Приклади на рівновагу системи збіжних сил. Плоска система збіжних сил

1. Однорідна куля, вагою Р=20 Н утримується на гладкій похилій площині ниткою, котра прив’язана до пружинних терезів, закріплених в точці О. Показ пружинних терезів 10 Н. Кут нахилу площини до горизонту дорівнює 30^о. Визначити кут α, утворений ниткою з вертикаллю, і силу тиску N кулі на площину.

_

_ _ Q

О Q N

α α

α 60^о β

_ _

A _ A P N

P 30^o

30^o

Рішення. Розглянемо кулю А, відкинувши в’язі та замінив їх дію реакціями. На кулю А діє активна сила Р (вага кулі), реакція похилої площини, котра направлена перпендикулярно похилій площинні. Реакція площини відома за напрямом, невідома за величиною. Натяг нитки Q, відомий за модулем, невідомий за напрямком. Система сил (P,N,Q)~0 зрівноважена.

Побудуємо силовий трикутник, враховуючи, що сила Р відома за напрямом та величиною, сила N – за напрямом, Q – за величиною. Побудуємо силу Р за величиною та напрямом, з кінця сили Р проведемо в напрямку сили N, а з початку сили Р, проведемо дугу радіусом, що дорівнює величині сили Q, отримаємо точку перетину з лінією напрямку сили N, що визначить третю вершину трикутника. Позначимо в трикутнику кути.

Для визначення модуля сили N, та кутів α і β, скористаємося теоремою синусів.

(P/sinβ)=(N/sinα)=(Q/sin30^o)

sinβ=(P*sin30^o/Q)=1; кут β=90^о

тоді кут α=180^о-90^о -30^о=60^о

N=(P*sinα/Q)=17,32 (Н)

Відповідь N=17,32; α=60^o

 

2. Балка АВ шарнірно закріплена на опорі А, кінцем В покладена на катки. На балку діє сила Р=5 кН під кутом 45^о до її осі. Визначити реакції опор, взявши розміри з малюнку. Вагою балки знехтувати.

D

y

 

_ _ _

R_A P R_B

A α 45^o

 

C B x

 

1м 3м

 

_ _ _ _ _

Рішення. Балка АВ знаходиться під дією трьох зрівноважених сил R_A, P, та R_B. Сила Р відома за величиною та за напрямом. Реакція опори В направлена перпендикулярно площині катків, модуль невідомий. Реакція нерухомого шарніра А невідома ні за напрямком, ні по модулю.

Скористаємось теоремою про рівновагу трьох непаралельних сил.

Продовжимо напрямок сил та до точки D, з’єднаємо точку A і D, реакція опори А направлена по прямій АД. Позначимо кут нахилу реакції R_A до осі балки α. Геометрична сума сил , , дорівнює нулю ((, , )~0).

+ + =0

Побудуємо силовий трикутник. Кут β=180^о-(45^о+45^о-α)=90^о+α

_

45^o R_B

 

_ β

P

_

45^o-α R_A

α

За теоремою синусів (P/sinβ)=(R_B/sin(45^о-α))=(R_A/sin45^o), звідки R_A=(sin45^o/ sin(90^о-α))*Р

R_A=(sin45^o/ cosα)*Р; R_B=(sin(45^o-α) /cosα)*Р=(sin45^o- cos45^o*tgα)*P

Визначимо cosα, tgα.

АВ=4м; BD=3м, тоді AD=5м

cosα=(AB/AD)=4/5=0,8; tgα=(BD/AB)=3/4=0,75

R_A= (sin45^o/cosα)*P=4,42 (kH)

R_B=(sin45^o- cos45^o* tgα)*P=0,88 (kH)

Відповідь: R_A= 4,42 kH, R_B=0,88 kH

 

При рішенні задач 1 і 2 ми скористались графо-аналітичним методом. Тепер покажемо на прикладі 2, що користуючись аналітичним методом, отримаємо той же результат.

Введемо систему координат. Поздовж балки направимо вісь Ах, перпендикулярно їй вісь Аy.

Запишемо аналітичні рівняння рівноваги збіжних сил

ΣP_kx=0; -Pcos45^o+P_Acosα=0

ΣP_ky=0; R_Asinα-Psin45^o+ R_B =0

Звідки R_A=Р*(cos45^o/cosα)=(sin45^o/cosα)*P (cos45^o=sin45^o)

R_B=Psin45^o-R_Asinα = Psin45^o-P*sinα*(cos45^o/cosα)

R_B=P(sin45^o-cos45^o*tgα)