Основні властивості невизначеного інтеграла

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції плюс довільна стала:

4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

5. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох неперервних функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій:

 

№№№№№

Диференціальним рівнянням називається рівняння, у яке входять: незалежна змінна , шукана функція та її похідні або диференціали.

Символічно диференціальні рівняння записують так:

.

Диференціальне рівняння називається звичайним, якщо шукана функція залежить від одного незалежного змінного.

Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної або диференціала, що входить у дане рівняння.

Розв’язком або інтегралом диференціального рівняння називається така функція, яка перетворює це рівняння в тотожність.

Загальним розв’язком або загальним інтегралом диференціального рівняння називається такий розв’язок, до якого входить стільки незалежних довільних сталих, який порядок рівняння. Так, загальний розв’язок диференціального рівняння першого порядку має одну довільну сталу.

Частинним розв’язком диференціального рівняння називається розв’язок, знайдений із загального при різних числових значеннях довільних сталих.

Значення довільних сталих знаходять при певних початкових значеннях аргументу і функції.

№№№№№№

Диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними називається рівняння вигляду:

Щоб розв’язати це рівняння, треба спочатку відокремити змінні:

а потім проінтегрувати обидві частини знайденої рівності:

 

№№№№№

Означення. Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами називається рівняння вигляду:

(1),

де і - сталі величини.

Щоб визначити загальний розв’язок рівняння, складемо характеристичне рівняння (2), яке дістаємо з рівняння (1) заміною і на відповідні степені , причому сама функція замінюється одиницею.

Тоді загальний розв’язок диференціального рівняння будується залежно від коренів та характеристичного рівняння (2). Тут можливі три випадки.

Випадок 1. Корені та - дійсні і різні. У цьому випадку загальний розв’язок рівняння має вигляд:

(3)

Випадок 2. Корені та - дійсні і рівня: = = . Тоді загальний розв’язок рівняння записується так:

(4).

Випадок 3. Корені та - комплексно-спряжені: та . У цьому випадку загальний розв’язок рівняння записується так:

(5).

№№№№№№

Зображення комплексного числа у вигляді z = r℮^φі, де r >0, називається показниковою формою комплексного числа. Щоб записати комплексне число z= а+ві в показниковій формі, треба знайти модуль цього числа; одне із значень аргументу цього числа.

Тригонометричну форму комплексного числа z = r( cosφ + isinφ) можна замінити показниковою формою z = r℮^φі.

Дії над комплексними числами, заданими в показниковій формі.

- добуток z₁ i z₂:

- частку знаходять так:

- при піднесенні до степеня:

- для добування кореня використовують формулу:

№№№№№

Означення. Визначником (детермінантом) другого порядку для системи двох рівнянь із двома невідомими називають число і записується так: .

Визначником третього порядку для системи трьох рівнянь з трьома невідомими записується так: і обчислюється за правилом трикутників: .

Властивості визначників.

1. Величина визначника не зміниться, якщо його рядки зробити стовпцями, а стовпці – рядками, не змінюючи нумерації їх.

2. Якщо помножити всі елементи деякого стовпця (або рядка) на те саме число k, то значення визначника також помножаться на те саме число k.

3. Якщо у визначнику поміняти місцями рядки або стовпці, то визначник змінить знак на протилежний.

4. Якщо елементи двох рядків або стовпців однакові, то визначник дорівнює нулю.

5. Величина визначника не змінюється, якщо до елементів одного рядка або стовпця додати елементи другого рядка або стовпця, помножені на те саме число.

№№№№№№

Означення. Матрицею розміру m x n або (m x n) - матрицею називається прямокутна таблиця з чисел , і = 1,2,..., n; j = 1,2,..., n, вигляду:

,

яка складається з m рядків і n стовпчиків. Якщо m = n, то матриця називається квадратною; якщо m = 1, то маємо матрицю – рядок; якщо n = 1 – матрицю – стовпчик.

Означення. Сумою А+В (m × n) – матриць А = ()і В = ()називається матриця С = ( ) того самого розміру, кожний елемент якої дорівнює сумівідповідних елементів матриць А і В:

c i j = a i j + b i j, і = 1.2,…,m; j = 1.2,…,n..

