые логики и логические идеи А.Васильева // Философские идеи модальной и интенсиональной логики.,1982.

Арруда А. Воображаемая логика Н.А.Васильева // Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. М.1989.

БажановВА. Николай Александрович Васильев (1880-1940). М., 1988.

Копнин П.В. О логических воззрениях Н.А.Васильева // Котин П.В. Диалектика, логика, наука. М., 1973.

Смирнов В.А. Логические идеи Н.А Васильева и современная логика // Васильев Н.А.. Воображаемая логика. Избранные труды. М.,1989.

 

 

Системы многозначной логики

 

 

Видимо, А. Арруда был прав, высказывая следующую мысль: Возможно, благодаря тому факту, что идеи Васильева были настолько передовыми для его времени или потому, что наиболее важные из его статей были опубликованы только в России, его работа прошла почти незамеченной до 1962 года"[89]. Поэтому исторически первой системой многозначной логики долгое время считалось трехзначное исчисление высказываний польского логика Я. Лукасевича (1878-1956), предложенное в 1920 году. Ее происхождение связано с обсуждением вопроса о природе детерминизма.

Лукасевич выступил с критикой концепции детерминизма в его лапласовском представлении, согласно которому все сущее в этом мире жестко детерминировано, каждое будущее состояние мира с необходимостью предопределено его прошлыми или нынешнеми состояниями. В то же время, согласно точке зрения Лукасевича, так понимаемый принцип детерминизма не тождествен принципу причинности и не вытекает из него. Принимая принцип причинности, можно и не быть приверженцем лапласовского детерминизма, можно стать как полагает Лукасевич, на индетерминистскую позицию, согласно которой будущие события с необходимостью не предопределяются прошлыми или нынешними состояниями мира. Будущие события могут иметь свои собственные причины, отсутствующие в настоящее время. Поэтому некоторое высказывание о будущем событии может иметь одно из трех логических значений: 1,1/2, 0. Если в данный момент времени существует причина будущего события, то высказыванию о том, что данное событие произойдет, приписывает­ся значение 1. Если в данный момент времени существуют причины, исключающие наступление будущего события, то соответствующему высказыванию приписывается значение 0. Если же в данный момент отсутствует причина будущего события, как и отсутствует причина, исключающая его наступление, то соответствующему высказыванию приписывается значение 1/2.

Функторы отрицания, конъюнкции, слабой дизъюнкции и им­пликации трехзначной логики, для которых Лукасевич использует символы N,K,A и С, характеризуются следующим образом:

а	Na
1/2	1/2

 

К		1/2
1/2		1/2	1/2
		1/2

 

А		1/2
		1/2
1/2	1/2	1/2

 

С		1/2 1
		1 1
1/2	1/2	1 1
		1/2 1

В левых столбцах таблиц конъюнкции, слабой дизъюнкции и импликации, которые являются двухаргументными функторами, придаются логические значения первому аргументу, в верхней стро­ке - второму. На пересечении же соответствующего столбца и строки получаются логические значения сложного выражения, образованно­го с помощью данного функтора.

С помощью трехзначной логики Лукасевича можно выразить модальные функторы с пропозициональными аргументами: функтор возможности "М" и функтор необходимости "L". Выражение Ма читается: "возможно, что а", а выражение La- "необходимо, что а". Эти функторы характеризуются соответственно таблицами:

а	Ма
1/2

 

а	La
1/2

Если принять во внимание высказывания о будущих событиях, I соответствии с этими таблицами высказывание вида Ма прини- •т значение 1 тогда и только тогда, когда в данный момент време- не существует причины, исключающей событие, описываемое зыванием а, а высказывание La принимает значение 1 тогда и "0 тогда, когда в данный момент времени существует причина

и, описываемого высказыванием а. {функтор возможности можно определить с помощью трехзнач- /функторов импликации и отрицания следующим образом:

м	а	=Df	С	N	а	а
	1/2			1/2	1/2	1/2

Если р принимает значение 1/2, то Ма и MNa принимают, в соответствии с данными таблицами, логическое значение 1. Например, данный момент времени нет причины для моей поездки в Москву на следующей неделе, как и нет причины, исключающей эту поездку, то истинным является как высказывание "Возможно, что я поеду на следующей неделе в Москву", так и высказывание "Возможно, что я не поеду на следующей неделе в Москву". Как видим, здесь применима трехзначная логика, в то время как в двузначной (классической) логике данные функторы возможности и необходимости невыразимы.

