Математическое моделирование – необходимый компонент обучения теории вероятностей

Применение теории вероятностей к решению прикладных задач – одно из направлений формирования мировоззрения учащихся о месте и роли математики в общественной практике людей.

Человечество познает окружающий мир через его моделирование. Задачей школьного образования является ознакомление учащихся с соотношениями между явлениями реального или проецируемого мира и его моделями, практическое обучение школьников построению моделей для встречающихся жизненных ситуаций. В ходе изучения учебного материала необходимо знакомить школьников с процессом построения модели, учить их анализировать, проверять адекватность построенной модели реальным ситуациям.

Под моделью понимается некоторая реально существующая или мысленно представляемая система, которая, замещая и отображая в познавательных процессах другую систему — оригинал находится с ней в отношении сходства (подобия), благодаря чему изучение модели позволяет получить информацию об оригинале. Моделирование — это построение модели, воспроизводящей особенности структуры, поведения, а также свойства оригинала, и последующее ее экспериментальное или мысленное исследование. С логической точки зрения моделирование представляет собой способ расширения знания, перехода от знания одного объекта к познанию других объектов.

Моделирование как метод познания включает в себя:

1) формализацию (переход от реальной ситуации к построению формальной модели); для построения модели учащиеся должны уметь выделить основные взаимосвязи между компонентами исследуемой проблемы, анализировать полноту имеющихся в условии данных;

2) исследование модели (экспериментальное или мысленное); учащиеся на этом этапе должны научиться выбирать рациональный метод решения;

3) анализ полученных результатов и их перенос на подлинный объект изучения.

По сути дела, мы проходим через три названных выше этапа, решая прикладные задачи. Анализ моделей дает как бы образцы научной деятельности на уровне учебной деятельности, способствуя культурному и мировоззренческому пониманию сущности предмета.

Большую роль в успешности работы по математическому моделированию играет выявление элементов математического моделирования (замена исходных терминов выбранными математическими эквивалентами; оценка полноты исходной информации и введение при необходимости недостающих числовых данных; выбор точности числовых значений, соответствующей смыслу задачи; выявление возможности получения данных для решения задачи на практике).

Рассмотрим пример построения математической модели.

Предположим, мы купили 8 шоколадок, а потом встретили двоих друзей и угостили каждого из них шоколадкой. Сколько шоколадок у нас еще осталось? Математический смысл задачи таков: «Чему равна разность 8-2?». Выполняем действие вычитание, получаем ответ. Таким образом, решая задачу про шоколадки, мы не стараемся вообразить сумку и представить себе, сколько там осталось шоколадок, а ищем математическое содержание задачи, подбираем для нее математическую модель и ее уже изучаем.

Можно условно выделить следующие дидактические функции математического моделирования:

1. Познавательная функция. Методической целью этой функции является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Это формирование происходит постоянно при переходе от простого к сложному.

Здесь мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным путям к целостному восприятию объекта. Заметим, что реализация познавательной функции не предопределяет процесса научного познания, ценность этой функции состоит в ознакомлении учащихся с наиболее кратчайшим и доступным способом осмысления изучаемого материала.

2. Функция управления деятельностью учащихся. Математическое моделирование предметно и потому облегчает ориентировочные, контрольные и коммуникационные действия. Ориентировочным действием может служить, например, построение чертежа, соответствующего рассматриваемому условию, а также внесение в него дополнительных элементов,

Контролирующие действия направлены на обнаружение ошибок при сравнении выполненного учащимися чертежа с помещенными в учебнике или на выяснение тех свойств, которые должны сохранить объект при тех или иных преобразованиях.

Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащихся, которая соответствует исследованию полученных ими результатов. Выполняя эти действия, учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели суть изучаемого явления или факта.

3. Интерпретационная функция. Известно, что один и тот же объект можно выразить с помощью различных моделей. В одних случаях можно воспользоваться ее аналитическим выражением, в других — геометрической моделью. Рассмотрение каждой из этих моделей является ее интерпретацией; чем значимей объект, тем желательней дать больше его интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон.

