Определение:
Множество – это любая совокупность объектов, которые называются его элементами.
Если х- элемент множества М, то обозначают: х 
М { х – принадлежит М}, если не принадлежит, то х ∉ М; Множество не содержащее элементов называется пустым и обозначается ∅
Множество, в котором содержатся все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом и обозначается –
Ư. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными и обозначаются А = В.
Если любой элемент множества В является элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А (частью множества А) и обозначается В ⊂ А; Отсюда следует, что любое множество является частью самого себя.
По определению пустое множество ∅ является подмножеством любого множества. Т.о. у любого множества А есть два подмножества:
А и ∅.
Они называются несобственными подмножествами множества А. Любое множество В множества А, которое не является несобственными подмножествами А, (т.е. они отличны от А и ∅) и называются собственными подмножествами подмножества А. Множество из одного элемента а обозначается {а}.
Пример: А = {1;2;3} тогда пустое множество ∅ и само множество А является несобственными подмножествами А.
Множества:{1},{2},{3},{1;2},{1;3},{2;3} называются собственными подмножествами множества А. Совокупность всех множеств А называется его булеаном и обозначается – 2А; В А, означает, что В 
А, В ≠ А. В этом случае говорят, что В строго включено в А или В является собственным подмножеством А;
В случае В ⊆ А, В = А говорят, что В нестрогое включение в А, т.е. В является несобственным подмножеством А. 
Основные логические символы
хР(х) – квантор общности (означает “для любого х выполняется
Р (х)”.)
хР(х) – квантор существования (означает “существует х, для которого выполняется Р (х)”.)
Р ⇒ Q – импликация (“из Р следует Q ”)
⟺ - эквивалентность (“тогда и только тогда”)
Р ∧ Q – конъюнкция (“Р и Q”)
Р ∨ Q – дизъюнкция (“Р или Q”)
Не Р или - отрицание Р
: = - символы присвоения (“положим”)
def – (“положим по определению”)
Используя эти символы можно записать:
1) (А = В) ⟺((
х ∈ А ⇒ х ∈ В) ∧ (
х ∈ В ⇒ х ∈ А)
2) (А ⊆ В) ⟺ ( х/х ∈А ⇒ х ∈ В)
3) (А = В) ⟺ (В ⊂ А ∧ А⊂ В)
∩
Задание множеств
Перечислением элементов: М: = { а1; а2; а3; …; аn }
или характеристическим свойством Р(х)
(предикатом): М: = { х | Р(х) }
Например:
1) В = { х ∈ N | х < 3} означает, что В= { 1; 2}
2) А ={ х ∈ N | х +1=5} означает, что А = {4}
3) В = { х ∈ N | х M5} или {5;10;15…}
т.е. { х | Р(х) }означает, что множество элементов х множества обладает свойством Р(х)
4) М = { х ∈ N | х 3< 5}={1;2;3;4;5;6;7}
Операции над множествами
Рассматриваются следующие операции над множествами:
10. Объединение множеств А и В.
U
А ∪ В = { х/х ∈ А или х ∈ В} – т.е. состоит из элементов, принадлежащих хотя б одному из множеств А или В.
20. Пересечение множеств А и В.
A∩B = {x/x ∈ A и x ∈ B} – т.е. состоят из элементов, принадлежащих одновременно А и В.
3º. Разность множеств А и В.
U
A/B = {x/x ∈ A и x ∉ B} – т.е. состоит из элементов А, не принадлежащих В.
4º. Симметрическая разность А и В (или кольцевая сумма А и В)
А Ө B = {x/x ∈ A и x ∉ B} ∪ {x/x ∈ В и x ∉ А} или {А\В ∪ В\А}
5º. Дополнение А до универсума
= U\A = {x|x ∈ Uux и x ∉ А}
Произведение множеств
Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар, в которой I элемент из множества А, II элемент – из множества В, т.е. А×В = {(а, в)/а Є А ̂в Є В}
Пример: А={2;5;7;9} и В ={2;4;7},
Тогда А×В = {(2,2); (2,4); (2,7); (5,2); (5,4); (5,7); (7,2); (7,4); (7,7); (9,2); (9,4); (9,7)}
А∩В={2,7}; А∪В={2,4,5,7,9}; А/В={5,9}; В/А={4}; А Ө В={4,5,9}
Элементы множества А×В называются точками; В паре (х, у) абсцисса – х и ордината – у точки, соответствующей этой паре.
Множество точек плоскости является прямым произведением вида R×R=R2, где R–множество действительных чисел.
R2 называется декартовым квадратом на R.
