Основы теории множеств Алгебра множеств.

Алгебра

Алгебра - множество (несущее множество, носитель алгебры) вместе с заданной на нем совокупностью операций (сигнатурой), т.е. система .

Алгебра множеств

Непустая совокупность подмножеств некоторого множества , замкнутая относительно теоретико-множественных операций (объединения, пересечения, разности, дополнения).

Бесконечное множество

Множество, которое содержит бесконечное число элементов.

Бинарная операция

Операция, заданная на некотором множестве, называется бинарной, если она действует на два элемента этого множества и её результатом является элемент этого же множества.

Булеан множества

Множество всех подмножеств множества , обозначаемое Â(А) (или ).

(То же, что и множество-степень).

Двойственные соотношения

Соотношения, одно из которых получается заменой в другом следующих символов: на и на , а также на и на . Соответствующие пары символов , и и называются двойственными (дуальными) символами.

Диаграммы Эйлера-Венна

Используются для наглядного представления отношений между подмножествами универсального множества .

Дизъюнктивная сумма

Множество, состоящее из всех элементов множества , не принадлежащих множеству , и всех элементов множества , не принадлежащих множеству , и не содержащее никаких других элементов.

(То же, что и симметрическая разность).

Дополнение (теоретико-множественная операция)

Множество называется дополнениеммножества , т.е. это множество элементов универсума, которые не принадлежат .

(То же, что и отрицание).

Класс

Множество, элементами которого являются множества.

(То же, что и семейство).

Конечное множество

Множество, содержащее конечное число элементов.

Множество

Совокупность объектов произвольной природы, которые удовлетворяют двум свойствам: все объекты этой совокупности попарно различимы; существует некий признак принадлежности объекта этой совокупности.

Множество-степень

То же, что и булеан множества.

Мощность множества

Мощность конечного счётного множества есть число его элементов.

Мультимножество

При многократной записи одного и того же элемента множество называют мультимножеством.

Нестрогое включение

Запись означает, что А - подмножество множества В, возможно, совпадающее с ним.

Несущее множество (носитель)

Множество в алгебре .

Нульарные операции

Фиксированные элементы множества (называются также выделенными элементами, иногда нулями).

Объединение (теоретико-множественная операция)

Объединением множеств и называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств или .

(То же, что и сумма).

Отрицание (теоретико-множественная операция)

(То же, что и дополнение).

Пересечение

Пересечением множеств и называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и , и .

Подмножество

Множество , все элементы которого принадлежат и множеству , называется подмножеством множества .

Порождающая процедура

Процедура, которая, будучи запущенной, порождает некоторые объекты, являющиеся элементами определенного множества.

Пустое множество

Множество, не содержащее ни одного элемента (обозначается специальным символом Æ).

Равенство множеств

Неупорядоченные множества равны, если они содержат одинаковый набор элементов.

Разбиение множества

Система множеств, в которой все попарные пересечения множеств пусты, называется разбиением множества всех элементов этих множеств, а множества такой системы называются классами.

Разность (теоретико-множественная операция)

Разность и (обозначается или ) - это множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и не принадлежат .

Семейство

(То же, что и класс).

Сигнатура

Множество операций над элементами множества , т.е. , где - операции.

Симметрическая разность

(То же, что и дизъюнктивная сумма).

Строгое включение

Подмножество А множества В, которое не совпадает с множеством В.

Сумма

(То же, что и объединение).

Счетное множество

Множество А называется счетным, если его объекты можно пересчитывать (каждому объекту множества присвоить натуральное число, которое было бы номером лишь одного элемента множества).