Метод заміни площин проекцій

 

У багатьох випадках розв’язання задачі значно спрощується, якщо прямі лінії, площини, елементи геометричних фігур займають окреме положення.

Переміщення геометричної фігури із загального положення в окреме можна виконати двома шляхами:

1 Переміщенням площин проекцій у положення, відносно яких плоскі фігури займали б окремі положення.

2 Переміщенням плоскої фігури в просторі в окреме положення відносно нерухомих площин проекцій.

 

Перший шлях лежить в основі методу заміни площин проекцій, а другий – в основі інших методів.

Суть методу полягає в тому, що самі геометричні фігури не змінюють свого положення, а в системі площин проекцій П₂ та П₁ послідовно замінюють одну, дві або більше площин проекцій. При цьому нова площина проекцій має бути перпендикулярною до тієї площини проекцій, яка залишається незмінною, а відносно плоских геометричних фігур вона повинна бути паралельною або перпендикулярною.

На рис. 1.4.1 зображена умовно перспективна модель проекціювання точки А на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій П₁ та П₂, а також на додаткову площину П₄, яка перпендикулярна П₁. У результаті утворилась нова система площин проекцій зі своєю віссю проекцій х₁₄, як наслідок перетину площин проекцій П₁ та П₄. Положення горизонтальної проекції А₁ точки А залишається без зміни, оскільки точка А та площина П₁ не змінювали свого положення в просторі. Для знаходження нової фронтальної проекції точки А-А₄ достатньо виконати ортогональне проекціювання точки А на площину П₄. Відстань нової фронтальної проекції А₄ точки А від нової осі х₁₄ дорівнює відстані від старої фронтальної проекції А₂ точки А до старої осі х₁₂: .

 

Рисунок 1.4.1

 

Для побудови комплексного креслення нова площина проекцій П₄ обертається навколо осі х₁₄ до суміщення з горизонтальною площиною проекцій П₁ (рис. 1.4.2). Напрям обертання не впливає на результат розв’язання задачі. Обертання виконують таким чином, щоб не було накладання нових проекцій на старі.

 

Рисунок 1.4.2

 

Заміна горизонтальної площини проекцій П₁ на нову площину П₄ та побудова нових проекцій точки А в системі відбувається аналогічно розглянутому випадку. Тепер без змін залишається фронтальна проекція точки, а для побудови нової горизонтальної проекції А₄ точки А необхідно зі старої фронтальної проекції точки опустити перпендикуляр (провести лінію зв’язку) на нову вісь х₂₄ та відкласти на ньому від точки перетину з віссю х₂₄ відрізок, що дорівнює відстані від горизонтальної проекції точки до осі х₁₂ (рис. 1.4.3).

Розв’язання всіх задач методом заміни площин проекцій зводиться до розв’язання чотирьох основних задач:

1 Перетворення прямої загального положення в пряму рівня.

2 Перетворення прямої загального положення в проекціювальну.

3 Перетворення площини загального положення в проекціювальну.

4 Перетворення площини загального положення в площину рівня.

На рис. 1.4.4 зображено розв’язання перших двох задач перетворення прямої загального положення в пряму рівня та перетворення її в проекціювальну. У системі відрізок прямої АВ займає загальне положення. Для перетворення відрізка прямої в пряму рівня будуємо на довільній відстані від відрізка площину П₄, яка паралельна проекції відрізка А₁В₁, а також ця площина .

 

Рисунок 1.4.3

 

 

Рисунок 1.4.4

 

Щоб отримати натуральну величину відрізка, від осі х₁₄ відкладаємо відстані, що дорівнюють відстаням від точок А₂ і В₂ до осі х₁₂. У системі відрізок прямої АВ стає прямою рівня і на площині проекцій П₄ проекціюється в натуральному вигляді.

Для перетворення відрізка прямої рівня в проекціювальне положення необхідно перпендикулярно до прямої рівня провести нову площину П₅, слідом якої буде х₄₅. Проекція прямої у вигляді точки розміститься від осі х₄₅ на відстані, що дорівнює відстані від проекцій А₁ та В₁ до осі х₁₄.

Спільне розв’язання першої і другої задач дозволяє знаходити:

а) відстань від точки до прямої;

б) відстань між двома паралельними прямими;

в) відстань між перехресними прямими.

На рис. 1.4.5 зображено розв’язання третьої та четвертої задач перетворення площини загального положення в проекціювальну та перетворення її в площину рівня. При цьому здійснено дві заміни площин проекцій.

 

Рисунок 1.4.5

При першій заміні відсік площини (АВС) переведено в проекціювальне положення, а при другій заміні знайдено натуральну величину відсіку. Щоб перевести відсік у проекціювальне положення, необхідно в межах відсіку побудувати лінію рівня, бо для її перетворення в точку досить однієї заміни. На рисунку у відсіку проведено горизонталь АD, а нову вертикальну площину П₄ побудовано перпендикулярно до горизонтальної проекції горизонталі (А₁D₁). У системі площин проекцій площина АВС перетворилась у проекціювальну площину і на площині проекцій П₄ спроекціювалась у відрізок прямої В₄С₄. При другій заміні вісь х₄₅ проводять паралельно відрізку В₄С₄, а від осі х₄₅ відкладають відрізки, що дорівнюють відстані від точок горизонтальної проекції до осі х₁₄.

У системі площин проекцій площина АВС перетворилась у площину рівня і на площині проекцій П₅ спроекціювалась у натуральному вигляді А₅В₅С₅.

