Дифференциальные уравнения. 1. Равенство вида, содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные какого-либо порядка

1. Равенство вида , содержащее независимую переменную x, искомую функцию y = y (x) и ее производные какого-либо порядка, называется дифференциальным уравнением.

2. Натуральное число n, являющееся порядком старшей производной, называется порядком дифференциального уравнения.

3. Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида или в дифференциалах . Если эти равенства можно разрешить относительно производной, то их записывают в виде или .

4. Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = j(x), имеющая непрерывную производную на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.

5. Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка: требуется найти решение y = j(x) уравнения, удовлетворяющее начальному условию y = y ₀ при x = x ₀.

6. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = j(x; С), содержащая произвольную постоянную С и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях (x ₀; y ₀) уравнение y ₀ = j(x ₀; С) должно быть разрешимо относительно С так, что С = y(x ₀; y ₀); 2) при всех значениях постоянной С = y(x ₀; y ₀) функция y = j(x; y(x ₀; y ₀)) должна удовлетворять дифференциальному уравнению.

7. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированном значении постоянной С называется частным решением дифференциального уравнения.

8. Уравнение вида или называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Приводятся к виду или путем разделения переменных x и y и затем почленно интегрируются.

9. Уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением. Используется замена: или , где – новая неизвестная функция, тогда . Сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными относительно новой функции, для которого находят общее решение. Записывают общее решение исходного уравнения по формуле .

10. Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением. Используется метод Бернулли: , где , – новые неизвестные функции, тогда . Получаем: или . Подберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, тогда получаем Первое уравнение – ДУ с разделяющимися переменными, находим его частное решение при С = 0. Найденное частное решение подставляем во второе уравнение, являющееся тоже ДУ с разделяющимися переменными и находим его общее решение. Записываем общее решение исходного уравнения по формуле .

11. Уравнение вида , где называется дифференциальным уравнением Бернулли. Используется метод Бернулли: .

12. Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида . Если уравнение можно разрешить относительно , то его записывают в виде .

13. Решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = j(x), имеющая непрерывные производные , на некотором интервале (a; b) и обращающая уравнение в верное числовое равенство.

14. Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка: требуется найти решение y = j(x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = y ₀, при x = x ₀.

15. Общим решением дифференциального уравнения 2-го порядка называется функция y = j(x; С ₁; С ₂), содержащая две произвольные постоянные С ₁, С ₂ и удовлетворяющая условиям: 1) при любых начальных условиях система уравнений должна быть разрешима относительно постоянных С ₁, С ₂ так, что 2) при всех значениях этих постоянных С ₁, С ₂ функция y = j(x; C ₁; C ₂) обращает дифференциальное уравнение в верное числовое равенство.

16. Всякое решение, получаемое из общего при фиксированных значениях постоянных С ₁, С ₂ называется частным решением дифференциального уравнения.

17. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка:

а) решается повторным интегрированием.

б) , явно не содержащее искомой функции . Используется замена: , где – новая неизвестная функция, тогда . Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.

в) , явно не содержащее независимой переменной . Замена: , где , тогда . Для нового уравнения относительно функции p находим общее решение и подставляем его в формулу . Получаем ДУ с разделяющимися переменными относительно функции y, находим его общее решение.

18. Линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида . Составляется характеристическое уравнение .

Если , то и общее решение исходного уравнения имеет вид: .

Если , то и .

Если , то и .

19. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида называется уравнение вида . Его общее решение ищется в виде , где – общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: , а – какое-либо частное решение исходного уравнения.

Если , где a – некоторое число, P_n (x) – многочлен степени n, то , где – многочлен степени с неопределенными коэффициентами, – число, равное кратности a как корня характеристического уравнения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами .

Если , где a, b – некоторые числа, P_n (x), Q_m (x) – многочлены степени n и m соответственно, то , где – многочлены степени с неопределенными коэффициентами, , – число, равное кратности как корня характеристического уравнения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами .

20. Система дифференциальных уравнений вида

где , ,…, – неизвестные функции независимой переменной , называется нормальной системой.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно , ,…, , то система дифференциальных уравнений называется линейной.

21. а) Если дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

то эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения , где

; ; .

Решение системы ищем в виде , ,…, . Подставив значения , ,…, в систему дифференциальных уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно , ,…, :

Система должна иметь ненулевое решение, поэтому для определения получаем уравнение – й степени:

Пусть это характеристическое уравнение имеет различных корней , ,…, . Тогда система дифференциальных уравнений имеет решений:

1-е решение, соответствующее корню :

; ;…;

2-е решение, соответствующее корню :

; ;…; ;

…………………………………………………………………….

– е решение, соответствующее корню :

; ;…; .

Получена фундаментальная система решений. Общее решение системы имеет вид

Такой способ решения называется решением линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при помощи матриц (видоизмененный метод Эйлера).

б) Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению – го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).

Ряды

1. Пусть дана бесконечная последовательность чисел а ₁, а ₂, …, а_n. Числовым рядом называется сумма вида .

2. Если существует конечный предел частичной суммы , то соответствующий числовой ряд называется сходящимся и его сумма равна S. В противном случае числовой ряд называется расходящимся.

3. Основные свойства сходящихся числовых рядов:

а) Необходимый признак сходимости: если числовой ряд сходится, то .

б) Достаточное условие расходимости: если , то числовой ряд расходится.

в) Если все члены сходящегося числового ряда умножить или разделить на число , то получится сходящийся ряд .

г) Если два сходящихся числовых ряда и почленно сложить (или вычесть), то получатся сходящиеся ряды (или ).