Способы построения некоторых лекальных кривых

Эллипс. Если рассечь поверхность кругового конуса наклонной плоскостью Р так, чтобы она пересекла все его образующие, то в плоскости сечения получится эллипс (рисунок 65).

Рисунок 65

 

Эллипс (рисунок 66) – плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от любой ее точки (например, от точки М) до двух заданный точек F₁ и F₂ – фокусов эллипса – есть величина постоянная, равная длине его большой оси AB (например, F₁M + F₂M = AB).Отрезок AB называется большой осью эллипса, а отрезок CD – его малой осью. Оси эллипса пересекаются в точке O – центре эллипса, а его размер определяет длины большой и малой осей. Точки F₁ и F₂ расположены на большой оси AB симметрично относительно точки O и удалены от концов малой оси (точек С и D) на расстояние, равное половине большой оси эллипса .

Рисунок 66

 

Существует несколько способов построения эллипса. Наиболее просто построить эллипс по двум его осям при помощи вспомогательных окружностей (рисунок 67). В этом случае задают центр эллипса – точку O и через нее проводят две взаимно перпендикулярные прямые (рисунок 67, а). Из точки О описывают две окружности радиусами, равными половине большой и малой осей. Большую окружность делят на 12 равных частей и точки деления соединяют с точкой О. Проведенные линии разделят меньшую окружность также на 12 равных частей. Затем через точки деления меньшей окружности проводят горизонтальные прямые (или прямые, параллельные большой оси эллипса), а через точки деления большей окружности – вертикальные (или прямые, параллельные малой оси эллипса). Точки их пересечения (например, точка М) принадлежат эллипсу. Соединив полученные точки плавной кривой, получают эллипс (рисунок 67, б).

а б

Рисунок 67

 

Парабола. Если круговой конус рассечь плоскостью Р, параллельной одной из его образующих, то в плоскости сечения получится парабола (рисунок 68).

Рисунок 68

Парабола (рисунок 69) – плоская кривая, каждая точка которой удалена на одинаковое расстояние от заданной прямой DD₁, называемой директрисой, и точки F – фокуса параболы. Например, для точки М отрезки MN (расстояние до директрисы) и MF (расстояние до фокуса) равны, т. е. MN = MF.

Парабола имеет форму разомкнутой кривой с одной осью симметрии, которая проходит через фокус параболы – точку F и расположена перпендикулярно к директрисе DD₁. Точна A, лежащая на середине отрезка OF, называется вершиной параболы. Расстояние от фокуса до директрисы – отрезок OF = 2´OA – обозначают буквой р и называют параметром параболы. Чем больше параметр р, тем резче ветви параболы отходят от ее оси. Отрезок, заключенный между двумя точками параболы, расположенными симметрично относительно оси параболы, называется хордой (например, хорда MК).

Рисунок 69

 

Построение параболы по ее директрисе DD₁ и фокусу F (рисунок 70, а). Через точку F перпендикулярно к директрисе проводят ось параболы до пересечения ее с директрисой в точке О. Отрезок OF = p делят пополам и получают точку A – вершину параболы. На оси параболы отточки A откладывают несколько постепенно увеличивающихся отрезков. Через точки деления 1, 2, 3 ит. д. проводят прямые, параллельные директрисе. Приняв фокус параболы за центр, описывают дуги радиусом R₁ =L₁ до пересечения с прямой, проведенной через точку 1,радиусом R₂ = L₂ до пересечения с прямой, проведенной через точку 2,и т. д. Полученные точки принадлежат параболе. Вначале их соединяют тонкой плавной линией от руки, затем обводят по лекалу.

Построение параболы по ее оси, вершине А и промежуточной точке М (рисунок 70, б).Через вершину A проводят прямую, перпендикулярную к оси параболы, а через точку М – прямую, параллельную оси. Обе прямые пересекаются в точке B. Отрезки AB и BM делят на одинаковое число равных частей, а точки деления нумеруют в направлениях, указанных стрелками. Через вершину A и точки 1, 2, 3, 4 проводят лучи, а из точек I, II, III, IV – прямые, параллельные оси параболы. На пересечении прямых, обозначенных одинаковым номером, расположены точки, принадлежащие параболе. Обе ветви параболы одинаковы, поэтому другую ветвь строят симметрично первой с помощью хорд.

 

а б

Рисунок 70

 

Построение параболы, касательной к двум прямым OA и ОВ в данных на них точках A и В (рисунок 71, б). Отрезки OA и ОВ делят на одинаковое число равных частей (например, на 8 частей). Полученные точки деления нумеруют и одноименные точки соединяют прямыми 1–1, 2 – 2, 3 – 3 и т. д. Эти прямые являются касательными к параболической кривой. Далее в образованный прямыми контур вписывают плавную касательную кривую – параболу.

