Природа понятия вероятности и методика его введения

В наши дни человек постоянно сталкивается с вероятностной терминологией в политических и научных текстах, широко использует ее в повседневной речи. Она звучит в завтрашнем прогнозе погоды, когда речь заходит о вероятности дождя, в выступлении политика, когда он оценивает шансы или анализирует данные, в разговоре экономиста, организатора производства, ученого.

Одним из важнейших компонентов вероятностно-статистического стиля мышления является понимание устойчивости в мире случайностей, упорядоченности случайных фактов. Нельзя допустить, чтобы стихийно воспринимаемые в жизни отдельные стороны случайных явлений учащиеся воспринимали вне всяких взаимосвязей. Самый простой и доступный путь состоит в формировании представлений о вероятности как о «теоретически ожидаемом» значении частоты при увеличении числа наблюдений. При этом понимание взаимоотношения между вероятностью и ее эмпирическим прообразом — частотой приводит к осознанию статистической устойчивости частоты. В то же время важную роль играет и понимание того, что количественная оценка возможности наступления некоторого события может быть осуществлена до проведения эксперимента, исходя из некоторых теоретических соображений. Таким образом мы приходим к вычислению вероятностей в классической схеме.

Рассмотрим введение понятия вероятности поэтапно.

I этап (5 - 6 классы) обучения охватывает два года жизни учащихся и является ключевым для их общеобразовательной подготовки. Выделение 5 - 6 классов в отдельную ступень продиктовано следующими основными причинами. Во-первых, возраст учащихся 11 - 12 лет - является важным моментом в интеллектуальном развитии личности, в становлении вероятностной интуиции и мышления. На этом этапе вероятностно-статистическое образование имеет ряд специфических черт и особенностей: появляется необходимость и возможность изучать данный материал не распределенно, а в качестве отдельной темы курса математики, значительно возрастает роль межпредметных связей с другими школьными предметами, другими темами курса. При этом на первый план выходят существенные различия между статистическими закономерностями, начинают формироваться представления об особенности прогнозов, о характерных особенностях случайных явлений и процессов. Во-вторых, на данном этапе в школе изучается единый курс математики, отличающийся от курса алгебры 7 - 9 класса.

В 5-6 классах сначала в игровой ситуации целесообразно начи­нать учить детей различать такие понятия, как «воз­можно да» или «обязательно да» (наверняка), «необя­зательно да» или «обязательно нет». Таким образом, начинается формирование понятия случайного собы­тия. Следует подвести детей к пониманию таких понятий, как «вероятнее», «менее вероятно», «равновозможно». Другими словами, мож­но научить детей качественно оценивать шансы на­ступления случайного события. Пока уча­щиеся еще не владеют свободно дробями, целесооб­разно сравнивать шансы наступления разных событий, пользуясь интуицией, предыдущим опытом. Здесь можно постепенно вырабатывать по­нимание того, что вероятность события можно изме­рять так же, как длину, массу, время и другие вели­чины. Фактически в при­мерах, используемых для формирования этих поня­тий, речь идет о применении классической вероятно­сти. Но прийти к сознательному применению форму­лы классической вероятности школьники смогут после экспериментирования с шарами, монетами, играль­ными костями и т.п. Спустя некоторое время учащи­еся смогут решать подобные зада­чи, не прибегая к эксперименту. Все вводимые понятия базируются на интуиции, опыте, индуктивных и дедуктивных навыках мышления, которыми владеют учащиеся 5-6 классов. Учащиеся добывают знания через исследование поставленных проблем.

Понятие вероятности вводится на данном этапе на эмпирическом уровне через целенаправленное накопление эмпирического материала, описание эмпирического материала на языке математики.

Одним из вопросов, из которого родилась теория вероятностей, был вопрос о том, как часто наступает то или иное случайное событие в длинной серии опытов, происходящих в одинаковых условиях.