Законы трехзначной логики Лукасевича являются те и только те выражения, которые при любой подстановке вместо пропозициональных переменных их логических значений принимают значение 1.

Не все законы классической логики являются одновременно законами трехзначной логики Лукасевича. Например, известные уже Аристотелю закон исключенного третьего (в символике Лукасевича АаNa) и закон противоречия (NKaNa) в логике Лукасевича законами не являются: если а принимает значение 1/2, то и выражения A aNа и NKaNа также принимают значение 1/2.

Трехзначную логику Лукасевича можно рассматривать как обобщение классической логики в следующем смысле: если исклю­чить значение 1/2, то мы получим обычную классическую логику.

Независимо от Лукасевича систему многозначной логики в 1921 году предложил американский логик Эмиль Пост. В отличие от Лу­касевича, он при разработке своей системы исходил из чисто фор­мальных соображений: он просто допустил, что число логических значений высказываний может быть большим, чем 2, и исследовал вытекающие из этого последствия для логики высказываний.

После работ Лукасевича и Поста развитие многозначной логики шло в двух направлениях: во-первых, по линии разработки систем (в том числе аксиоматизированных) многозначной логики, изучения свойств таких систем и отношений между ними, создания их общей теории; во-вторых, по пути приспособления этих систем к решению научных и практических задач. Например, обнаружилась связь ин­туиционистской логики и многозначной. Гейтинг в трехзначной ло­гике нашел обоснование для ограничения классической логики: в его трехзначной логике не являются законами те формулы, которые не­доказуемы в интуиционистском исчислении высказываний. Гёдель показал, что невозможно построить многозначную логику с конеч­ным числом значений истинности, которая была бы эквивалентна интуиционистскому пропозициональному исчислению; такой может быть только бесконечнозначная логика. Не случайно интуиционист­ская логика сыграла большую роль в стимулировании исследований в области многозначной логики.

 

Литература

Источники

 

Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении // Математический сборник. 1938. Т. 4 (46). № 2.

Зиновьев А.А. Очерк многозначной логики // Проблемы логики и теории познания. М., 1968.

Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современ­ной формальной логики. М., 1959.

Неклассическая логика. М., 1970.

 

Исследования

 

Неклассическая логика. М., 1970.

Применение логики в науке и технике. М., 1960.

Яблонский СВ. О функциональной полноте в трехзначном исчислении // Доклады АН СССР.1954. Т.95. Вып. 6.

Яблонский С В. Функциональные, построения в к-значной логике // Труды математического института АН СССР. 1958. Т.51.

 

Релевантная логика

 

Американский логик Кларенс Ирвинг Льюис (1883-1964) первым обратил внимание на то, что при интерпретации классической пропозициональной логики со знаком материальной импликации (α→β) в качестве теории логического следования (что было сделано Расселом и Уайтхедом в "Principia Mathematica") возникают странные следствия, не соответствующие интуиции. В частности, при этом получается, что из ложного высказывания следует любое, (например, из α^α следует β), что истинное высказывание следует из любого (например, из β следует α vα). Такого рода следствия получили название парадоксов материальной импликации. Возникло стремление построитъ исчисления, в которых бы эти парадоксы не получались.

Появились логические системы самого К.Льюиса, В.Аккермана, А.Р. Андерсона, Н. Д. Белнапа, Е.К.Войшвилло и др.

Исторически первой попыткой решения поставленной проблемы являются исследования Льюиса, который построил пять логических систем, получивших название систем строгой импликации. Тот факт, что α строго имплицирует β (символически: α=> β), определяется с помощью модального понятия "возможно", которое принимается за первичное α=> β= DFM(α^β), где определяющая часть читается как «Невозможно то, что а и не – β». В системах Льюиса не являются доказуемыми формулы вида α => β такие, что в β имеется знак строгой импликации, а в α нет: среди аксиом такие формулы отсутствуют, а правила вывода не дают возможности их получить. Отсюда ясно, что формулы p=>(p=>q)и p=>(p=>q)B системах Льюиса не являются доказуемыми. Формулы вида α и β не рассматриваются как функции истинности α и β. Так что при интерпретации строгой импликации в качестве логического следования исключены последствия, подобные парадоксам материальной импликации.