Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………......
Системы счисления……………………………………………
Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую………………………………………………………….
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую………………………………………………………….
Выполнение арифметических операций над числами……...
Кодирование алфавитно-цифровой информации…………...
Представление чисел в памяти……………………………….
Кодирование чисел для выполнения арифметических операций………………………………………………………..
Логические основы ЦВМ……………………………………..
Индивидуальное задание…………….………………………..
Образец выполнения индивидуального задания…………….
ЛИТЕРАТУРА………………………………………………..

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Методические указания к лабораторным работам дополняют первую часть учебного пособия «Вычислительная техника и программирование» [1] и предназначены для студентов всех специальностей ОНМУ.

В них кратко описаны различные способы кодирования и представления информации.

В итоге студент должен познакомиться с системами счисления, овладеть навыками перевода чисел из одной системы счисления в другую, выполнения арифметических и логических операций, научиться приемам кодирования алфавитно-цифровой информации. В конце приведено индивидуальное задание, которое, используя образец, должен выполнить каждый студент для закрепления материала.

 

 

 

Системы счисления

 

Цифровые вычислительные машины (ЦВМ) оперируют с величинами, представленными в виде наборов некоторых символов (кодовых комбинаций). Для кодировки информации используется понятие «система счисления » - совокупность приемов наименования, записи чисел и правил действий над ними. Каждая система счисления предполагает наличие:

- алфавита (цифр);

Например, десятичная система имеет 10 цифр: 0,1,2, …, 9.

- основания системы счисления (т.е. количество различных цифр в системе);

Например, основанием десятичной системы является число "десять".

- правил выполнения арифметических действий (т.е. таблицы сложения, умножения и пр.).

Существующие системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

Будем рассматривать позиционные системы счисления, в которых вес каждой цифры меняется в зависимости от расположения (позиции) этой цифры в числе. Позиция символа в изображении числа называется разрядом. Таким образом, в позиционной системе счисления любое число может быть представлено в виде

 

 

или

,

 

 

где	p	- основание системы счисления;
a	- символ (цифра);
n	- количество разрядов целой части числа;
m	- количество разрядов дробной части числа;
i	- порядковый номер разряда.

Десятичная система счисления используется в повседневной практике. В этой системе подготавливаются числа к вводу в ЭВМ. К этой же системе счисления преобразуются выводимые из памяти компьютера результаты выполненных расчетов. Для записи чисел в ней используются десять различных знаков – цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двоичная система счисления используется для хранения чисел и выполнения арифметических операций в ЭВМ. Для изображения чисел в ней используются две цифры "0" и "1". Основанием системы является число "два" и обозначается как "10". Благодаря чрезвычайной простоте организации операций над числами, двоичная система используется для выполнения арифметических и логических операций.

Шестнадцатиричная система счисления используется для более компактного представления двоичных чисел и упрощения перевода 10 ® 2 и 2 ® 10. В ней задействованы 16 цифр. Для обозначения первых десяти цифр используются цифры десятичной системы счисления, а для изображения шести остальных – шесть прописных букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Основанием системы является число "шестнадцать", которое обозначается как "10".

В табл. 1 приведены коды целых десятичных чисел в диапазоне от 0 до 15 и их эквиваленты, записанные в разных системах счисления.

Таблица 1

Деся-тичные	Двоич-ные	Восьми-ричные	Шестнад-цатиричные	Деся-тичные	Двоич-ные	Восьми-ричные	Шестнад-цатиричные
							A
							B
							C
							D
							E
							F

Так, например, для перевода двоичного числа в шестнадцатиричную систему счисления достаточно разбить его на тетрады (4 разряда), начиная с младших разрядов и, пользуясь табл.1, установить соответствие двоичных тетрад и шестнадцатиричных значений.

Примеры

1. Десятичное число 386,25 ₁₀ можно записать следующим образом:

386 ₁₀ = 3×10 ² + 8×10 ¹ + 6×10 ⁰ + 2×10 ^-1 + 5×10 ^-2 .

2. Двоичное число 10111,011 ₂ можно представить в виде

10111,011 ₂ = 1×2 ⁴ + 0×2 ³ + 1×2 ² + 1×2 ¹ + 1×2 ⁰ + 0×2 ^-1 + 1×2 ^-2 + 1×2 ^-3

3. Шестнадцатиричное число В9 ₁₆ представляется в виде

 

В9 ₁₆ = В×16 ¹ + 9×16 ⁰ = 11×16 ¹ + 9×16 ⁰ .

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

 

Для перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную обычно используют так называемый алгоритм замещения, т.е. сначала в десятичную систему счисления переводится основание той системы счисления, из которой осуществляется перевод, а затем переводят цифры исходного числа.

Пример

Перевести в десятичную систему счисления числа В9 ₁₆, 1101 ₂

В9 ₁₆ = 11×16 ¹ + 9×16 ⁰ = 176+9 = 185 ₁₀ ,

 

1101 ₂ = 1×2 ³ + 1×2 ² + 0×2 ¹ + 1×2 ⁰ = 8 + 4 + 1 = 13 ₁₀.

 

При необходимости перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую позиционную систему счисления производят следующие действия:

- делят заданное число на основание новой системы счисления;

- если частное больше делителя, то его принимают за новое число и повторяют предыдущий шаг, в противном случае деление прекращают;

- выписывают все остатки в порядке обратном их получению и принимают их за цифры искомого числа.

 

Примеры

1. Перевести число 7246 ₁₀ в шестнадцатиричную систему счисления, а затем в двоичную (путем разбиения на тетрады)

 

7246 16

- 64 452 16

84 - 32 28 16

- 80 132 - 16 1

46 - 128 12 = C

- 32 4

14 = E

 

Цифры 12 и 14 заменяются на символы "С" и "Е" (табл.1)

 

7246 ₁₀ = 1CC4 ₁₆ = 0001110001001110 ₂

1 C 4 E

2. Перевести число 37 ₁₀ в двоичную систему счисления

37 2

- 36 18 2

1 - 18 9 2

0 - 8 4 2

1 - 4 2 2

0 - 2 1

3710=1001012

0