Исходы	Подсчет повторений	Сколько раз в серии наблюдалось данное событие	Какая доля опытов завершилась наступлением данного события
Выпал герб

Выпала цифра

Рассмотрим опыт с бросанием монеты на парту. Он имеет два элементарных исхода: «выпал герб», «выпала цифра». Обсуждаем совместно с учащимися вопрос: могут ли произойти другие события в нашем опыте, отличные от событий «выпал герб», «выпала цифра»? Учащиеся говорят о том, что монета может встать на ребро, попасть в какую-нибудь щель, укатиться далеко-далеко. Поскольку в условиях нашего опыта такого случиться не может, договариваемся в качестве исходов рассматривать: «выпал герб», «выпала цифра». Исход бросания монеты случаен, и заранее сказать с уверенностью, выпадет герб или цифра, невозможно. Этот опыт можно проводить в одних и тех же условиях сколь угодно много раз. Проводим с учащимися серию из 50 опытов по подбрасыванию монеты. Исходы опытов заносим в следующую таблицу. Вводим понятия абсолютной и относительной частоты события. Повторим эксперимент n раз. Пусть m — число тех опытов, в которых наступило событие А. Число m – абсолютная частота. Отношение m/n называется относительной частотой события А в данной серии опытов. В последнем столбце таблицы производилась регистрация относительных частот. Из таблицы можно увидеть свойства частот: сумма абсолютных частот равна числу опытов, относительная частота события – величина неотрицательная, сумма относительных частот равна 1. Удобным наглядным способом представления относительных частот служат гистограммы. Однако, несмотря на случайность исхода этого опыта, при многократном его повторении можно наблюдать интересную закономерность. Продолжаем серии опытов с монетой. Практика показывает, что детям очень важно ощутить свою личную значимость в процессе поиска истин, решения проблем. Они с удовольствием выполняют исследовательские и творческие задачи. Номер серии         Количество опытов         Число выпадений герба         Частота исхода «выпал герб»         Число выпадений цифры         Частота исхода «выпала цифра»         Следует учить учащих­ся правильно проводить опыты, формировать пони­мание того, что для получения обоснованных выво­дов количество опытов может быть довольно большим. По­скольку проведение большого количества опытов тре­бует определенных усилий и затрат значительного времени, можно поручать каждому ученику провес­ти небольшое количество опытов (при этом заранее договариваемся проводить опыт единым образом), а потом объединить результаты опытов, проведенных всеми учащимися. Проведение даже незначительного количества опы­тов может надоесть ученикам, и они могут перейти к фальсификации их результатов. Чтобы предупредить такое явление, можно перейти постепенно к моделированию экспериментов с помощью таблицы случайных чисел, моделирование с помощью компьютера (старшеклассники создают нужную модель на компьютере, а затем она используется на уроках). (Приложение 4) Данные серии опытов регистрируются в следующей таблице. Таблица показывает, что относительная частота появления герба от серии к серии случайным образом колеблется около одного и того же числа. Далее переходим к сериям с возрастающим числом испытаний. Для этого используем предыдущую таблицу, и будем рассматривать новые серии испытаний, которые получаются при объединении двух серий, трех, четырех и т.д. По данным новой таблицы составляется график зависимости какой-нибудь из относительных частот от числа экспериментов. Значит, относительная частота события обладает свойством устойчивости: с ростом числа опытов она имеет тенденцию стабилизироваться вблизи числа. Устойчивость относительной частоты массовых случайных событий является объективным свойством реального мира, который убедительно подтверждается практикой. Первые представления о статистической устойчивости возникли из наблюдений над демографическими явлениями. Относительная частота повторения случайного события служит прообразом понятия вероятности. Эта взаимосвязь лежит в основе статистического определения вероятности, которое целесообразно дать учащимся на данном этапе обучения на описательном языке. Вероятностью массового случайного события А называют такое число P, что частота события A почти для каждой большой группы испытаний лишь незначительно отклоняется от P. Достоинства этого определения: понятие вероятности имеет корни в реальной действительности; является простым, естественным и доступным, хотя в ущерб формальной строгости. Недостатками данного определения является его "расплывчатость", которая выражается словами "почти", "большая группа", "незначительно отклоняется". Поэтому определение нельзя признать математическим. II этап. В 7-9 классах происходит постепенное усиление уровня строгости в изложении материала. Сначала можно рассмотреть классическую схему, то есть опыты с конечным чис­лом равновозможных исходов. Равновозможные элементарные события - такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом появляться чаще другого при многократных испытаниях, проводимых в одинаковых условиях.. Выпадения герба и цифры на симметричной монете представляются равновозможными, грани правильной игральной кости одна по отношению к другой также не имеют преимуществ. Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий определяемых данным испытанием. Это — классическое определение вероятности случайного события. Полезно формуле Р(А)= т/п (m - число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию A, п - число всех равновозможных элементарных событий определяемых данным испытанием) придать наглядную иллюстрацию. Это определение представляет собой более высокую ступень математической формализации случайного явления, чем статистическое определение. Оно свободно от расплывчатых выражений, применяемых в статистическом определении. Однако оно носит ограниченный характер, связанный с концепцией равновозможности. Классическая вероятност­ная модель пригодна для опытов с конечным числом равновозможных исходов. Для вычисления вероятности события в классической модели применяются комбинаторные схемы. Определим вероятность того, что выпадет нечетное число очков при бросании правильной игральной кости. Количество равновзможных элементарных исходов в условиях данного эксперимента - 6 (на кости могут выпасть следующие количества очков: 1,2,3,4,5,6), из них три исхода благоприятствуют нашему событию. Можно представить множество элементарных исходов в виде прямоугольника, разделенного на равные квадраты, каждый из которых представляет некоторое элементарное событие. Выделим искомое случайное событие (подмножество, состоящее из 3 таких квадратов). ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 ω6 Значит, вероятность события равна 3/6=1/2. Рисуем дерево возможных исходов, рядом с каждым его ребром записываем вероятность элементарного события. Дерево становится вероятностным. Находим искомую вероятность 1/6+1/6+1/6=3/6. В некоторых случаях умение интерпретировать наблюдаемое событие с помощью графов является самым простым подходом к вычислению вероятности этого события. Наглядность при решении вероятностных задач способствует повышению интереса учащихся к поиску закономерностей в случайных явлениях. Классическое определение можно рассматривать как "мостик" от эмпирических основ теории вероятностей к современной теории, которая строится на базе теоретико-множественных представлений. Действительно, с одной стороны, оно допускает наглядную частотную интерпретацию. В результате проведения с учащимися лабораторных работ (например, кладем в коробку разноцветные кружки одинакового радиуса, вырезанные из одинаковой по структуре бумаги, тщательно перемешиваем их, не глядя, извлекаем один или несколько кружков) появляется возможность сравнения частоты наступления событий и его вероятности, вычисленной на основе классического определения. Подобные занятия имеют большое воспитательное значение, показывая, что в задаче, где господствует случай, имеются свои закономерности. С другой стороны, классическое определение вероятности может служить преддверием более общего аксиоматического определения. Равновозможные случаи, которые используются в выше названном определении, по существу представляют собой элементарные события из конечного пространства элементарных событий, в котором специальным образом задана вероятность. При классическом подходе определение понятия вероятности сводится к более простому понятию — равновозможности элементарных событий. А это понятие основано на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равновозможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра. Каким путем следует подойти к понятию, например, вероятности выпадения шестерки при бросании такой кости? Пусть т1/п, т2/(п+1),…, тN/N — относительные частоты наступления события А в некоторой серии испытаний, каждое из которых проводится в одинаковых условиях (например, подбрасывается одна и та же игральная кость с одинаковой высоты). Вероятностью события А называется то неизвестное число Р, около которого сосредоточиваются значения относительных частот наступления события А при возрастании числа испытаний. Это — статистическое определение вероятности случайного события. Вероятность события можно приближенно определить принципиально со сколько угодной высокой точностью, осуществив достаточно большое число испытаний и подсчитав частоту наступления события в этой совокупности испытаний. Пусть стрелок производит выстрел по мишени. Как оценить вероятность попадания? Если события «попадание» и «промах» равновозможны, то ответ получаем сразу: Р («попадание»)=1/2. Но они могут быть неравновозможны. Скажем, первый мальчик постоянно посещает тренировки по стрельбе и каждый раз из сотни выстрелов попадает в мишень 80—90 раз, а второй на стрельбище бывает редко, поэтому из сотни выстрелов попадает только 30—40 раз. Ясно, что у первого возможность попадания больше, чем у второго. Как оценить эти разные возможности? Из практики, так, как определяется число