Рисунок 71

Гипербола. Если рассечь прямой и обратный конусы плоскостью, параллельной двум его образующим или в частном случае параллельной оси, то в плоскости сечения получится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (рисунок 72, а).

Гиперболой (рисунок 72, б)называется незамкнутая плоская кривая, представляющая собой множество точек, разность расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная.

 

Рисунок 72

 

Постоянные точки F₁ и F₂ называются фокусами, а расстояние между ними – фокусным расстоянием. Отрезки прямой (F₁M и F₂M), соединяющие какую-нибудь точку (M) кривой с фокусами, называются радиус–векторами гиперболы. Разность расстояний точки от фокусов F₁ и F₂ есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами а и b гиперболы; например, для точки M будем иметь: F₁M -F₂M = ab. Гипербола состоит из двух незамкнутых ветвей, имеет две взаимно перпендикулярные оси – действительную АВ и мнимую CD. Прямые pq и rs, проходящие через центр O,называются асимптотами.

Построение гиперболы по данным асимптотам pq и rs, фокусам F₁ и F₂ приведено на рисунке 72, б.

Действительная ось АВ гиперболы является биссектрисой угла, образованного асимптотами. Мнимая ось CD перпендикулярна АВ и проходит через точку О. Имея фокусы F₁ и F₂, определяют вершины а и b гиперболы, для чего на отрезке F₁F₂ строят полуокружность, которая пересекает асимптоты в точках m и п. Из этих точек опускают перпендикуляры на ось AB и на пересечении с ней получают вершины а и b гиперболы.

Для построения правой ветви гиперболы на прямой АВ правее фокуса F₁ намечают произвольные точки 1, 2, 3,..., 5. Точки V и V1 гиперболы получаются, если принять отрезок а5 за радиус и из точки F2 провести дугу окружности, которую засекают из точки F₁, радиусом, равным b5. Остальные точки гиперболы строятся по аналогии с описанным.

Иногда приходится строить гиперболу, у которой асимптоты ОХ и OY взаимно перпендикулярны (рисунок 73). В этом случае действительная и мнимая оси будут бис с ектрисами прямых углов. Для построения задается одна из точек гиперболы, например точка А.

 

Рисунок 73

 

Через точку A проводят прямые АK и AM, параллельные осям ох и oу. Из точки O пере с ечения о с ей проводят прямые, пере с екающие прямые AM и АK в точках 1, 2, 3, 4 и 1', 2', 3', 4'. Далее из точек пересечения с этими прямыми проводят вертикальные и горизонтальные отрезки до их взаимного пересечения в точках I, II, III,IV и т. д. Полученные точки гиперболы соединяют спомощью лекала. Точки 1, 2, 3, 4, расположенные на вертикальной прямой, берутся произвольно.

Эвольвента окружности или развертка окружности. Эвольвентой окружности называется плоская кривая, которую описывает каждая точка прямой линии, если эту прямую катить без скольжения по неподвижной окружности (траектория точек окружности, образованная ее развертыванием и выпрямлением) (рисунок 74).

Для построения эвольвенты достаточно задать диаметр окружности D и начальное положение точки A (точку A₀). Через точку A₀ проводят касательную к окружности и на ней откладывают длину заданной окружности D. Полученный отрезок и окружность делят на одинаковое число частей и через точки деления окружности проводят в одном направлении касательные к ней. На каждой касательной откладывают отрезки, взятые с горизонтальной прямой и соответственно равные 1A₁ = A₀1, 2A₂= В A₀2, 3A₃= А₀3 и т. д.; полученные точки соединяют по лекалу.

 

 

Рисунок 74

 

Спираль Архимеда - плоская кривая, которую описывает точка A, равномерно вращающаяся вокруг неподвижной точки – полюса О и одновременно равномерно удаляющаяся от него (рисунок 75). Расстояние, пройденное точкой при повороте прямой на 360°, называют шагом спирали. Точки, принадлежащие спирали Архимеда, строят исходя из определения кривой, задаваясь шагом и направлением вращения.

Построение спирали Архимеда по заданному шагу (отрезок ОА) и направлению вращения по часовой стрелке (рисунок 75).Через точку О проводят прямую, откладывают на ней величину шага спирали OA и, приняв его за радиус, описывают окружность. Окружность и отрезок OA делят на 12 равных частей. Через точки деления окружности проводят радиусы O1, O2, O3 и т. д. и на них от точки О откладывают при помощи дуг соответственно 1/12, 2/12, 3/12 и т. д. радиуса окружности. Полученные точки соединяют по лекалу плавной кривой.

Спираль Архимеда является незамкнутой кривой, и при необходимости можно построить любое число ее витков. Для построения второго витка описывают окружность радиусом R = 2 OA и повторяют все предыдущие построения.