Использование различных функций математической модели способствует наиболее плодотворному мышлению учащихся, т. к. его внимание легко и своевременно переключается с модели на полученную с ее помощью информацию об объекте и обратно.

Все математические науки, в том числе и теория вероятностей, имеют дело лишь с математическими моделями, но не с реальной жизнью. Для решения жизненной задачи мы выбираем методы той математической дисциплины, которые к ней более подходят, чьи модели наиболее близки к существу задачи или просто удобнее. Сложной задаче из жизни может соответствовать сразу несколько разных по сложности моделей, в зависимости от того, как мы задачу понимаем и с какой точностью хотим решить.

Рассмотрим пример. На карте изображена дорога между двумя городами, и мы хотим найти длину этого пути. Мы можем приставить линейку к началу и концу дороги и полученный результат принять за ответ (в этом случае в качестве модели дороги используется прямая линия). Более точно вычислить расстояние можно, разбив путь на достаточно мелкие участки и заменив каждый участок такой линией, длину которой мы умеем вычислять (частью окружности или прямой).

Чтобы учащиеся лучше подружились с математикой и умело использовали ее, в учебниках многие математические задачи формулируются в виде некоторой реальной ситуации, т.е. суть изучаемых математических понятий передается и поясняется с помощью привычных вещей. Под решением задачи понимается правильное построение и изучение ее модели.

В жизни мы сталкиваемся как с ситуациями, исход которых не вызывает сомнений. Например, мы не сомневаемся, что при отрицательной температуре вода превратится в лед. А так же встречаемся с ситуациями, когда невозможно предсказать, что получится. Например, какой стороной упадет бутерброд, выроненный из рук. Ситуации с непредсказуемыми (случайными) исходами широко распространены, и часто очень важно иметь как можно лучшее представление о них. Конечно, фактор случайности всегда останется неизбежным, но если всмотреться в суть нужных явлений, то во многих из них обнаружатся определенные закономерности, изучением которых можно заняться всерьез.

Теория вероятностей - это область математики, в которой изучаются закономерности в случайных явлениях. Для формулировки задач в ней часто используются бросания монеты или игрального кубика, извлечение карт из колоды и т.п. Предметом теории вероятностей являются модели экспериментов со случайными исходами. При этом изучаются только такие эксперименты, которые можно в одних и тех же условиях повторять сколь угодно раз. В примерах таких экспериментов описания весьма точно соответствуют нужным моделям, и зачастую ответ, полученный математически можно проверить, проведя эксперименты (или опыты как их еще называют).

Итак, чтобы решить задачу математически нужно правильно построить ее модель. Модель эксперимента со случайными исходами включает в себя перечисление всех возможных исходов. Мы должны перечислить все исключающие друг друга исходы такие, что результатом каждого эксперимента обязательно является один из них (элементарные исходы или элементарные события). Так, при построении математической модели эксперимента по бросанию игральной кости естественно учесть шесть исходов, при моделировании извлечения наудачу карты из хорошо перемешанной колоды в качестве элементарных можно рассматривать исходы, изображающие появление всех возможных карт (т.е. 32, 36 или 54 исхода в зависимости от набора колоды). Из элементарных событий можно составить уже все нужные нам случаи (события). Каждое из случайных событий есть «набор» некоторого числа элементарных событий. Например, «выпадет четное число очков» означает то же самое, что появится грань с одним из номеров {2,4,6}»; событие «выпадет число очков меньшее трех» равносильно тому, что «появится грань с одним из номеров {1,2}». Чем больше имеется элементарных исходов, тем больше событий можно рассмотреть. Наконец завершить создание вероятностной модели можно, определив способ задания вероятности для всех событий в ходе эксперимента, которые представляют для нас интерес. Обычно это наиболее трудная часть.