появлений герба при подбрасывании монеты. Произведено выстрелов Число попаданий первого мальчика Число попаданий второго мальчика Из таблицы видно, что как у первого мальчика, так и у второго отношение числа попаданий к числу произведенных выстрелов меняется. Эти отношения в какой-то мере зависят от числа произведенных выстрелов. Но вместе с тем заметно, что упомянутое отношение для каждого стрелка колеблется около определенного числа: у первого - около 4/5, у второго - около 3/10. Эти числа логично принять за оценку вероятности попадания. Эта оценка тем более надежна, чем больше проведено опытов с целью установления ее значения. Можно на конкретном примере показать, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство элементарных событий и подпространство, представляющее событие А, были бы одинакового вида и одинаковых измерений. С этой целью можно рассмотреть такой пример. С какой вероятностью стрелка вертушки, изображенной на рисунке (круг разделен на 8 равных частей), остановится на черном секторе? Для ответа на этот вопрос можно: вычислить площадь черных секторов и разделить ее на площадь всего круга, или найти суммарную длину дуг, ограничивающих черные секторы, и поделить ее на длину всей окружности. Способ 2 лучше отражает суть нашего эксперимента, ведь фактически мы выбираем точку на окружности, в которой остановится острие стрелки. Отсюда искомая вероятность будет Р=(2·π/4·R)/(2πR)=1/4. Заметим, что тот же результат можно было получить и без привлечения геометрической вероятности, ведь вертушка поделена на 8 равных (значит равновозможных) секторов, из которых 2 выкрашены в черный цвет. Отсюда Р=2/8=1/4. Теперь рассмотрим пример, в котором геометрическое определение вероятности дает единственно возможный способ решения. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см? Изобразим квадрат со стороной 4 см и закрасим в нем множество точек, удаленных от ближайшей стороны квадрата меньше, чем на 1 см. Площадь закрашенной части квадрата составляет 16 см2 — 4 см2 = 12 см2. Отсюда искомая вероятность будет равна Р=12/16=3/4. Геометрический подход к определению вероятности может применяться и тогда, когда задача не имеет геометрической природы. Рассмотрим такой пример. Поезда метро ходят с интервалом ровно 3 минуты. Какова вероятность того, что пассажир, пришедший на станцию в случайный момент времени, будет ждать поезда больше, чем 1 минуту? Пассажиры, конечно же, не знают расписания поездов, и подходят на платформу в моменты времени, никак не связанные с движением поездов. Изобразим моменты прихода поездов на станцию точками на числовой оси Т1, Т2,..., Тк,.... Эти точки отстоят одна от другой на 3 минуты. Момент прихода пассажира на станцию изобразим точкой Р на этой же оси. Легко заметить, что если расстояние от точки Р до первой, следующей за ней точкой Тк больше 1, то и ждать придется больше, чем 1 минуту (в остальных случаях ожидание не затянется больше, чем на минуту). Пассажир Р1 уедет на своем поезде меньше, чем через минуту, а Р2 придется ждать больше 1 минуты. Поскольку момент появления пассажира на станции не связан с расписанием поездов, можно считать, что все моменты времени в промежутке между двумя поездами для него равноправны, то есть имеем право применять геометрические вероятности. Так как все отрезки [Тк-1; Тк] имеют одинаковую длину, а точка Р обязательно попадет на один из них, достаточно рассмотреть именно этот отрезок. С интересующим нас событием (ожидание больше 1 минуты) связан отрезок длины 2, а весь отрезок [Тк-1; Тк] имеет длину 3, следовательно, вероятность интересующего нас события равна отношению 2/3. Учащиеся отлично знают, что плоская фигура имеет площадь. Они знают, что площадь, например, прямоугольника можно измерить физически, накладывая на него квадратик, принятый за единицу площади. Эту же площадь можно вычислить, предварительно определив длины сторон прямоугольника и затем перемножив их. Но при этом никому не приходит в голову говорить о разных площадях — измеренной и вычисленной. Есть одно понятие «площадь» и есть разные способы его определения. При этом слово «определение» следует понимать как нахождение величины, а не как раскрытие сущности понятия. Аналогично можно подходить и к введению понятия вероятности. Разные случайные события происходят с разной относительной частотой: одни чаще, другие реже. Те события, которые происходят чаще, имеют большую возможность появления, а те, которые реже — меньшую. Иначе говоря, подобно тому, как каждая плоская фигура имеет свою меру пространственной протяженности — площадь, так и каждое случайное событие имеет свою меру возможности появления — вероятность. Как и площадь, эта мера может быть выражена числом. Находить это число, т.