Решение задач 7—13 из учебника

Задача 7. Дети должны усвоить, что Х — это цепочка, которая, как они привыкли, имеет начало, конец и бусины, идущие в строгом порядке. Отличие от тех цепочек, с которыми работали раньше, лишь одно: каждая бусина цепочки Х сама является цепочкой бусин. Именно поэтому мы называем новый объект цепочка цепочек. Настолько же, насколько это название естественно для языка формальной логики, оно непривычно для разговорного и литературного языка. В русском языке принято избегать повторения однокоренных слов в одном предложении. Поэтому структуры, похожие на цепочку цепочек, стараются называть словосочетанием из двух разных слов. Например, принято говорить «последовательность месяцев», а не «цепочка цепочек дней». Только в этой непривычности и может корениться причина того, что кому-то тема вначале покажется сложной. Ведь со структурами двойного порядка ребята уже имели дело и на уроках русского языка (предложение — это цепочка цепочек букв), и на уроках математики (арифметический пример — это структура из цепочек цифр).

При ответе на первый вопрос кто-то может попытаться сосчитать общее число цветных бусин, входящих в цепочки цепочки Х. Такому ученику нужно посоветовать снова вернуться к листу определений.

Ответ: длина цепочки Х равна 4, третья бусина цепочки Х — это цепочка длины 3, вторая бусина — цепочка длины 0.

Задача 8. Дети работали с цепочками слов и раньше, но сейчас они смогут составить законченное представление о таких объектах, как цепочки цепочек букв. Кроме темы текущего листа определений, в этой задаче повторяются ещё и предыдущие темы, в частности, в задаче активно работает понятие «длина цепочки». При этом в утверждениях речь идёт как о длине самой цепочки слов, так и о длине входящих в неё цепочек. Это может вызвать трудности. Проще всего начать с того, что выбрать из всех названий месяцев те, длина которых больше 6, их всего четыре: февраль, сентябрь, октябрь, декабрь. Поскольку в цепочке не должно быть одинаковых слов и длина цепочки должна быть больше 3, именно из этих слов-бусин и будет состоять искомая цепочка. Таким образом, ответы у детей будут различаться только порядком месяцев (этот порядок может быть любым).

Задача 9. Ответ:

Задача 10 (необязательная). Здесь даётся пример цепочки цепочек цепочек бусин. Это цепочка, бусинами которой являются цепочки цепочек. Ученики видели такую цепочку на листе определений (это цепочка W), но видеть и понимать — это не одно и то же. Чтобы сильные дети могли разобраться в этом, им предлагается ответить на несколько вопросов о цепочке Е. Цепочка Е состоит из двух цепочек цепочек (а значит, она длины 2). Первая бусина цепочки Е — цепочка, состоящая из двух цепочек (а значит, она тоже длины 2). Вторая бусина цепочки Е — цепочка, состоящая из трёх цепочек (а значит, она длины 3).

Задача 11. Для полного решения задачи нужно перебирать все слова и отмечать каждую букву в мешке и в слове. Существует способ сократить процесс, обратив внимание на отдельные характеристики слов. Например, в мешке всего 5 букв, значит, слова, где букв не пять, можно не рассматривать. В мешке две гласные, обе О: выбрасываем ещё пару неподходящих слов. В мешке есть буква Р: выбрасываем те слова, где буквы Р нет. Теперь остаётся проверить только два слова. Мы не предлагаем объяснять эту модель рассуждения учащимся, но вполне разумно поддерживать элементы такой модели в их рассуждениях.

Ответ: ТОПОР и РОПОТ.

Задача 12. Задача напоминает детям такой метод подсчёта элементов мешка, при котором сначала заполняется рабочая таблица и только потом заполняется окончательная сводная таблица. Такой метод оправдывает себя только при работе с большим количеством объектов, поэтому мы предлагаем в этой задаче мешок с большим количеством грузинских букв. Надеемся, что решение этой задачи уже не займёт у детей слишком много времени.

Грузинские буквы, в отличие от знакомых букв или фигурок, для ребят лишь закорючки, которые очень легко спутать друг с другом. Напомните ребятам принцип работы: помечаем букву из мешка и ставим крестик в рабочей таблице в столбце, соответствующем данной букве, и т. д. Таблица для мешка, приведённая в задании, заполняется лишь после того, как заполнена рабочая таблица.

Ответ:

Задача 13 (необязательная). Здесь работает уже знакомая детям идея порядка: понятия «вчера» и «сегодня» для дней недели аналогичны понятиям «предыдущий» и «следующий» для бусин в цепочке.

Ответ: пятница, воскресенье, четверг.

Урок «Таблица для мешка (по двум признакам)»

Мешки-векторы

Ребята уже знакомы с мешками и одномерными таблицами для мешков. Надеемся, что работа с данными математическими объектами не вызовет у них особых трудностей. Однако для математики введение этих объектов оказалось достаточно важным шагом. Дело в том, что числа, прежде всего натуральные, очень удобны для измерений, например, времени (в секундах), или веса (в граммах), или пройденного расстояния (в метрах). Но если мы хотим указать не сколько мы прошли, а куда пришли, то ситуация становится сложнее. Нам приходится указывать два измерения — два числа или два символа. Это похоже на то, как мы указываем положение в городе (например, говорим: «угол Ленина и Розы Люксембург») или поле на шахматной доске (например, e2). Самый распространённый в математике способ состоит в том, что на поверхность наносится сетка, как на бумаге в клетку. Если взять лист клетчатой бумаги, то с каждой клеткой на нём можно сопоставить два натуральных числа. Одно из этих чисел означает, сколько шагов надо сделать из нашей клетки, чтобы оказаться у левого края листа, а другое — сколько шагов надо сделать, чтобы добраться до нижнего края. Два таких числа называют координатами квадрата, их нельзя поменять местами — это не просто мешок, в котором лежат два числа, но упорядоченная пара (цепочка!), о которой мы договорились, что первое число — всегда расстояние до левого края листа, а второе — расстояние до нижнего края.

Тем не менее координаты можно сложить в мешок. Для этого понадобятся бусины двух типов: бусина одного типа будет обозначать один шаг влево, а бусина другого — один шаг вниз. Какими именно будут бусины — вопрос договорённости. Например, квадратными и круглыми или синими и зелёными. А могут быть карточки, на которых написано «Влево» и «Вниз». Таким образом, каждой клетке на листе можно сопоставить мешок, в котором будет некоторое количество бусин «Влево» и некоторое количество бусин «Вниз».

Построив одномерную таблицу для такого мешка, получим пару чисел, аналогичную координатам: ведь в таблице для каждого числа ясно, количество каких именно карточек оно обозначает. Получится так называемый вектор. Конечно, вектор может иметь не только два, но и больше параметров (соответствующая цепочка чисел может быть длиннее). И в нашем мешке могут тоже лежать бусины многих типов. В отличие от множества в мешке (мультимножестве) может быть несколько объектов одного типа. Значит, в таблице для мешка будут не только единицы и нули.

С понятия «вектор» начинается изучение науки, которую называют аналитической геометрией. Данное понятие лежит в фундаменте физики и многих разделов математики.

Тема нового урока — двумерные таблицы для мешков. С научной точки зрения двумерные таблицы — это следующая по сложности структура, набор векторов. Конечно, не нужно сейчас нагружать детей этой сложной терминологией. Достаточно того, что они научатся сортировать и классифицировать элементы мешка по двум признакам и аккуратно заполнять таблицу.