Изучение элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школах ряда зарубежных стран

Во многих зарубежных странах с элементами теории вероятностей и статистики учащиеся знакомятся уже с первых школьных лет и на протяжении всего обучения усваивают вероятностно-статистические подходы к анализу распространенных ситуаций, встречающихся в повседневной жизни.

Например, в учебном плане Англии изучению вероятностно-статистического материала отводится значительное время. Учащиеся младших классов должны научиться выполнять группировку объектов, собирать данные и заносить их в таблицу, выделять часть информации из таблицы, строить и читать простейшие диаграммы, правильно использовать вероятностную терминологию, говорить о более и менее вероятных исходах эксперимента. Итоговые требования к знаниям учащихся средних классов свидетельствуют о том, что они осваивают различные способы обработки и представления статистических данных, умеют работать с базой данных компьютера, оценивают и вычисляют несложные вероятности. В старших классах от учащихся требуется умение анализировать и интерпретировать данные, представленные в различной форме, проверять простейшие статистические гипотезы. Так, например, одно из заданий состоит в том, что учащиеся должны провести опрос и выяснить отношение школьников и родителей к тому, чтобы перерыв на обед в школе был сокращен на полчаса. Результаты опроса необходимо проанализировать и сделать обоснованный вывод. В целом вероятностям и статистике посвящены 3 из 14 итоговых требований в английской школе.

Экзамен на получение Общего аттестата об образовании включает тему - элементы теории вероятностей и математической статистики. Для получения Общего аттестата об образовании обычного уровня школьники должны владеть следующим материалом по теории вероятностей: вероятность события, комбинация событий, случайная величина, биномиальное распределение, сложение и умножение вероятностей, математическое ожидание, медиана. Для отдельных групп учащихся уровень требований к их знаниям значительно выше. Имеются в виду те учащихся, которые сдают экзамен для получения Общего аттестата об образовании повышенного уровня по программе SMP (School Mathematics Project). В вопросы программы входят следующие понятия теории вероятностей: формула Пуассона, закон больших чисел, процессы Маркова.

Математическая подготовка школьников в США неоднородна. Это связано со спецификой системы образования в США, выражающейся в делении учащихся по способностям, начиная с первых лет обучения в школе. Две трети всех учащихся изучают математику на самом элементарном уровне. Теоретико-вероятностные знания преподаются в основном в старшей средней школе, однако, в некоторых программах младшей средней школы встречаются понятия вероятности и элементарные сведения статистики. Углубленное изучение теоретико-вероятностных вопросов осуществляется в старшей средней школе лишь незначительным числом наиболее способных к математике учеников.

Согласно материалам, разработанным Национальным советом учителей математики США, находить простейшие вероятности могут даже ученики начальной школы. В V—VIII классах основное внимание уделяется знакомству с вероятностными моделями реальных ситуаций, сравнению ожидаемых результатов с теми, которые получены в ходе эксперимента. Американские педагоги подчеркивают, что данные, которые ученики систематизируют и анализируют на уроках, должны быть им интересны, постановка задач должна способствовать повышению математической культуры учащихся, развитию прикладных умений и навыков.

В методических рекомендациях школ США отмечается важность понимания вероятностных закономерностей для современного гражданина, которому предстоит ориентироваться в информационном потоке. Предполагается широко использовать игры, игровые ситуации для построения вероятностных моделей и определения вероятности выигрыша.

Среди задач вероятностно-статистического характера часто встречаются такие, которые предназначены для групповой работы всего класса. Например, учащимся предлагают нарисовать портрет среднего ученика данного возраста. «Как выглядит? Сколько ему лет? Каков его рост? Какие у него отметки? Сколько у него братьев и сестер? Какую телепередачу он не пропустит? Какую музыку он любит?» — учитель ставит вопросы, на каждый из которых будет отвечать группа учащихся. В итоге коллективной работы вырисовывается портрет ученика, с которым каждый может сравнить себя. В старших классах вероятностные идеи и методы используются для постановки и решения задач как прикладного, так и теоретического характера. Учащиеся знакомятся с распределением дискретных случайных величин, с нормальным распределением, учатся понимать и использовать средние характеристики выборки, показатели вариации и коэффициенты корреляции для анализа и сравнения выборок.

Что касается японской школы, то в ней пропедевтический курс статистики изучается со II класса, т. е. с того момента, когда большинству учащихся исполняется 7 лет. На протяжении 5 лет у них формируются навыки работы с эмпирическими данными, с таблицами и диаграммами. В младшей средней школе вероятностно-статистический материал изучается в виде отдельных тем курса математики.

В I классе младшей средней школы (VII год обучения) элементам статистики рассматриваются правила деления данных на шаги, гистограммы и кривые распределения, частоты, их таблицы и графики, а также мода, медиана и среднее арифметическое как типичные представители выборки. Во II классе (VIII год обучения) учащиеся должны научиться подсчитывать шансы случайного события, последовательно систематизируя и классифицируя возможные исходы случайного эксперимента, находить число перестановок и сочетаний в простых случаях, вычислять вероятности, пользоваться статистическим определением вероятности для решения прикладных задач. В III классе на протяжении изучаются показатели разброса данных, правила применения выборки для анализа генеральной совокупности, корреляционные таблицы и диаграммы.

Благодаря такому большому вероятностно-статистическому блоку в программе обязательной средней школы Японии вероятностные понятия прочно входят в круг повседневных представлений учащегося. Объем теоретико-вероятностного цикла составляет 2,5% от общего объема математики.

Действующие в настоящее время программы по теории вероятности и математической статистике во французской школе были приняты в конце 60-х годов, а незначительные изменения, направленные в сторону большей доступности изложения материала вносились в 1981 - 85 годах. Как в образовательной, так и в профессиональной французской школе элементы теории вероятностей и математической статистики преподаются во II цикле, начиная с 16-летнего возраста учащихся. Но в настоящее время французские педагоги ищут и находят пути более раннего (с 13-летнего возраста) обучения школьников основам теоретико-вероятностным знаниям.

Приложение 3