е. значение вероятности, можно в разных случаях по-разному. Можно проводить реальный эксперимент и считать число появлений события - это будет статистический подход к определению (нахождению значения) вероятности. В частном случае, когда количество элементарных исходов конечно и все эти исходы равновозможны, можно поступить иначе: подсчитать общее число возможных исходов и число исходов, благоприятных для рассматриваемого события, а затем разделить второе число на первое — это будет классический подход к определению вероятности. Итак, понятие вероятности одно, а способы нахождения значения вероятности разные. Используются четыре подхода к формированию понятия вероятности: статистический, классический, геометрический и аксиоматический. При том или ином подходе к понятию вероятности вырисовывается единое ядро: вероятность — это специальная мера. III этап (10 - 11 классы). Основным средством дифференциации обучения на старшей ступени является создание профильных классов и школ, которые могут иметь самые разнообразные цели математического образования. Однако, можно выделить некий "минимальный" уровень, то есть уровень обязательной подготовки, который бы обеспечил каждому выпускнику школы необходимый для полноценного функционирования в современном обществе уровень знаний. Общий для всех профилей уровень обязательной подготовки предполагает, что учащийся овладевает теми умениями и навыками, которые необходимы ему как специалисту, профессиональные интересы которого не связаны с математикой, как современному человеку для ориентации в повседневной жизни. Возможный уровень подготовки не является максимальным для всех профилей, он ориентирован на формирование общекультурных представлений и развитие навыков прикладного характера, позволяющих использовать вероятностно-статистические идеи и методы для решения задач, связанных с различными отраслями знаний, организацией производства и повседневными нуждами людей. Этот уровень характеризует возможную вероятностно-статистическую подготовку выпускника большинства профилей, однако в отдельных профилях (математическом, физическом и т.д.) может быть дополнен рядом требований, связанных с более высоким уровнем конкретных знаний. В общеобразовательной школе, в гуманитарных клас­сах, в классах технического, естественнонаучного, экономического профилей целесообразно строить из­ложение материала на статистическом определении вероятности. Этот подход экономней по времени, бо­лее доступный для учащихся в сравнении с другими благодаря тому, что в значительной мере опирается на их личный опыт, интуицию, здравый смысл. Что касается классов математического профиля, то там наиболее приемлемым является аксиоматический подход. Он отли­чается большей, по сравнению с другими подходами, строгостью, позволяет строить вероятностные модели случайных экспериментов Завершающим этапом введения понятия вероятности является аксиоматическое определение вероятности и обсуждение соотношения между теорией вероятностей и реальной действительностью. Все частные определения вероятности события имеют как достоинства, так и недостатки. Недостатки классического определения вероятности: с экспериментом связана конечная система элементарных исходов, которые должны быть равновозможными. Достоинства: позволяет точно определить вероятность в рамках математической модели, не обращаясь к опыту. Недостатки статистического определения вероятности: проведение экспериментов, сбор и обработка статистических данных; при малом количестве опытов полученная частота дает искаженное, иногда и просто ошибочное представление о вероятности; какой бы длинной ни была серия экспериментов, частота все равно будет колебаться, нет уверенности, что в дальнейшем частота не выскочит за пределы найденного интервала. Недостатки геометрического определения вероятности: пространство содержит настолько большое количество исходов, что их нельзя даже перенумеровать; вероятность каждого отдельного исхода приходится считать равной нулю, а вероятность случайного события вычислять как отношение длин (площадей, объемов). Достоинства: позволяет точно определить вероятность в рамках математической модели, не обращаясь к опыту. Общепринятое в настоящее время аксиоматическое определение вероятности было предложено А.Н. Колмогоровым в 1983 году. Для школьников применяется аксиоматическое определение вероятности, основанное на рассмотрении конечного пространства элементарных событий. Пусть - конечное множество всех возможных результатов испытания. Каждому элементарному исходу испытания i ставится в соответствие неотрицательное число рi=р(i), называемое вероятностью элементарного исхода, причем сумма этих чисел равна 1. (Вероятностное пространство: (1, 2,…, п, р1,…,рп).) Вероятностью P(A) любого события A называется сумма вероятностей элементарных событий, входящих в событие A. P(A)=0, если А - невозможное событие, P(A)=1, если А- достоверное событие, P(A)= р(1)+…+р (К), если А={ 1, 2,…, к}. Ценность аксиоматического подхода к понятию вероятности определяется возможностью продемонстрировать процесс применения вероятностных знаний для решения внематематических проблем. Решение внематематической задачи начинается с перевода проблемы на язык математики и с построения вероятностной модели.