 

Рисунок 75

 

Синусоида. Синусоидой называется проекция траектории точки, движущей с я по цилиндриче с кой винтовой линии, на плоскость, параллельную оси цилиндра. Движение точки складывается из равномерно–вращательного движения (вокруг оси цилиндра) и равномерно–поступательного (параллельно оси цилиндра). Синусоида – это плоская кривая, которая показывает изменение тригонометрической функции синуса в зависимости от изменения величины угла.

Для построения синусоиды (рисунок 76) через центр О окружности диаметра D проводят прямую ОХ и на ней откладывают отрезок O₁A, равный длине окружности D. Этот отрезок и окружность делят на одинаковое число равных частей. Из полученных и занумерованных точек проводят взаимно перпендикулярные прямые. Полученные точки пересечения этих прямых соединяют с помощью лекала плавной кривой.

Рисунок 76

 

Кардиоида. Кардиоидой (рисунок 77) называет с я замкнутая траектория точки окружно с ти, которая катится без скольжения по неподвижной окружности таким же радиусом.

Рисунок 77

 

Из центра О проводят окружность заданного радиуса и берут на ней произвольную точку M. Через эту точку проводят ряд секущих. На каждой секущей по обе стороны от точки пересечения ее с окружностью откладывают отрезки, равные диаметру окружности M1. Так, секущая III3МIII₁ пересекает окружность в точке 3;от этой точки откладывают отрезки 3III и 3III₁, равные диаметру M1. Точки III и III₁, принадлежат кардиоиде. По аналогии, с екущая IV4MIV₁ пере с екает окружность в точке 4; от этой точки откладывают отрезки IV4 и 4IV₁, равные диаметру M1, получают точки IV и IV₁ и т. д.

Найденные точки соединяют кривой, как указано на рисунке 77.

Циклоидальные кривые. Циклоиды – плоские кривые линии, описываемые точкой, принадлежащей окружности, катящейся без скольжения по прямой линии или окружности. Если при этом окружность катится по прямой линии, то точка описывает кривую, называемую циклоидой.

Если окружность катится по другой окружности, находясь вне ее (по выпуклой части), то точка описывает кривую, называемую эпициклоидой.

Если же окружность катится по другой окружности, находясь внутри ее (по вогнутой части), то точка описывает кривую, называемую гипоциклоидой. Окружность, на которой расположена точка, называется производящей. Линия, по которой катится окружность, называется направляющей.

Для построения циклоиды (рисунок 78) проводят окружность заданного радиуса R; на ней берут начальную точку A и проводят направляющую прямую АВ, по которой катится окружность.

 

Рисунок 78

 

Делят заданную окружность на 12 равных частей (точки 1', 2', 3',..., 12'). Если точка A переме с тит с я в положение A₁₂, то отрезок AA₁₂ будет равен длине заданной окружно с ти, т. е. . Проводят линию центров О – O₁₂ производящей окружно с ти, равную , и делят ее на 12 равных частей. Получают точки O₁, O₂, O₃,..., O₁₂, являющиеся центрами производящей окружно с ти. Из этих точек проводят окружно с ти (или дуги окружно с тей) заданного радиуса R, которые касаются прямой АВ в точках 1,2, 3,..., 12. Если от каждой точки касания отложить на соответствующей окружности длину дуги, равную величине, на которую переместилась точка A, то получим точки, принадлежащие циклоиде. Например, для получения точки A₅ циклоиды следует из центра O₅ провести окружность и от точки касания 5 отложить по окружности дугу А5, равную А5', или из точки 5' провести прямую, параллельную АВ, до пересечения в точке A₅ с проведенной окружностью. Аналогично строят и все другие точки циклоиды.

Эпициклоида строится следующим образом. На рисунке79 изображены производящая окружность радиу с а R с центром O₀, начальная точка A на ней и дуга направляющей окружно с ти радиу с а R₁, по которой катит с я окружность. Построение эпициклоиды аналогично построению циклоиды, а именно: делят заданную окружность на 12 равных частей (точки 1', 2', 3',...,12'), каждую часть этой окружности откладывают от точки A по дуге АВ 12 раз (точки 1, 2, 3,..., 12) и получают длину дуги AA₁₂. Эту длину можно определить с помощью угла .

Далее из центра О радиусом, равным OO₀, наносят линию центров производящей окружности и, проводя радиусы 01, 02, 03,...,012,продолженные до пересечения с линией центров, получают центры О₁, О₂,..., O₁₂ производящей окружности. Из этих центров радиусом, равным R, проводят окружности или дуги окружностей, на которых строят и с комые точки кривой; Так, для получения точки A₄с ледует прове с ти дугу окружно с ти радиусом O4' до пересечения с окружностью, проведенной из центра O₄. Аналогично строятся и другие точки, которые затем соединяются плавной кривой.

 

Рисунок 79