Означення. Добутком λ А матриці А = () на число λ Є R називається матриця

, яка одержується з матриці А множенням усіх її елементів на λ: = λ , і = 1.2,…,m; j = 1.2,…,n..

Означення. Добутком АВ (т × п) – матриці А = (a_ij ) на (п × k) – матрицю В = (b_ij) називається (m × k) – матриця С = (с _ij), елемент якої с I j, що стоїть в i - му рядку та j - му стовпчику, дорівнює сумі добутків відповідних елементів i- го рядка матриці А та j- го стовпчика матриці В:

c _ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j +... + a_inb_nj, і = 1.2,…,m; j = 1.2,…,n..

№№№№№

Векторним добутком вектора на вектор називається такий третій вектор , який задовольняє умови:

1) абсолютна величина чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах ,

2) вектор перпендикулярний до площини цього паралелограма.

Абсолютна величина (модуль) векторного добутку обчислюється за формулою:

, де кут кут між векторами , .

Властивості:

1) Скалярні множники можна виносити за знак векторного добутку:

2) Переставна властивість для векторного добутку не справджується:

Векторний добуток векторів і обчислюється за формулою:

.

Довжина вектора обчислюється за формулою:

№№№№

Мішаним добутком трьох векторів , і називається векторний добуток векторів , скалярнопомножений на вектор , тобто .

Теорема: мішаний добуток трьох векторів , і чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда побудованого на векторах , і .

Властивості:

1. Якщо в мішаному добутку поміняти місцями які небудь два множники, то мішаний добуток змінить знак:

2. Якщо в мішаному добутку поміняти місцями дві пари множників, то мішаний добуток не зміниться

3. За комутативною властивістю скалярного добутку:

4. Якщо вектори компланарні, то їхній мішаний добуток =0, тобто

 

№№№№№

Означення. Точку називають точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо існує окіл точки , який міститься в проміжку , і такий, що для всіх значень , взятих з околу, виконується умова: ().

Точки максимуму і мінімуму називаються екстремальними точками, а сам максимум і мінімум екстремумами функції.

Теорема (Ферма). Якщо функція у внутрішній точці проміжку має екстремум, то в цій точці похідна , якщо вона існує, дорівнює нулю.

Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:

1. Знайти похідну .

2. Знайти критичні точки.

3. Розбити область визначення функції критичними точками на проміжки.

4. Встановити знаки похідної при переході через критичні точки і виписати точки екстремуму.

5. Обчислити значення функції у кожній екстремальній точці.

 

№№№№№

Означення. Кажуть, що на інтервалі графік неперервно диференційовної функції , обернений опуклістю вгору, якщо похідна спадає на інтервалі .

Означення. Кажуть, що на інтервалі графік неперервно диференційовної функції , обернений опуклістю вниз, якщо похідна зростає на інтервалі .

Теорема. Нехай функція , має першу й другу похідні. Тоді, якщо для всіх , то на інтервалі графік функції обернений опуклістю вгору, якщо ж для всіх , то графік функції обернений опуклістю вниз на цьому інтервалі .

Означення. Інтервалами опуклості графіка функції називаються інтервали, в яких графік функції обернений опуклістю вгору або вниз.

Сформулюємо правило знаходження інтервалів опуклості графіка функції.

Нехай функція , має в інтервалі похідні до другого порядку включно, крім, можливо, скінченого числа нулів в інтервалі .

Тоді для визначення інтервалів опуклості графіка функції потрібно:

1. Знайти критичні точки функції (за другою похідною), які належать інтервалу , тобто точки, в яких або або не існує.

2. В кожному з інтервалів, на які розбивається інтервал критичними точками функції , знайденими в першому пункті даного правила, встановлюється знак .

Якщо в данному інтервалі , то на цьому інтервалі графік функції обернений опуклістю вниз, якщо ж , то на цьому інтервалі графік функції обернений опуклістю вгору.

№№№№

Означення. Точкою перегину графіка функції називається точка графіка функції , яка розділяє інтервали опуклості графіка цієї функції.