Спільне розв’язання третьої та четвертої задач дозволяє знаходити:

а) натуральні величини плоских фігур;

б) відстань від точки до площини;

в) кути нахилу площини до площини проекцій;

г) відстань між паралельними площинами.

 

Гранні поверхні

 

Гранні поверхні утворюються за допомогою площин. Багатогранником називають просторову фігуру, обмежену замкнутою поверхнею, яка складається з відсіків площин, які мають форму плоских багатокутників. Багатокутники, які утворюють поверхню багатогранника, називаються гранями, сторони багатокутників – ребрами, а вершини – вершинами багатогранника.

В інженерній практиці найчастіше використовують такі багатогранники: піраміди, призми, призматоїди та правильні багатогранники.

Пірамідальна поверхня утворюється при переміщенні прямої твірної , яка проходить через сталу точку простору S та ковзає по замкнутій ламаній лінії m, яку називають напрямною (рис. 1.5.1). При перерізі цієї пірамідальної поверхні площиною утворюється піраміда.

 

S – вершина; SA, SB – бічні ребра; СВ, ВА – ребра основи; АВСD – основа; SAB – бічна грань

A

S

l

D

C

m

B

 

Рисунок 1.5.1

 

Піраміда – це багатогранник, основою якого є багатокутник, а бічні грані – трикутники, що мають спільну точку S – вершину піраміди.

Сукупність усіх ребер багатогранника називають його сіткою. Згідно з теоремою Ейлера для випуклого багатогранника існує залежність між числом граней Г, вершин В та ребер Р, яка має вигляд: Г + В – Р = 2.

Піраміда називається правильною, якщо в її основі лежить правильний багатогранник, а висота проходить через центр основи. Висота – це найкоротша відстань від вершини піраміди до площини основи. Бічні грані правильної піраміди – рівнобедрені трикутники.

На рис. 1.5.2 наведено приклад побудови на комплексному кресленні правильної піраміди, в основі якої лежить чотирикутник.

Будемо вважати, що задана фронтальна проекція К₂ точки К, яка належить бічній грані SАD, яка є площиною загального положення. Точка належить площині, якщо вона належить якійсь прямій цієї площини. Виходячи з цього, проводимо через точки S₂ і К₂ пряму до перетину з фронтальною проекцією А₂D₂ у точці 1₂. Далі будуємо 1₁S₁ і за вертикальною відповідністю К₁. Профільну проекцію К₃ будуємо, використовуючи проекційний зв’язок.

Будувати точки на поверхні можна за допомогою січних площин посередників. У даному випадку вибираємо горизонтальну площину рівня , яку проводимо через точку К.

Фронтальна проекція лінії перетину площини і грані SAD проходить через точки 2₂К₂. Точка 2 належить ребру SA, тому знаходимо точку 2₁, через яку паралельно А₁D₁ будуємо горизонтальну проекцію лінії перетину і по вертикальній відповідності знаходимо К₁ – горизонтальну проекцію точки К. Профільну проекцію К₃ точки К будуємо, як і раніше.

Призматична поверхня утворюється при переміщенні прямої твірної по довільній напрямній m замкненій ламаній лінії так, що вона залишається паралельною заданому напрямку S (рис. 1.5.3).

 

Рисунок 1.5.2 Рисунок 1.5.3

 

Призмою називається багатогранник, який утворюється в перерізі призматичної поверхні двома паралельними площинами і Q. Якщо бічні ребра перпендикулярні до основи, то призма називається прямою і її бічні грані – прямокутники. Якщо бічні ребра не перпендикулярні до основи, то призма називається похилою і її бічні грані – паралелограми.

Призма називається правильною, якщо в основі її лежить правильний багатокутник.

На рис. 1.5.4 наведено приклад побудови на комплексному кресленні прямої правильної трикутної призми, яка стоїть на горизонтальній площині проекцій П₁.

Нижня і верхня основи є горизонтальними площинами рівня, тому їх горизонтальні проекції відображені в натуральну величину. Бічні ребра перпендикулярні до П₁, тому бічні грані на горизонтальну площину проекцій спроекціювались у відрізки прямих, що співпадають із відповідними сторонами трикутника основи.

Площина є профільною площиною рівня, тому вона перпендикулярна до П₂ і її фронтальна проекція вироджується в одну пряму.

Будемо вважати, що задана фронтальна проекція К₂ точки К, яка належить бічній грані . Ця грань є горизонтально проекціювальною площиною, тому А₁С₁ має збиральні властивості і горизонтальна проекція К₁ належить А₁С₁. Для побудови профільної проекції К₃ точки К вимірюємо на П₁ координату у _К і відкладаємо її на лінії проекційного зв’язку праворуч від Z₃.

 

Рисунок 1.5.4

Багатогранники називаються правильними, якщо усі ребра, грані, кути (плоскі, двогранні та просторові) рівні між собою, їх називають тілами Платона.

Існує п’ять таких правильних багатогранників:

- правильний чотиригранник (тетраедр), гранями якого є чотири рівносторонні трикутники (рис. 1.5.5);

- правильний шестигранник (гексаедр), або куб, складається з шести рівних квадратів (рис. 1.5.6);

- правильний восьмигранник (октаедр), гранями якого є вісім рівносторонніх трикутників;

- правильний дванадцятигранник (додекаедр) складається з дванадцяти правильних п’ятикутників;

- правильний двадцятигранник (ікосаедр), утворений із двадцяти рівносторонніх трикутників.

 

Рисунок 1.5.5

Рисунок 1.5.6